كيف تجد معكوس المصفوفة

ما المعكوس

في الأعداد، مقلوب 5 هو $\frac{1}{5}$ لأن $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. وليس في المصفوفات قسمة، لكن فيها الفكرة نفسها. فمعكوس المصفوفة المربعة $A$ هو المصفوفة $A^{-1}$ التي تحقّق:

هنا $I$ مصفوفة الوحدة، وهي نظير العدد 1 في المصفوفات. فإذا وصفت $A$ تحويلًا، كتدوير المستوى ومطّه، فإن $A^{-1}$ هو التحويل الذي يعيد كل شيء إلى حيث بدأ. ولا يمكن أن يكون معكوس إلا للمصفوفات المربعة، وحتى عندئذٍ ليس لكل منها معكوس. والمصفوفة التي لها معكوس تُسمّى قابلة للعكس أو غير شاذّة؛ والتي ليس لها معكوس تُسمّى شاذّة.

والاختبار هو المحدِّد: تكون $A$ قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان $\det(A) \ne 0$. والمحدِّد الصفري يعني أن المصفوفة تسطّح الفضاء إلى بُعد أدنى، فتقع مُدخلات مختلفة على المُخرج نفسه، ولا سبيل إلى إلغاء التحويل.

صيغة المصفوفة 2 في 2

للمصفوفة $2 \times 2$ صيغة قصيرة: بادل عنصري القطر الرئيسي، وغيّر إشارتي العنصرين الآخرين، واقسم على المحدِّد.

في المقابل، $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ محدِّدها $4 - 4 = 0$. فصفّها الأول ضعف صفّها الثاني، لذا ليس لها معكوس، والصيغة ستطلب منك القسمة على صفر.

الحذف بطريقة غاوس-جوردان لأي رتبة

للمصفوفات $3 \times 3$ وما هو أكبر، الطريقة القياسية هي الحذف بطريقة غاوس-جوردان. اكتب $A$ ومصفوفة الوحدة جنبًا إلى جنب في مصفوفة موسَّعة $[A \mid I]$. واستخدم العمليات الصفّية لتحويل النصف الأيسر إلى $I$. فالعمليات نفسها تحوّل النصف الأيمن إلى $A^{-1}$. وإذا ظهر صف من الأصفار في اليسار، فالمصفوفة شاذّة وليس لها معكوس.

يتّفق أن محدِّد هذه المصفوفة 1، ولهذا لا يحتوي معكوسها إلا على أعداد صحيحة. ومعظم المعكوسات تتضمّن كسورًا، فأبقِ العناصر كسورًا لا أعدادًا عشرية مقرّبة أثناء العمل.

صيغة المصفوفة المرافقة

وهناك أيضًا صيغة تعمّم قاعدة $2 \times 2$. استبدل بكل عنصر عامله المرافق، أي محدِّد المصغَّرة المتبقية بعد حذف صف ذلك العنصر وعموده مع إشارته، ثم خذ مدوَّر النتيجة لتحصل على المصفوفة المرافقة، وتُكتب $\operatorname{adj}(A)$:

صيغة المصفوفة المرافقة مفيدة في النظرية وفي المصفوفات $3 \times 3$ ذات العناصر البسيطة، لكنها تحتاج إلى تسعة محدِّدات $2 \times 2$ للمصفوفة $3 \times 3$ وتتضخّم بسرعة مع الرتبة. ولأي مصفوفة أكبر، فالحذف بطريقة غاوس-جوردان هو الخيار العملي.

حلّ الأنظمة بالمعكوس

النظام الخطي المكتوب على الصورة $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ يمكن حلّه بضرب الطرفين من اليسار في $A^{-1}$، فنحصل على $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. وهذا يناظر حلّ $5x = 10$ بالقسمة على 5.

هذه الطريقة ملائمة خصوصًا عندما يتعيّن عليك حلّ عدة أنظمة بالمعاملات نفسها لكن بأطراف يمنى مختلفة، لأن المعكوس يُحسب مرة واحدة فقط. أما لنظام واحد، فالحذف أسرع عادةً، كما هو موضّح في حلّ أنظمة المعادلات.

خصائص المعكوسات

• معكوس حاصل الضرب يعكس الترتيب، كما أن خلع الحذاء ثم الجورب يعكس ترتيب لبسهما.
• إذا كانت $A$ قابلة للعكس، فمعكوسها وحيد.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• لعدد غير صفري $k$، $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• المصفوفة القطرية ذات العناصر القطرية غير الصفرية تُعكس بأخذ مقلوب كل عنصر قطري.

المعكوسات في التطبيق

المصفوفات العكسية أساسية في النظرية، وتظهر في رسوميات الحاسوب، حيث يعني إلغاء تحويل الكاميرا تطبيق معكوسه، وفي التشفير، حيث تفكّ شيفرة هيل الرسائل بمصفوفة عكسية، وفي الإحصاء، حيث تحتوي صيغة المربعات الصغرى للانحدار على معكوس.

غير أن البرمجيات العددية نادرًا ما تحسب معكوسًا صريحًا لمجرد حلّ نظام. فالطرق القائمة على الحذف أسرع وأقل تأثرًا بأخطاء التقريب، ولا سيما مع المصفوفات شبه الشاذّة التي يقترب محدِّدها من الصفر. وتعرض حاسبة المصفوفة العكسية كل خطوة من خطوات غاوس-جوردان بكسور دقيقة، وحاسبة المصفوفات تتيح لك التحقق من أن $AA^{-1}$ تساوي فعلًا مصفوفة الوحدة.

لماذا تصلح صيغة 2 في 2

التحقق من الصيغة سهل، وفهم سبب صحتها يسهّل تذكّرها. اضرب المصفوفة الأصلية في المصفوفة الناتجة عن المبادلة وعكس الإشارتين:

الناتج هو المحدِّد مضروبًا في مصفوفة الوحدة. والقسمة على المحدِّد تُبقي مصفوفة الوحدة تمامًا، وهذا ما يجب أن يُنتجه المعكوس. ويبيّن الحساب أيضًا لماذا يكون المحدِّد الصفري قاتلًا: فحاصل الضرب عندئذٍ هو المصفوفة الصفرية، ولا يمكن لأي ضرب في عدد أن يحوّلها إلى مصفوفة الوحدة.

أخطاء شائعة عند إيجاد المعكوس

• عكس إشارتي عنصري القطر الرئيسي بدلًا من مبادلتهما في صيغة $2 \times 2$.
• نسيان القسمة على المحدِّد في النهاية.
• تطبيق عملية صفّية على النصف الأيسر من $[A \mid I]$ دون النصف الأيمن.
• ضرب $\mathbf{b}$ من الجهة الخاطئة: فالحلّ هو $A^{-1}\mathbf{b}$، و$\mathbf{b}A^{-1}$ غالبًا غير معرَّفة أصلًا.
• تقريب الكسور إلى أعداد عشرية مبكرًا، فلا يعود التحقق النهائي يعطي مصفوفة الوحدة بالضبط.

كل هذه الأخطاء تكشفها عادة واحدة: اضرب إجابتك في المصفوفة الأصلية قبل المتابعة. فالتحقق يكلّف دقيقة، وهو أسرع بكثير من إعادة حساب كامل لاحقًا.

مسائل للتدريب

جرّب هذه المسائل قبل مراجعة الإجابات. أولًا، جد معكوس المصفوفة التي صفّاها $(2, 1)$ و$(5, 3)$. محدِّدها $6 - 5 = 1$، فمعكوسها هو ببساطة المصفوفة الناتجة عن المبادلة وعكس الإشارتين، وصفّاها $(3, -1)$ و$(-5, 2)$. ثانيًا، حدّد ما إذا كانت المصفوفة التي صفّاها $(3, 6)$ و$(1, 2)$ قابلة للعكس. محدِّدها $6 - 6 = 0$، فهي شاذّة. ثالثًا، جد معكوس المصفوفة القطرية ذات العناصر 2 و4 و5 على قطرها: معكوسها عناصره القطرية نصف وربع وخُمس. وأخيرًا، استخدم الإجابة الأولى لحلّ $2x + y = 4$ و$5x + 3y = 11$: ضرب المعكوس في الثوابت يعطي $x = 3(4) - 11 = 1$ و$y = -5(4) + 2(11) = 2$، والمعادلتان كلتاهما تتحقّقان.

الأسئلة الشائعة