أساسيات المصفوفات: دليل المبتدئين إلى المصفوفات

ما المصفوفة

المصفوفة ترتيب مستطيل من الأعداد، تُسمّى عناصر، مرتّبة في صفوف وأعمدة. والمصفوفة التي فيها $m$ صفًّا و$n$ عمودًا رتبتها $m \times n$، وتُقرأ m في n، ويُذكر عدد الصفوف أولًا دائمًا. ويُكتب العنصر الواقع في الصف $i$ والعمود $j$ من المصفوفة $A$ على الصورة $a_{ij}$. فمثلًا:

المصفوفة ذات العمود الواحد متّجه عمودي، وذات الصف الواحد متّجه صفّي. والمصفوفة المربعة عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها؛ والمصفوفات المربعة هي التي يمكن أن تكون لها محدِّدات ومعكوسات. وتتساوى مصفوفتان فقط عندما تكون لهما الرتبة نفسها ويتطابق كل عنصرين متناظرين فيهما.

جمع المصفوفات والضرب في عدد

تُجمع المصفوفات ذات الرتبة الواحدة عنصرًا بعنصر: فالعنصر في الصف $i$ والعمود $j$ من $A + B$ هو $a_{ij} + b_{ij}$. والطرح يجري بالطريقة نفسها. أما المصفوفات المختلفة الرتب فلا يمكن جمعها إطلاقًا، لأنه لا توجد طريقة معقولة لمزاوجة عناصرها.

ضرب المصفوفة في عدد قياسي، أي عدد عادي، يضرب كل عنصر فيها في ذلك العدد. وتسلك هذه العمليات سلوك الحساب العادي تمامًا: فالجمع إبدالي وتجميعي، و$k(A + B) = kA + kB$.

ضرب المصفوفات: صف في عمود

لا يُجرى ضرب المصفوفات عنصرًا بعنصر. بل إن كل عنصر من الناتج $AB$ هو الضرب النقطي لصف من $A$ في عمود من $B$:

ويشترط هذا أن يساوي عدد أعمدة $A$ عدد صفوف $B$. فإذا كانت $A$ من الرتبة $m \times n$ و$B$ من الرتبة $n \times p$، فالناتج من الرتبة $m \times p$. وطريقة سريعة للتحقق هي كتابة الرتبتين جنبًا إلى جنب: يجب أن يتطابق العددان الداخليان، والعددان الخارجيان يعطيان رتبة الناتج. فمصفوفة $2 \times 3$ مضروبة في مصفوفة $3 \times 4$ تعطي مصفوفة $2 \times 4$، لكن مصفوفة $2 \times 3$ مضروبة في مصفوفة أخرى $2 \times 3$ ضرب غير معرَّف.

الترتيب مهم: AB لا تساوي BA عادةً

عكس الترتيب في المثال السابق يعطي $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$، وهي مصفوفة مختلفة. فضرب المصفوفات ليس إبداليًا. وفي المصفوفات غير المربعة قد يكون الأمر أسوأ: فقد يكون أحد الترتيبين معرَّفًا والآخر غير معرَّف، أو قد يكون للناتجين رتبتان مختلفتان.

لكن قواعد مألوفة أخرى تظل صالحة. فالضرب تجميعي، $(AB)C = A(BC)$، وتوزيعي على الجمع، $A(B + C) = AB + AC$. غير أن هناك تحذيرين جديرين بالتذكّر. فحاصل ضرب مصفوفتين غير صفريتين قد يكون المصفوفة الصفرية، و$AB = AC$ لا تسمح لك بحذف $A$ إلا إذا كانت $A$ قابلة للعكس. لذا يحتاج الجبر بالمصفوفات إلى قدر من الحذر أكبر قليلًا من الجبر بالأعداد.

عندما تفكّ عبارات مثل $(A + B)^2$، حافظ على الترتيب: الناتج $A^2 + AB + BA + B^2$، لا $A^2 + 2AB + B^2$.

مصفوفة الوحدة والمدوَّر

مصفوفة الوحدة $I$ هي المصفوفة المربعة التي عناصر قطرها الرئيسي آحاد وبقية عناصرها أصفار. وهي تؤدّي الدور الذي يؤدّيه العدد 1 في الحساب العادي: $AI = IA = A$ لأي مصفوفة مربعة $A$ من الرتبة المناسبة. والمصفوفة الصفرية، التي كل عناصرها صفر، تؤدّي دور 0.

المدوَّر $A^T$ يبادل الصفوف والأعمدة، فالعنصر في الصف $i$ والعمود $j$ من $A^T$ هو $a_{ji}$. فتصبح المصفوفة $2 \times 3$ مصفوفة $3 \times 2$. ومن القواعد المفيدة أن مدوَّر حاصل الضرب يعكس الترتيب:

المصفوفة التي تساوي مدوَّرها تُسمّى متماثلة. وتظهر المصفوفات المتماثلة في الإحصاء والفيزياء على نطاق واسع، ولها قيم ذاتية حسنة السلوك بوجه خاص، فهي دائمًا أعداد حقيقية.

المصفوفات وأنظمة المعادلات

من أهم استخدامات المصفوفات كتابة نظام من المعادلات الخطية بإيجاز. فالنظام $2x + y = 5$ و$x - 3y = -1$ يصبح:

فكّ الضرب في الطرف الأيسر يعيد المعادلتين بالضبط، وهي طريقة جيدة للتحقق من أنك أعددت المصفوفة إعدادًا صحيحًا. وحلّه $x = 2$، $y = 1$. وكتابة النظام بهذه الطريقة تتيح استخدام الطرق نفسها، أي الحذف بالصفوف أو المصفوفة العكسية، لحلّ معادلتين أو ألفي معادلة. ويتناول دليلنا إلى حلّ أنظمة المعادلات الطرق اليدوية، وحاسبة أنظمة المعادلات تحلّها خطوة بخطوة.

أين تُستخدم المصفوفات

• رسوميات الحاسوب: تدوير النماذج ثلاثية الأبعاد (3D) وتحجيمها وإسقاطها عمليات ضرب مصفوفات تُطبَّق على كل رأس.
• علم البيانات: مجموعة البيانات مصفوفة فيها صف لكل مشاهدة وعمود لكل متغيّر، وتقنيات مثل تحليل المكوّنات الرئيسية تعمل عليها مباشرةً.
• الشبكات: مصفوفة التجاور تسجّل أي العُقد متصلة، وقواها تعدّ المسارات ذات الطول المعيّن.
• الاقتصاد والهندسة: نماذج المدخلات والمخرجات وتحليل الدوائر الكهربائية تفضي إلى أنظمة خطية كبيرة.
• تعلّم الآلة: طبقات الشبكة العصبية في معظمها عمليات ضرب مصفوفات.

تجمع حاسبة المصفوفات المصفوفات وتضربها وتحسب مدوّرها لأي رتب متوافقة، وتعرض كل عملية صف في عمود، مما يجعلها مفيدة لمراجعة الواجبات.

القوى والمصفوفات القطرية

يمكن ضرب المصفوفة المربعة في نفسها، فتكون لقوى مثل $A^2 = AA$ و$A^3 = AAA$ معنى. أما المصفوفات غير المربعة فليست لها قوى، لأن الرتب لن تتوافق. وتظهر قوى المصفوفة كلما تكرّرت عملية ما: فإذا وصفت مصفوفة كيفية انتقال السكان بين المناطق في سنة واحدة، فإن قوتها العاشرة تصف الانتقال على مدى عشر سنوات.

المصفوفات القطرية، التي لا تقع عناصرها غير الصفرية إلا على القطر الرئيسي، سهلة التعامل بوجه خاص. فضرب مصفوفتين قطريتين يقتصر على ضرب عناصرهما القطرية، لذا فرفع مصفوفة قطرية إلى قوة يرفع كل عنصر قطري إلى تلك القوة. فمثلًا، مربع المصفوفة القطرية ذات العنصرين 2 و3 هو المصفوفة القطرية ذات العنصرين 4 و9. وكثير من الجبر الخطي المتقدّم يدور حول إعادة كتابة المصفوفة في صورة قطرية لتصبح حسابات كهذه بسيطة.

أخطاء شائعة في المصفوفات

• الخلط بين الصفوف والأعمدة عند ذكر الرتبة. فالصفوف تأتي أولًا دائمًا.
• الضرب عنصرًا بعنصر بدلًا من صف في عمود.
• افتراض أن $AB = BA$، أو إعادة ترتيب العوامل أثناء تبسيط عبارة.
• محاولة جمع مصفوفات مختلفة الرتب أو ضرب مصفوفات لا تتطابق أبعادها الداخلية.
• نسيان أن مدوَّر حاصل الضرب يعكس ترتيب العوامل.

فحص سريع للرتب قبل أي حساب يكشف معظم هذه الأخطاء. اكتب الرتبة تحت كل مصفوفة، وتأكّد من أن العملية معرَّفة، وتوقّع رتبة الإجابة قبل حساب أي عنصر.

الأسئلة الشائعة