حاسبة المحدّدة: 2×2 و3×3 وأكبر مع الخطوات

عن حاسبة المحدّدة

تختصر المحدّدة المصفوفة المربعة في عدد واحد يجيب عن عدة أسئلة مهمة في آن واحد. هل المصفوفة قابلة للعكس؟ هل للنظام الخطي الذي تمثّله حل وحيد؟ بأي معامل يمدّ التحويل المساحات أو الحجوم، وهل يعكس الاتجاه؟ كل ذلك يُقرأ من المحدّدة.

تحسب هذه الحاسبة محدّدات المصفوفات المربعة بأي حجم عملي. وتختار الطريقة التي يستخدمها الكتاب المدرسي: قاعدة الضرب التبادلي للمصفوفات $2 \times 2$ ، والنشر على الصف الأول للمصفوفات $3 \times 3$ ، والحذف إلى الشكل المثلثي العلوي للمصفوفات $4 \times 4$ وما فوقها. وتُحوَّل الكسور والأعداد العشرية إلى كسور دقيقة، فتكون الإجابة دقيقة.

ما المحدّدة؟

المحدّدة عدد $\det(A)$ ، ويُكتب أيضًا $|A|$ ، معرّف لكل مصفوفة مربعة. وهي في المصفوفة $2 \times 2$ تساوي $ad - bc$ . وفي المصفوفات الأكبر تُعرَّف تعريفًا تكراريًا بالنشر بالعوامل المرافقة، أو بما يكافئه: مجموع بإشارات على كل تباديل الأعمدة.

هندسيًا، $|\det(A)|$ هو المعامل الذي يكبّر به التحويل الخطي $A$ المساحة في بُعدين أو الحجم في ثلاثة أبعاد. والمحدّدة السالبة تعني أن التحويل يعكس الاتجاه، مثل الانعكاس، والمحدّدة الصفرية تعني أن التحويل يسحق الفضاء إلى بُعد أدنى.

كيف تستخدم حاسبة المحدّدة

أدخل مصفوفة مربعة بمسافات بين العناصر وفواصل منقوطة (;) بين الصفوف، مثل 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
اضغط «أوجد المحدّدة».
اقرأ الطريقة المستخدمة لحجم مصفوفتك وكل قيمة وسيطة.
تحقق هل المحدّدة صفر لتعرف هل المصفوفة قابلة للعكس.

الصيغ

محدّدة 2×2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

النشر بالعوامل المرافقة (الصف الأول)

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

قاعدة حاصل الضرب

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

المصفوفة المثلثية

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

مثال محلول: مصفوفة 3×3

يوجد المثال محدّدة المصفوفة $3 \times 3$ ذات الصفوف $(2, -3, 1)$ و $(2, 0, -1)$ و $(1, 4, 5)$ بالنشر على الصف الأول. فكل عنصر في الصف الأول يُضرب في المحدّدة الصغرى $2 \times 2$ المتبقية بعد حذف صفه وعموده، بالإشارات $+$ و $-$ و $+$ .

قيم المحدّدات الصغرى 4 و11 و8، لذا فالمحدّدة $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . والقيمة غير الصفرية تعني أن هذه المصفوفة قابلة للعكس.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

\det A = 49

كيف فهمنا مسألتك

أوجد محدّدة مصفوفة 3×3.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

الحل خطوة بخطوة

قراءة المصفوفة 3×3
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
النشر على الصف الأول (النشر بالعوامل المرافقة)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
احسب كل محدّدة صغرى 2×2
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
اجمع بالإشارات المتناوبة + − +
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

الصيغ المستخدمة

محدّدة 2×2
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
النشر بالعوامل المرافقة
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

المحدّدة 49، وهي غير صفرية، لذا فالمصفوفة قابلة للعكس وصفوفها مستقلة خطيًا.

التحقق

حُسبت بدقة بالكسور؛ والاختزال الصفّي يعطي القيمة نفسها 49.

شرح مفصّل

النشر بالعوامل المرافقة

المحدّدة الصغرى $M_{ij}$ هي محدّدة المصفوفة المتبقية بعد حذف الصف $i$ والعمود $j$ . ويضيف العامل المرافق الإشارة $(-1)^{i+j}$ ، التي تتبع نمط رقعة الشطرنج بدءًا بـ $+$ في الزاوية العليا اليسرى. والنشر على أي صف أو عمود يعطي النتيجة نفسها، لذا يُستحسن عند الحساب اليدوي اختيار صف أو عمود فيه أصفار.

النشر بالعوامل المرافقة مثالي للمصفوفات $3 \times 3$ لكنه يتضخم بسرعة كبيرة: فنشر $4 \times 4$ يحتاج إلى أربع محدّدات $3 \times 3$ ، ونشر $10 \times 10$ سيحتاج إلى ملايين الحدود. ولهذا تغيّر الحاسبة الطريقة للمصفوفات الأكبر.

الاختزال الصفّي إلى الشكل المثلثي

إضافة مضاعف صف إلى صف آخر لا تغيّر المحدّدة، وتبديل صفين يعكس إشارتها، وضرب صف في معامل يضرب المحدّدة في المعامل نفسه. وبهذه القواعد تحذف الحاسبة العناصر الواقعة تحت كل عنصر محوري حتى تصبح المصفوفة مثلثية علوية، ثم تضرب عناصر القطر. وللمصفوفة $4 \times 4$ ذات الصفوف $(1, 0, 2, 0)$ و $(0, 3, 0, 1)$ و $(2, 0, 1, 0)$ و $(0, 1, 0, 2)$ يعطي ذلك $-15$ .

ماذا تعني المحدّدة الصفرية

المحدّدة الصفرية تعني أن الصفوف مرتبطة خطيًا: فصف واحد على الأقل تركيب خطي من الصفوف الأخرى. وليس للمصفوفة معكوس، والنظام $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ إما لا حل له وإما له عدد لا نهائي من الحلول. والمصفوفة ذات الصفوف $(1, 2, 3)$ و $(4, 5, 6)$ و $(7, 8, 9)$ هي المثال الكلاسيكي؛ فمحدّدتها 0 لأن الصف الأوسط متوسط الصفين الآخرين.

وتظهر المحدّدات أيضًا في قاعدة كرامر لحل الأنظمة الصغيرة، وفي كثيرة الحدود المميِّزة $\det(A - \lambda I) = 0$ التي جذورها القيم الذاتية، وفي صيغة تغيير المتغيرات للتكاملات المتعددة.

أخطاء شائعة

حساب $ad + bc$ أو $ab - cd$ بدلًا من $ad - bc$ .
نسيان الإشارات المتناوبة في النشر بالعوامل المرافقة.
استخدام محدّدة صغرى خاطئة بحذف الصف أو العمود الخطأ.
إهمال تغيّر الإشارة بعد تبديل صفين أثناء الاختزال الصفّي.
محاولة حساب محدّدة مصفوفة غير مربعة.

نصائح

انشر على الصف أو العمود الذي فيه أكبر عدد من الأصفار.
أخرج عاملًا مشتركًا من صف أولًا؛ فالمحدّدة تُضرب في العدد نفسه.
إذا تساوى صفان أو تناسبا، فالمحدّدة 0 دون أي عمل إضافي.
استخدم $\det(A^{T}) = \det(A)$ لتنشر على عمود حين يكون ذلك أسهل.
استخدم حاسبة معكوس المصفوفة حين تكون المحدّدة غير صفرية وتحتاج إلى $A^{-1}$ .
استخدم حاسبة القيم الذاتية، المبنية على $\det(A - \lambda I)$ .

الأسئلة الشائعة

كيف تُحسب محدّدة مصفوفة 2×2؟

اضرب عنصري القطر الرئيسي واطرح حاصل ضرب عنصري القطر الآخر: فللصفين (a, b) و(c, d) تكون المحدّدة ad − bc.

كيف تُحسب محدّدة مصفوفة 3×3؟

انشر على صف: اضرب كل عنصر في محدّدته الصغرى 2×2، وطبّق الإشارات + و− و+، ثم اجمع. وتعرض الحاسبة كل محدّدة صغرى والمجموع النهائي.

ما الطريقة المستخدمة للمصفوفات 4×4 وما فوقها؟

الاختزال الصفّي إلى الشكل المثلثي العلوي، ثم ضرب عناصر القطر. وهذا أسرع كثيرًا من النشر بالعوامل المرافقة في المصفوفات الكبيرة.

ماذا تعني المحدّدة الصفرية؟

المصفوفة منفردة: صفوفها مرتبطة خطيًا، وليس لها معكوس، وليس للنظام الخطي المقابل حل وحيد.

هل يمكن أن تكون المحدّدة سالبة؟

نعم. المحدّدة السالبة تعني أن التحويل يعكس الاتجاه. وتبقى قيمتها المطلقة معامل تكبير المساحة أو الحجم.

هل يمكنني حساب محدّدة مصفوفة غير مربعة؟

لا. المحدّدات معرّفة للمصفوفات المربعة فقط، وتذكر الحاسبة حجم الإدخال غير المربع.

هل الكسور مدعومة؟

نعم. تُحوَّل الكسور والأعداد العشرية إلى كسور دقيقة، فتكون المحدّدة دقيقة.

أوجد محدّدتك

أدخل مصفوفة مربعة في الأعلى لترى المحدّدة وكل خطوة في الطريقة المستخدمة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة المحدّدة