حاسبات الجبر الخطي
الجبر الخطي هو رياضيات المتجهات والمصفوفات، وهو المحرّك لكل شيء من حل أنظمة المعادلات إلى رسومات الحاسوب وعلم البيانات. تعمل هذه الحاسبات بكسور دقيقة، فتطابق عمليات الصفوف وتوسيعات المرافقات وكثيرات الحدود المميّزة التي تعرضها ما كنت ستكتبه بيدك.
الحاسبات
حاسبة المصفوفات
اضرب المصفوفات أو اجمعها أو اطرحها، أو اضرب إحداها في عدد قياسي أو ارفعها إلى قوة، أو احسب منقولها، أو اختزلها إلى الشكل الدرجي الصفّي المختزل، أو أوجد رتبتها وأثرها، بكسور دقيقة وكل الخطوات.
حاسبة المحدّدة
أدخل مصفوفة مربعة لتجد محدّدتها، بقاعدة ad − bc للمصفوفة 2×2، والنشر بالعوامل المرافقة للمصفوفة 3×3، والاختزال الصفّي إلى الشكل المثلثي للأحجام الأكبر، بحساب دقيق.
حاسبة معكوس المصفوفة
أدخل مصفوفة مربعة لتجد معكوسها بكسور دقيقة، بقاعدة 2×2 المختصرة أو بحذف غاوس–جوردان على [A | I]، وشاهد التحقق من أن ضرب A في معكوسها يعطي مصفوفة الوحدة.
حاسبة القيم الذاتية
أدخل مصفوفة مربعة لتجد قيمها الذاتية ومتجهاتها الذاتية، مع كثيرة الحدود المميِّزة، والجذور الدقيقة بما فيها الجذور الصمّاء والأزواج العقدية، وحساب الفضاء الصفري لكل متجه ذاتي.
حاسبة الضرب القياسي
أدخل متجهين لتحصل على ضربهما القياسي وطوليهما والزاوية بينهما وإسقاط أحدهما على الآخر، مع عرض كل عملية ضرب وجمع.
حاسبة الضرب الاتجاهي
أدخل متجهين ثلاثيي الأبعاد لتحصل على ضربهما الاتجاهي بطريقة المحدّدة، وطوله بوصفه مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّدانه، وتحققًا من أنه عمودي على كليهما.
الموضوعات المشمولة
- عمليات المصفوفات
- الجمع والضرب والمنقول والرتبة والاختزال الصفّي.
- المحدّدات والمعكوسات
- التوسيع بالمرافقات، وحذف غاوس-جوردان، ومتى تكون المصفوفة شاذة.
- القيم الذاتية
- كثيرات الحدود المميّزة والمتجهات الذاتية والتكرارات.
- المتجهات
- الضرب القياسي والزوايا بين المتجهات والإسقاطات والضرب الاتجاهي.
حساب دقيق للمصفوفات
تخطئ حسابات المصفوفات بسهولة عندما تُقرَّب الأعداد العشرية في كل خطوة. تستخدم هذه الحاسبات الكسور الدقيقة طوال الوقت، فيُعرض الاختزال الصفّي أو المصفوفة العكسية بالصورة نفسها التي ستحصل عليها بيدك، ولا يتحوّل عنصر مثل أبدًا إلى . وعندما تكون النتيجة، كقيمة ذاتية، عددًا غير نسبي، تُعطى صورتها الجذرية الدقيقة مع قيمة عشرية تقريبية.
تُعرض كل عملية خطوة واحدة في كل مرة: عملية الصف المطبّقة، أو المرافق الذي يُوسَّع، أو كثيرة الحدود المميّزة التي تُحلَّل. وهذا يجعل الأدوات مفيدة للتحقق من الواجبات، حيث يغيّر خطأ واحد في إشارة في بداية الحساب كل سطر بعده.
أين يُستخدم الجبر الخطي
أنظمة المعادلات الخطية ورسومات الحاسوب وتعلّم الآلة والاقتصاد وفيزياء الكم كلها مبنية على المتجهات والمصفوفات. فالمحدّد يخبرك ما إذا كان للنظام حل وحيد، والقيم الذاتية تصف السلوك طويل المدى لعملية ما، والضرب القياسي يقيس الزوايا والإسقاطات، والضرب الاتجاهي يعطي متجهًا عموديًا على متجهين آخرين. وفهم هذه العمليات باليد يجعل تفسير مخرجات البرامج أسهل كثيرًا.
الأدلة
- كيف تتحقّق من واجبك وإجاباتك في الرياضيات
يمكن التحقّق من كل إجابة رياضية تقريبًا دون مفتاح الإجابات. فالتعويض، والعمل بالعكس، والتقدير، واختبار القيم الخاصة، وفحص الوحدات تكشف الغالبية العظمى من الأخطاء في جزء يسير من الوقت الذي استغرقه الحل الأصلي.