حاسبة أنظمة المعادلات: الحل مع الخطوات

عن حاسبة أنظمة المعادلات

يطلب نظام المعادلات قيمًا تحقق عدة معادلات في الوقت نفسه. المستقيمان على المستوى الإحداثي إما أن يلتقيا في نقطة واحدة، أو لا يلتقيا أبدًا، أو ينطبقا، والنتائج الثلاث نفسها موجودة في الأنظمة ذات أي عدد من المتغيرات. تحدد هذه الحاسبة الحالة التي لديك، وعندما يكون الحل وحيدًا تعطيه كسورًا دقيقة بدلًا من أعداد عشرية مقرّبة.

تستخدم الحاسبة حذف غاوس–جوردان، وهي الطريقة المنهجية التي تقوم عليها طريقتا التعويض والحذف المدرسيتان. تُسرد كل عملية صفية، فيمكنك متابعة الحساب ومقارنته بحذفك أنت، ورؤية الموضع الذي يختفي فيه متغير أو يظهر فيه تناقض بالضبط.

ما هو نظام المعادلات الخطية؟

في المعادلة الخطية يظهر كل متغير مرفوعًا إلى القوة الأولى فقط، مثل $2x + 3y = 7$ . والنظام مجموعة من هذه المعادلات تشترك في المتغيرات نفسها. والحل تعيين لقيم يجعل كل المعادلات صحيحة معًا.

في حالة متغيرين، تمثل كل معادلة مستقيمًا والحل نقطة تقاطع. وفي حالة ثلاثة متغيرات، تمثل كل معادلة مستوى. وقد يكون النظام متسقًا بحل وحيد، أو متسقًا بعدد لانهائي من الحلول (معادلات مرتبطة)، أو غير متسق لا حل له إطلاقًا.

كيف تستخدم حاسبة أنظمة المعادلات

اكتب كل معادلة في سطر مستقل، مثل 2x + 3y = 7 في السطر الأول وx - y = 1 في الثاني.
استخدم أي حروف متغيراتٍ. يمكن أن تظهر الحدود في الطرفين؛ فالحاسبة تنقلها إلى الصورة القياسية.
تُقبل الكسور والأعداد العشرية، مثل 0.5x + y/3 = 2؛ وتُحوَّل الأعداد العشرية إلى كسور دقيقة.
اضغط «حُلّ النظام». اقرأ الصورة القياسية والمصفوفة الموسعة، ثم قائمة العمليات الصفية.
اقرأ الحكم: حل وحيد، أو وصف وسيطي لعدد لانهائي من الحلول، أو التناقض الذي يبيّن أنه لا حل.

الصيغ

الصورة المصفوفية

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

تكوّن المعاملات $A$ ، والثوابت $\mathbf{b}$ ؛ والمصفوفة الموسعة هي $[A \mid \mathbf{b}]$ .

العمليات الصفية الأولية

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

لا تغيّر أي منها مجموعة الحل.

قاعدة كرامر (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

للنظام $ax + by = e$ ، $cx + dy = f$ بمحدد غير صفري.

مثال محلول: 2x + 3y = 7, x − y = 1

يحل المثال النظام $2x + 3y = 7$ و $x - y = 1$ . يكتب المحرك المصفوفة الموسعة، ويضرب الصف الأول في عدد يجعل عنصره الأول 1، ويحذف $x$ من الصف الثاني، ثم يحذف $y$ من الصف الأول.

تُقرأ المصفوفة المختزلة مباشرة على أنها $x = 2$ و $y = 1$ . والتعويض يعطي $2(2) + 3(1) = 7$ و $2 - 1 = 1$ ، فتتحقق المعادلتان.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

x = 2,\ y = 1

كيف فهمنا مسألتك

2 من المعادلات الخطية في 2 من المجاهيل (x, y).

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

الحل خطوة بخطوة

اكتب كل معادلة في الصورة القياسية
انقل جميع حدود المتغيرات إلى اليسار والثوابت إلى اليمين.
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
كوّن المصفوفة الموسعة [A | b]
الأعمدة: x, y | الثابت.
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
حذف غاوس–جوردان
استخدم العمليات الصفية لجعل كل محور 1 وتصفير بقية عموده.
اقسم R1 على 2
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
صفّر العمود 1 باستخدام المحور في R1
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
اقسم R2 على -5/2
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
صفّر العمود 2 باستخدام المحور في R2
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
الشكل الدرجي الصفي المختزل
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
اقرأ الحل الوحيد
$x = 2,\ y = 1$

الصيغ المستخدمة

الصورة المصفوفية
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
العمليات الصفية الأولية
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

للنظام حل واحد بالضبط؛ وتعويضه في المعادلات يحقق كل معادلة.

التحقق

المعادلة 1: 2x + 3y = 7 ✓
المعادلة 2: x - y = 1 ✓

شرح مفصّل

الحذف والتعويض والمصفوفات

التعويض يحل إحدى المعادلات لإيجاد متغير ويستبدله في المعادلات الأخرى. والحذف يجمع مضاعفات المعادلات بحيث يختفي متغير. أما حذف غاوس–جوردان فهو حذف يُجرى بترتيب ثابت على المصفوفة الموسعة: اختر محورًا في كل عمود، واجعله 1، وصفّر كل عنصر آخر في ذلك العمود.

الصيغة المصفوفية ليست طريقة مختلفة، بل تدوين أكثر ترتيبًا. فكل صف معادلة حُذفت منها أسماء المتغيرات، وكل عملية صفية شيء يمكنك فعله بالمعادلات يدويًا. ولأن الحساب يستخدم كسورًا دقيقة، لا يمكن لخطأ تقريب أن يحوّل نظامًا مرتبطًا إلى حل وحيد زائف.

التعرف على انعدام الحل وعلى الحلول اللانهائية

إذا أنتج الحذف صفًا مثل $[0\ 0 \mid 5]$ ، فهو ينص على $0 = 5$ ، وهذا مستحيل، فالنظام غير متسق. وهندسيًا، المستقيمات المتوازية لا تلتقي أبدًا.

إذا أصبح صف ما أصفارًا كله، $[0\ 0 \mid 0]$ ، فتلك المعادلة كانت تركيبًا من الأخرى ولا تضيف أي معلومة. وعندما يكون عدد المحاور أقل من عدد المتغيرات، تكون المتغيرات التي لا محاور لها حرة. تسميها الحاسبة وسطاء وتكتب المتغيرات الأخرى بدلالتها، فتصف المستقيم أو المستوى الكامل من الحلول.

الأنظمة الأكبر

ثلاث معادلات في ثلاثة مجاهيل تتبع النمط نفسه مع عمود إضافي واحد. وتمتد الطريقة إلى أي حجم، وتتعامل الحاسبة مع الأنظمة التي فيها معادلات أكثر من المجاهيل أو أقل، وتعرض النتيجة بأمانة في كل حالة.

أخطاء شائعة

ضرب طرف واحد فقط من المعادلة، أو بعض حدودها فقط، عند تغيير مقياسها.
فقدان إشارة سالبة عند طرح معادلة من أخرى؛ اطرح كل حد، بما في ذلك الثابت.
افتراض أن للنظام دائمًا حلًا واحدًا بالضبط. ابحث عن التناقضات والصفوف الصفرية.
كتابة الحدود بترتيب متغيرات مختلف في المعادلات المختلفة، مما يُفسد محاذاة أعمدة المصفوفة.
تقريب الكسور في منتصف الحل، مما قد يجعل نظامًا متسقًا يبدو غير متسق قليلًا.

نصائح

رتّب المتغيرات بالترتيب نفسه في كل معادلة قبل أن تبدأ.
ابدأ بحذف المتغير ذي المعاملات الأبسط.
عوّض إجابتك في كل معادلة أصلية، لا في آخر معادلة استخدمتها فقط.
في حالة متغيرين، ارسم المستقيمين لتتوقع هل يلتقيان مرة واحدة أو لا يلتقيان أبدًا أو ينطبقان.

الأسئلة الشائعة

كم معادلة أحتاج لإيجاد ثلاثة متغيرات؟

عادةً ثلاث معادلات مستقلة. إذا كانت أقل، توجد متغيرات حرة وعدد لانهائي من الحلول؛ وإذا كانت أكثر، فيجب أن تكون المعادلات الإضافية متسقة مع البقية.

ماذا يعني أن تقول الحاسبة «لا يوجد حل»؟

أنتج الحذف عبارة مستحيلة مثل 0 = 5. المعادلات متناقضة؛ وفي حالة متغيرين يكون المستقيمان متوازيين.

ما هي المتغيرات الحرة؟

هي المتغيرات التي لا محور لها بعد الحذف. يمكن أن تأخذ أي قيمة، وتُكتب المتغيرات الأخرى بدلالتها، فيكون للنظام عدد لانهائي من الحلول.

هل يمكنني إدخال معادلات فيها متغيرات في الطرفين؟

نعم. تُعاد كتابة كل معادلة في الصورة القياسية، بحدود المتغيرات في اليسار والثابت في اليمين، قبل بدء الحذف.

لماذا تكون الإجابات كسورًا لا أعدادًا عشرية؟

يعمل المحرك بحساب نسبي دقيق، فتبقى إجابات مثل 7/3 دقيقة. حوّلها إلى عدد عشري في النهاية فقط إذا طلب مقررك ذلك.

هل تحل الأنظمة غير الخطية مثل x تربيع زائد y تربيع يساوي 25؟

لا. هذه الحاسبة مخصصة للأنظمة الخطية. لمعادلة كثيرة حدود واحدة استخدم حلّال المعادلات؛ ولتقاطعات المنحنيات يمكن لحاسبة الرسم البياني أن تعرضها بصريًا.

حل نظام معادلاتك

أدخل معادلة خطية في كل سطر في الأعلى لتحصل على الحل الدقيق وكل عملية صفية والتحقق من كل معادلة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي