حاسبة معكوس المصفوفة: 2×2 و3×3 بخطوات دقيقة

عن حاسبة معكوس المصفوفة

يؤدي معكوس المصفوفة الدور الذي تؤديه القسمة في الأعداد. فإذا كان $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ، فإن $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ ، لذا يحل المعكوس دفعة واحدة كل نظام له مصفوفة المعاملات نفسها. وتُستخدم المعكوسات أيضًا للتراجع عن التحويلات في الرسوميات، وفك تشفير الرسائل في شيفرة هيل، وتظهر في الإحصاء في صيغ مثل الانحدار بطريقة المربعات الصغرى.

تتحقق هذه الحاسبة أولًا من أن المحدّدة غير صفرية، لأن المعكوس لا يوجد إلا عندئذٍ. وفي المصفوفة $2 \times 2$ تطبّق قاعدة التبديل وعكس الإشارة السريعة. وفي المصفوفات الأكبر تُجري حذف غاوس–جوردان على المصفوفة الموسّعة $[A \mid I]$ ، وتسرد كل عملية صفّية. وكل عنصر كسر دقيق، والخطوة الأخيرة تضرب $A$ في النتيجة لتؤكد ظهور مصفوفة الوحدة.

ما معكوس المصفوفة؟

معكوس المصفوفة المربعة $A$ هو المصفوفة $A^{-1}$ التي تحقق $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ ، حيث $I$ مصفوفة الوحدة. وحين يوجد يكون وحيدًا، وتُسمى المصفوفة قابلة للعكس أو غير منفردة.

تكون المصفوفة المربعة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت محدّدتها غير صفرية. ومن الشروط المكافئة أن تكون صفوفها مستقلة خطيًا، وأن تساوي رتبتها حجمها، وألا يكون للمعادلة $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ إلا الحل الصفري. أما المصفوفات غير المربعة فليس لها أبدًا معكوس من الجهتين.

كيف تستخدم حاسبة معكوس المصفوفة

أدخل مصفوفة مربعة بمسافات بين العناصر وفواصل منقوطة (;) بين الصفوف، مثل 4 7; 2 6.
اضغط «أوجد المعكوس».
راجع خطوة المحدّدة؛ فإذا كانت صفرًا فليس للمصفوفة معكوس.
تتبّع العمليات الصفّية أو قاعدة 2×2 حتى المعكوس.
تأكد من التحقق الأخير بأن A·A⁻¹ تساوي مصفوفة الوحدة.

الصيغ

معكوس 2×2

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

طريقة غاوس–جوردان

[A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

معكوس حاصل الضرب

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

حل نظام

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

مثال محلول: مصفوفة 2×2

يعكس المثال $A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix}$ . ومحدّدتها $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ ، وهي غير صفرية، لذا يوجد المعكوس.

تبديل عنصري القطر، وعكس إشارتي العنصرين الآخرين، والقسمة على 10 يعطي $\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix}$ . وضرب هذه المصفوفة في $A$ يعيد مصفوفة الوحدة، وهذا ما تؤكده الخطوة الأخيرة.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

كيف فهمنا مسألتك

أوجد معكوس مصفوفة 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

الحل خطوة بخطوة

التحقق من أن المحدّدة غير صفرية
$\det A = 10 \neq 0$
بدّل a وd، واعكس إشارتي b وc، ثم اقسم على المحدّدة
$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
التحقق: A·A⁻¹ = I
$A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

الصيغ المستخدمة

معكوس 2×2
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
طريقة غاوس–جوردان
$[A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]$

المحدّدة 10، لذا فإن A قابلة للعكس. وكل عنصر في المعكوس قيمة دقيقة.

التحقق

ضرب A في النتيجة يعطي مصفوفة الوحدة تمامًا.

شرح مفصّل

حذف غاوس–جوردان

في المصفوفة $3 \times 3$ أو الأكبر، اكتب $A$ ومصفوفة الوحدة جنبًا إلى جنب وطبّق العمليات الصفّية على المصفوفة الموسّعة كلها. اقسم كل صف محوري ليصبح العنصر المحوري 1، ثم صفّر كل عنصر آخر في ذلك العمود. وحين يصبح النصف الأيسر مصفوفة الوحدة، يكون النصف الأيمن $A^{-1}$ ، لأن سلسلة العمليات نفسها التي تحوّل $A$ إلى $I$ تحوّل $I$ إلى $A^{-1}$ .

في المصفوفة ذات الصفوف $(2, 0, 1)$ و $(1, 1, 0)$ و $(0, 1, 3)$ ، تقسم الحاسبة الصف الأول على 2، وتصفّر العمود الأول، ثم العمود الثاني، وتقسم الصف الثالث على $\frac72$ وتصفّر العمود الثالث. ويتبيّن أن كل عنصر في المعكوس مضاعف لـ $\frac17$ ، لأن المحدّدة 7.

المصفوفات المنفردة

إذا كانت المحدّدة صفرًا، ينتج الحذف صفًا من الأصفار في الجهة اليسرى ولا يمكن الوصول إلى مصفوفة الوحدة أبدًا. وتكتشف الحاسبة ذلك في البداية. فالمصفوفة $\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$ منفردة لأن صفها الثاني ضعف الأول، لذا تذكر الحاسبة أنه لا معكوس لها بدلًا من طباعة إجابة بلا معنى.

المحدّدة الصغيرة فحسب ليست مشكلة في الحساب الدقيق، لكنها إشارة تحذير في البيانات الواقعية: فسيكون للمعكوس عناصر كبيرة، وستتضخم أخطاء القياس الصغيرة في $A$ تضخمًا كبيرًا.

استخدام المعكوس

لحل $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ، اضرب $A^{-1}$ في $\mathbf{b}$ . وهذا فعّال حين تشترك عدة أنظمة في المصفوفة نفسها. أما للنظام الواحد فاختزال المصفوفة الموسّعة $[A \mid \mathbf{b}]$ مباشرة يتطلب عادةً عملًا أقل من حساب المعكوس الكامل أولًا.

قاعدة $2 \times 2$ المختصرة ليست حيلة منفصلة: إنها ما ينتجه حذف غاوس–جوردان حين يُجرى رمزيًا على مصفوفة $2 \times 2$ عامة. وظهور المحدّدة $ad - bc$ في مقام كل عنصر يفسر لماذا تجعل المحدّدة الصفرية المعكوس مستحيلًا.

أخطاء شائعة

نسيان القسمة على المحدّدة في صيغة 2×2.
تبديل العنصرين خارج القطر بدلًا من عكس إشارتيهما.
تطبيق عملية صفّية على النصف الأيسر فقط من المصفوفة الموسّعة.
كتابة $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ ؛ فالترتيب ينعكس.
محاولة عكس مصفوفة محدّدتها صفر.

نصائح

احسب المحدّدة أولًا؛ فإذا كانت صفرًا فتوقف.
أبقِ العناصر كسورًا لتتجنب أخطاء التقريب التي تُفسد التحقق من مصفوفة الوحدة.
تحقق بضرب $A$ في إجابتك؛ فينبغي أن يكون كل عنصر قطري 1 والباقي 0.
ابحث عن المحدّدة في مقامات عناصر المعكوس.
استخدم حاسبة المصفوفات لضرب المعكوس في متجه الثوابت.

الأسئلة الشائعة

كيف يُحسب معكوس مصفوفة 2×2؟

بدّل عنصري القطر، واعكس إشارتي العنصرين الآخرين، واقسم كل عنصر على المحدّدة ad − bc.

كيف يُحسب معكوس مصفوفة 3×3؟

اكتب المصفوفة الموسّعة [A | I] واستخدم العمليات الصفّية لتحويل نصفها الأيسر إلى مصفوفة الوحدة. فيكون النصف الأيمن عندئذٍ هو المعكوس.

متى لا يكون للمصفوفة معكوس؟

حين تكون محدّدتها صفرًا. وتُسمى هذه المصفوفة منفردة؛ فصفوفها مرتبطة خطيًا ولا يمكن للحذف أن يصل إلى مصفوفة الوحدة.

كيف أتحقق من معكوس؟

اضرب المصفوفة الأصلية في المعكوس. فإذا كانت النتيجة مصفوفة الوحدة فالمعكوس صحيح. والحاسبة تفعل ذلك تلقائيًا.

هل للمصفوفة غير المربعة معكوس؟

لا. المصفوفات المربعة وحدها يمكن أن يكون لها معكوس يعمل من الجهتين.

هل يمكنني إدخال أعداد عشرية؟

نعم. تُحوَّل الأعداد العشرية إلى كسور دقيقة، فيُعامل 0.5 على أنه 1/2 ويُحسب المعكوس بدقة.

ما معكوس مصفوفة الوحدة؟

مصفوفة الوحدة نفسها، لأن ضربها في نفسها يتركها دون تغيير.

أوجد معكوس مصفوفتك

أدخل مصفوفة مربعة في الأعلى لتحصل على معكوسها الدقيق مع فحص المحدّدة وكل عملية صفّية.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة معكوس المصفوفة