حاسبة القيم الذاتية: القيم والمتجهات الذاتية مع الخطوات

عن حاسبة القيم الذاتية

تصف القيم الذاتية والمتجهات الذاتية الاتجاهات التي تتركها المصفوفة دون تغيير ومقدار تمديدها لها. وهي وراء خوارزمية غوغل الأصلية لترتيب الصفحات، وأنماط اهتزاز الجسور والجزيئات، وتحليل المكونات الرئيسية في الإحصاء، واستقرار المعادلات التفاضلية، ومستويات الطاقة في ميكانيكا الكم. وفي مقرر الجبر الخطي تكون عادةً الموضوع الذي يجتمع فيه كل ما سبق تعلّمه: المحدّدات، والاختزال الصفّي، والفضاءات الصفرية.

تتبع هذه الحاسبة طريقة الكتاب المدرسي. فهي تكوّن كثيرة الحدود المميِّزة $\det(\lambda I - A)$ ، وتجد جذورها بدقة باستخدام مبرهنة الجذر النسبي والصيغة التربيعية وقسمة كثيرات الحدود، ثم تحل $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ لكل قيمة ذاتية لتنتج متجهات ذاتية بعناصر صحيحة بسيطة حيثما أمكن.

تبقى القيم الذاتية غير النسبية في صورة جذرية دقيقة، وتُعرض القيم الذاتية العقدية أزواجًا مترافقة، وتأتي القيم الذاتية المتكررة مع تعددها الجبري والهندسي معًا، فتعرف بنظرة واحدة هل المصفوفة قابلة للاستقطار. والمصفوفات من 2×2 إلى 4×4 مدعومة، وهذا يغطي عمليًا كل مسائل الواجبات والامتحانات.

ما القيم الذاتية والمتجهات الذاتية؟

المتجه غير الصفري $\mathbf v$ متجه ذاتي للمصفوفة المربعة $A$ إذا كان الضرب في $A$ لا يفعل سوى تكبيره أو تصغيره: $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ لعدد ما $\lambda$ . وهذا العدد هو القيمة الذاتية المقابلة لـ $\mathbf v$ . ومعظم المتجهات يتغير اتجاهها عند ضربها في مصفوفة؛ أما المتجهات الذاتية فهي المتجهات الخاصة التي تبقى على مستقيمها المار بنقطة الأصل.

إعادة كتابة التعريف على الصورة $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ تبيّن طريقة إيجادها. فالحل غير الصفري لا يوجد إلا حين تكون $A - \lambda I$ منفردة، أي حين تكون محدّدتها صفرًا. وتُسمى المعادلة $\det(A - \lambda I) = 0$ المعادلة المميِّزة؛ وهي لمصفوفة $n \times n$ كثيرة حدود من الدرجة $n$ ، لذا يوجد بالضبط $n$ من القيم الذاتية محسوبة بتعددها، وقد يكون بعضها عقديًا.

لكل قيمة ذاتية عدد لا نهائي من المتجهات الذاتية، لأن أي مضاعف غير صفري لمتجه ذاتي متجه ذاتي آخر. لذا تُعطى الإجابات متجهًا ممثِّلًا، أو أساسًا حين توجد عدة اتجاهات مستقلة، وقد يعرض كتابك المدرسي مضاعفًا مختلفًا للمتجه نفسه.

كيف تستخدم حاسبة القيم الذاتية

اكتب المصفوفة صفًا في كل سطر، وافصل العناصر بمسافات، مثل 4 1 في السطر الأول و2 3 في الثاني.
يمكنك أيضًا وضع المصفوفة كلها في سطر واحد مع فواصل منقوطة (;) بين الصفوف، مثل 4 1; 2 3.
يمكن أن تكون العناصر أعدادًا صحيحة أو عشرية أو كسورًا أو أعدادًا سالبة. ويجب أن تكون المصفوفة مربعة، من 2×2 إلى 4×4.
اضغط «أوجد القيم الذاتية» لترى كثيرة الحدود المميِّزة وجذورها وحساب المتجه الذاتي لكل قيمة ذاتية.
راجع التعددات المذكورة للقيم الذاتية المتكررة إذا احتجت إلى معرفة هل المصفوفة قابلة للاستقطار.

الصيغ

معادلة القيمة الذاتية

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

المعادلة المميِّزة

\det(\lambda I - A) = 0

اختصار 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

الأثر والمحدّدة

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

الاستقطار

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

مثال محلول: 2×2، عناصر نسبية

يُحسب المثال المحلول أدناه مباشرةً للمصفوفة $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ . فالأثر 7 والمحدّدة $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ ، لذا فكثيرة الحدود المميِّزة $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ والقيمتان الذاتيتان 5 و2.

عند $\lambda = 5$ ، صفّا المصفوفة $A - 5I$ هما $(-1, 1)$ و $(2, -2)$ ، وفضاؤها الصفري يولّده $\langle 1, 1 \rangle$ . وعند $\lambda = 2$ ، صفّا $A - 2I$ هما $(2, 1)$ و $(2, 1)$ ، فينتج $\langle -1, 2 \rangle$ . والتحقق من أحدهما سريع: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ ، أي خمسة أضعاف المتجه تمامًا.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

\lambda = 5,\ 2

كيف فهمنا مسألتك

أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

الحل خطوة بخطوة

إعداد المعادلة المميِّزة
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
لمصفوفة 2×2 هي λ² − (الأثر)λ + المحدّدة
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
كثيرة الحدود المميِّزة
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
الجذور النسبية مُستخرجة بمبرهنة الجذر النسبي
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
المتجهات الذاتية لـ λ = 5: حل (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
المتجهات الذاتية لـ λ = 2: حل (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

الصيغ المستخدمة

المعادلة المميِّزة
$\det(\lambda I - A) = 0$
معادلة المتجه الذاتي
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

القيم الذاتية هي جذور كثيرة الحدود المميِّزة. المتجهات الذاتية: λ = 5: ⟨1, 1⟩؛ λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

التحقق

مجموع القيم الذاتية ≈ 7 يساوي الأثر 7.
حاصل ضرب القيم الذاتية يساوي المحدّدة 10.

شرح مفصّل

الخطوة 1: كثيرة الحدود المميِّزة

في المصفوفة 2×2 يمكن كتابة كثيرة الحدود مباشرة على الصورة $\lambda^2 - (\text{الأثر})\lambda + \det$ . وفي المصفوفات الأكبر تنشر الحاسبة $\det(\lambda I - A)$ بالعوامل المرافقة. فالمصفوفة المتماثلة 3×3 ذات الصفوف $(2, 0, 0)$ و $(0, 3, 4)$ و $(0, 4, 9)$ تعطي $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ .

فحصان سريعان يكشفان معظم الأخطاء الحسابية. فمعامل $\lambda^{n-1}$ هو سالب الأثر، وهو هنا $-(2 + 3 + 9) = -14$ ، والحد الثابت $(-1)^n \det A$ ، وهو هنا $-22$ لأن المحدّدة 22.

الخطوة 2: إيجاد الجذور

حين تكون العناصر صحيحة، يجب أن تقسم أي قيمة ذاتية نسبية الحدَّ الثابت، لذا تختبر الحاسبة قواسم 22 فتجد $\lambda = 1$ ، ثم تقسم كثيرة الحدود على $(\lambda - 1)$ وتحلل العامل التربيعي المتبقي. والقيم الذاتية 11 و2 و1، ومجموعها 14 يساوي الأثر كما يجب.

حين لا يتحلل العامل التربيعي المتبقي على الأعداد النسبية، تعطي الصيغة التربيعية جذورًا صمّاء دقيقة. فللمصفوفة $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ ، كثيرة الحدود $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ جذراها $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ ، أي نحو 5.372 و $-0.372$ . وإذا كان المميّز سالبًا فالجذور عقدية مترافقة؛ فمصفوفة الدوران $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ لها $\lambda^2 + 1 = 0$ ، لذا $\lambda = \pm i$ ، وهذا يعكس أن الدوران بزاوية 90° لا يترك أي اتجاه حقيقي دون تغيير.

الخطوة 3: المتجهات الذاتية من الفضاء الصفري

عوّض كل قيمة ذاتية في $A - \lambda I$ وحلّ النظام المتجانس بالاختزال الصفّي. ولأن المصفوفة منفردة، يُختزل صف واحد على الأقل إلى أصفار، فيبقى متغير حر. وإعطاء المتغير الحر قيمة مناسبة ثم التعويض العكسي يعطي المتجه الذاتي، الذي تكبّره الحاسبة أو تصغّره إلى أعداد صحيحة صغيرة.

عند $\lambda = 11$ في مثال 3×3، صفوف $A - 11I$ هي $(-9, 0, 0)$ و $(0, -8, 4)$ و $(0, 4, -2)$ . فالصف الأول يفرض $v_1 = 0$ والصفان الآخران يقولان كلاهما $v_3 = 2v_2$ ، لذا $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . والمصفوفات المتماثلة مثل هذه لها دائمًا قيم ذاتية حقيقية ومتجهات ذاتية متعامدة مثنى مثنى، ويمكنك تأكيد ذلك بالضرب القياسي.

القيم الذاتية المتكررة والاستقطار

القيمة الذاتية التي تظهر جذرًا $k$ من المرات تعددها الجبري $k$ . وعدد المتجهات الذاتية المستقلة المقابلة لها هو تعددها الهندسي، وقد يكون أصغر. فكل من $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ و $2I$ لها القيمة الذاتية المزدوجة 2، لكن الأولى ليس لها إلا اتجاه متجه ذاتي واحد، $\langle 1, 0 \rangle$ ، بينما للثانية اتجاهان، $\langle 1, 0 \rangle$ و $\langle 0, 1 \rangle$ .

يمكن كتابة المصفوفة على الصورة $PDP^{-1}$ ، حيث القيم الذاتية على قطر $D$ والمتجهات الذاتية أعمدة $P$ ، إذا وفقط إذا ساوى التعدد الهندسي لكل قيمة ذاتية تعددها الجبري. والاستقطار يجعل حساب القوى سهلًا، لأن $A^k = PD^kP^{-1}$ ، وهكذا تتنبأ القيم الذاتية بالسلوك على المدى الطويل في نماذج السكان وسلاسل ماركوف.

اختصارات تستحق المعرفة

القيم الذاتية للمصفوفة المثلثية هي عناصر قطرها، لذا فالمصفوفة ذات الصفوف $(1, 2, 3)$ و $(0, 4, 5)$ و $(0, 0, 6)$ قيمها الذاتية 6 و4 و1 دون أي حساب. وتكون المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا لم يكن 0 قيمة ذاتية لها، والقيم الذاتية لـ $A^{-1}$ هي مقلوبات القيم الذاتية لـ $A$ ، بالمتجهات الذاتية نفسها.

التغييرات البسيطة على المصفوفة تحرّك قيمها الذاتية بطرق متوقعة. فإضافة $c$ مضروبًا في مصفوفة الوحدة تضيف $c$ إلى كل قيمة ذاتية، وضرب المصفوفة في عدد قياسي يضرب كل قيمة ذاتية فيه، ورفعها إلى القوة $k$ يرفع كل قيمة ذاتية إلى القوة $k$ ، وكل ذلك دون تغيير المتجهات الذاتية. وللمصفوفة ومنقولها القيم الذاتية نفسها، وإن لم تكن لهما عادةً المتجهات الذاتية نفسها. وهذه الحقائق تتيح لك التحقق من الإجابات وتوقّع النتائج قبل حساب أي شيء.

أخطاء شائعة

حساب $\det(A) - \lambda$ بدلًا من $\det(A - \lambda I)$ ؛ فيجب طرح $\lambda$ من كل عنصر قطري.
قبول المتجه الصفري متجهًا ذاتيًا؛ فالمتجهات الذاتية غير صفرية بحكم التعريف.
ارتكاب خطأ حسابي في كثيرة الحدود ثم الحصول على فضاء صفري لا يحتوي إلا المتجه الصفري.
افتراض أن لكل مصفوفة قيمًا ذاتية حقيقية؛ فلمصفوفات الدوران وكثير من المصفوفات غير المتماثلة قيم ذاتية عقدية.
الظن أن متجهًا ذاتيًا خاطئ لأنه يختلف عن الكتاب المدرسي بمضاعف ثابت.
استنتاج أن المصفوفة قابلة للاستقطار دون التحقق من التعدد الهندسي للقيم الذاتية المتكررة.

نصائح

تحقق من أن مجموع القيم الذاتية يساوي الأثر وأن حاصل ضربها يساوي المحدّدة.
تحقق من كل متجه ذاتي بحساب $A\mathbf v$ ومقارنته بـ $\lambda\mathbf v$ .
اقرأ القيم الذاتية مباشرة من قطر المصفوفات المثلثية.
في المصفوفات 3×3، انشر المحدّدة على الصف أو العمود الذي فيه أكبر عدد من الأصفار.
استخدم حاسبة المحدّدة لتؤكد أن $A - \lambda I$ منفردة لكل قيمة ذاتية.
توقّع قيمًا ذاتية حقيقية ومتجهات ذاتية متعامدة كلما كانت المصفوفة متماثلة.
أخرج الأعداد المشتركة من المصفوفة أولًا؛ فالقيم الذاتية تُضرب ببساطة في ذلك العامل.

الأسئلة الشائعة

كيف أُدخل مصفوفة في حاسبة القيم الذاتية؟

اكتب صفًا في كل سطر مع مسافات بين العناصر، أو ضع كل الصفوف في سطر واحد تفصل بينها فواصل منقوطة، مثل 4 1; 2 3. وتُقبل الكسور والأعداد العشرية والأعداد السالبة.

ما أحجام المصفوفات المدعومة؟

المصفوفات المربعة من 2×2 حتى 4×4. فالقيم الذاتية معرّفة للمصفوفات المربعة فقط، لذا تُرفض مثلًا مصفوفة 3×2 مع شرح السبب.

هل تستطيع الحاسبة إيجاد قيم ذاتية عقدية؟

نعم. حين يكون لكثيرة الحدود المميِّزة مميّز سالب، تُعرض القيم الذاتية زوجًا عقديًا مترافقًا، مثل λ = i و−i لمصفوفة دوران بزاوية 90°.

لماذا يختلف متجهي الذاتي عن الذي في كتابي المدرسي؟

أي مضاعف غير صفري لمتجه ذاتي هو متجه ذاتي أيضًا. فـ ⟨1, 1⟩ و⟨3, 3⟩ يصفان الاتجاه نفسه. تحقق من أن أحد المتجهين مضاعف للآخر.

ماذا يعني التعدد الجبري والتعدد الهندسي؟

التعدد الجبري هو عدد مرات تكرار القيمة الذاتية جذرًا لكثيرة الحدود المميِّزة. والتعدد الهندسي هو عدد المتجهات الذاتية المستقلة المقابلة لها. وتذكر الحاسبة كليهما للقيم الذاتية المتكررة.

هل تعطي الحاسبة قيمًا ذاتية دقيقة أم عشرية؟

دقيقة كلما أمكن: أعداد صحيحة وكسور وجذور صمّاء مثل 5/2 ± √33/2. ولا تلجأ إلى قيم عشرية دقيقة التقريب إلا حين يتعذر إيجاد جذور كثيرة حدود تكعيبية أو رباعية بدقة.

ما علاقة القيم الذاتية بالمحدّدة والأثر؟

حاصل ضرب كل القيم الذاتية يساوي المحدّدة ومجموعها يساوي الأثر. فللمصفوفة ذات الصفين (4, 1) و(2, 3)، المحدّدة 5 × 2 = 10 والأثر 5 + 2 = 7.

ماذا تعني القيمة الذاتية الصفرية؟

المصفوفة منفردة: ليس لها معكوس ومحدّدتها صفر. والمتجهات الذاتية عند λ = 0 تولّد الفضاء الصفري للمصفوفة.

أين تُستخدم القيم الذاتية خارج قاعة الدرس؟

في تحليل الاهتزازات، واستقرار أنظمة التحكم، وتحليل المكونات الرئيسية، وميكانيكا الكم، وسلاسل ماركوف، وترتيب نتائج محركات البحث، أي حيثما يلزم فهم التطبيق المتكرر لتحويل خطي.

أوجد قيمك الذاتية

أدخل مصفوفة مربعة في الأعلى لترى كثيرة الحدود المميِّزة والقيم الذاتية الدقيقة وحساب كل متجه ذاتي.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة القيم الذاتية