حاسبة الكسور: جمع الكسور وطرحها وضربها وقسمتها خطوة بخطوة

Q: هل يمكنني الجمع بين الأعداد العشرية والكسور؟

نعم. يُحوَّل العدد العشري مثل 0.25 أولًا إلى الكسر الدقيق 1/4، فتبقى الإجابة دقيقة.

عن حاسبة الكسور

يصف الكسر $\frac{a}{b}$ عدد $a$ من الأجزاء المتساوية من أصل $b$ . يحتاج جمع الكسور وطرحها إلى مقام مشترك، أما الضرب والقسمة فيُجريان مباشرة على البسوط والمقامات.

تقرأ هذه الحاسبة تعبيرًا كاملًا مثل $1\tfrac12 + \tfrac{3}{4} \times \tfrac{2}{5}$ ، وتراعي ترتيب العمليات، وتُبقي كل قيمة وسيطة كسرًا دقيقًا، فلا يحدث أي خطأ تقريب.

ما هو الكسر؟

الكسر عدد يُكتب على صورة عدد صحيح فوق عدد صحيح آخر، $\frac{a}{b}$ حيث $b \neq 0$ . العدد السفلي، أي المقام، يبيّن عدد الأجزاء المتساوية التي قُسّم إليها الكل؛ والعدد العلوي، أي البسط، يبيّن عدد الأجزاء التي لديك منها. فالكسر $\frac34$ يعني ثلاث قطع من كلٍّ قُسّم إلى أربع.

الكسر أيضًا عملية قسمة: $\frac34$ هو العدد نفسه $3 \div 4 = 0.75$ . عندما يكون البسط أصغر من المقام يكون الكسر فعليًا وتقع قيمته بين 0 و1. وعندما يكون أكبر يكون الكسر غير فعلي، مثل $\frac{7}{4}$ ، ويمكن كتابته أيضًا عددًا كسريًا $1\tfrac34$ . كثير من الكسور المختلفة تمثل القيمة نفسها؛ فالكسور $\frac{2}{4}$ و $\frac{3}{6}$ و $\frac{50}{100}$ كلها تساوي $\frac12$ ، والكسر الذي لم يبقَ بين بسطه ومقامه عامل مشترك يُقال إنه في أبسط صورة.

كيف تستخدم حاسبة الكسور

اكتب التعبير مستخدمًا / لكل خط كسر، مثل 2/3 + 5/6.
اكتب العدد الكسري بمسافة بين الجزء الصحيح والكسر: 1 1/2.
استخدم + و− و* أو × و÷ بين الكسور. يُسمح باستخدام الأقواس.
اضغط «احسب» لترى المقام المشترك الأصغر والبسط بعد الدمج والنتيجة المختزلة.

الصيغ

جمع الكسور

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

عمليًا، يُبقي المقام المشترك الأصغر الأعداد صغيرة.

ضرب الكسور

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

قسمة الكسور

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

اضرب في مقلوب المقسوم عليه.

الاختزال

\frac{a}{b} = \frac{a \div g}{b \div g},\quad g = \gcd(a, b)

مثال محلول: 2/3 + 5/6

يجمع المثال المحلول $\frac23$ و $\frac56$ . المقامان مختلفان، لذا تجد الحاسبة أولًا مقامهما المشترك الأصغر، وهو 6، وتعيد كتابة $\frac23$ على صورة $\frac46$ . جمع البسطين يعطي $\frac96$ ، وبين بسطه ومقامه العامل المشترك 3، فيُختزل إلى $\frac32$ ، أي $1\tfrac12$ في صورة عدد كسري. ويؤكد التحقق العشري 1.5 صحة النتيجة.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

\frac{3}{2}

كيف فهمنا مسألتك

حساب دقيق بالكسور (تبقى النتائج في أبسط صورة).

الحل خطوة بخطوة

أعد كتابة الكسرين بالمقام المشترك الأصغر
المقام المشترك الأصغر للكسرين 3 و6 هو 6.
$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6}$
اجمع البسطين وأبقِ المقام كما هو
$\frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6}$
بسّط
اقسم البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر 3.
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
الإجابة النهائية في أبسط صورة
$\frac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}$

الصيغ المستخدمة

الجمع
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
الضرب
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
القسمة
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

في الجمع والطرح تُوحَّد مقامات الكسور أولًا، وفي الضرب يُضرب البسط في البسط والمقام في المقام، وفي القسمة يُضرب في مقلوب المقسوم عليه. ثم تُختزل النتيجة بالقاسم المشترك الأكبر.

التحقق

تحقق عشري: 3/2 ≈ 1.5
في صورة عدد كسري: 1 1/2

شرح مفصّل

لماذا يحتاج الجمع إلى مقام مشترك

لا يمكنك جمع إلا قطع متساوية الحجم. الأثلاث والأسداس أحجام مختلفة، لذا لا يمكن جمع $\frac23 + \frac56$ حتى يُعبَّر عن الكسرين كليهما بالأسداس. ضرب بسط الكسر ومقامه في العدد نفسه لا يغيّر قيمته، وهذا ما يجعل إعادة الكتابة صحيحة. ويُستخدم المقام المشترك الأصغر بدلًا من حاصل ضرب المقامين ببساطة لأنه يُبقي الأعداد صغيرة ويقلل عادةً عمل الاختزال في النهاية.

الضرب والقسمة

لا يحتاج الضرب إلى مقام مشترك: تضرب مباشرة، البسط في البسط والمقام في المقام. أخذ $\frac23$ من $\frac34$ يعني ثلثي ثلاثة أرباع، أي $\frac{6}{12} = \frac12$ . أما القسمة فتسأل كم مرة يتسع المقسوم عليه في المقسوم، وهذا يساوي الضرب في مقلوبه. في $\frac34 \div \frac25$ تعيد الحاسبة كتابة المسألة على صورة $\frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8}$ ، أي $1\tfrac78$ .

الأعداد الكسرية والعشرية والتعابير الأطول

تُحوَّل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية قبل أي عملية حسابية، وتُحوَّل الأعداد العشرية إلى كسور دقيقة، فيصبح $0.25 + \frac13$ هو $\frac14 + \frac13 = \frac{7}{12}$ بدلًا من عدد عشري مقرّب. في تعبير مثل $1\tfrac12 - \frac34 \times \frac25$ يُجرى الضرب أولًا فيعطي $\frac{3}{10}$ ، ثم يعطي الطرح $\frac{6}{5}$ . والإبقاء على كل قيمة وسيطة دقيقة هو ما يجعل الإجابة النهائية دقيقة أيضًا.

أخطاء شائعة

جمع المقامات: $\frac12 + \frac13$ يساوي $\frac56$ ، وليس $\frac25$ .
نسيان قلب الكسر الثاني عند القسمة.
معاملة $1\tfrac12$ على أنها $1 \times \tfrac12$ ؛ فالعدد الكسري يعني $1 + \tfrac12$ .
ترك الإجابة دون اختزال، مثل $\frac{6}{8}$ بدلًا من $\frac34$ .
الضرب التبادلي عند الجمع؛ فالضرب التبادلي اختصار لمقارنة الكسور أو حل التناسبات، لا لإيجاد المجاميع.
الاختزال عبر علامة الجمع، مثل حذف العددين 3 في $\frac{3 + 1}{3}$ .

نصائح

احذف العوامل المشتركة قبل الضرب لتبقى الأعداد صغيرة.
حوّل الأعداد الكسرية إلى كسور غير فعلية قبل الضرب أو القسمة.
تحقق من النتيجة بتحويل الطرفين إلى أعداد عشرية.
لمقارنة الكسرين $\frac{a}{b}$ و $\frac{c}{d}$ ذوي المقامين الموجبين، قارن $ad$ بـ $bc$ .
قدّر أولًا: $\frac23 + \frac56$ أقل بقليل من $\frac12 + 1$ ، لذا فإجابة قريبة من 1.5 معقولة.
اختزل كل كسر قبل أن تبدأ؛ فالأعداد الأصغر تجعل إيجاد المقام المشترك أسهل.

الأسئلة الشائعة

كيف أجمع كسورًا مختلفة المقامات؟

أعد كتابة الكسرين بمقامهما المشترك الأصغر، ثم اجمع البسطين واختزل. في $\frac23 + \frac56$ المقام المشترك الأصغر هو 6، فنحصل على $\frac46 + \frac56 = \frac96 = \frac32$ .

كيف أُدخل عددًا كسريًا؟

اكتب العدد الصحيح ثم مسافة ثم الكسر، مثل 2 3/4. تحوّله الحاسبة إلى $\frac{11}{4}$ قبل الحساب.

هل يمكنني الجمع بين الأعداد العشرية والكسور؟

نعم. يُحوَّل العدد العشري مثل 0.25 أولًا إلى الكسر الدقيق $\frac14$ ، فتبقى الإجابة دقيقة.

لماذا تظهر إجابتي كسرًا غير فعلي وعددًا كسريًا معًا؟

كلاهما يصف القيمة نفسها. الكسور غير الفعلية أسهل في العمليات الجبرية اللاحقة، والأعداد الكسرية أسهل في التصوّر.

ماذا يحدث إذا قسمت على صفر؟

القسمة على كسر يساوي صفرًا غير معرّفة، لذا تتوقف الحاسبة وتخبرك بالجزء من التعبير الذي تسبب في ذلك.

هل تتبع الحاسبة ترتيب العمليات؟

نعم. يُجرى الضرب والقسمة قبل الجمع والطرح، وتُحسب الأقواس أولًا.

كيف أقسم كسرًا على كسر؟

أبقِ الكسر الأول كما هو، وحوّل القسمة إلى ضرب، واقلب الكسر الثاني. $\frac34 \div \frac25 = \frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8} = 1\tfrac78$ .

كيف أحوّل كسرًا غير فعلي إلى عدد كسري؟

اقسم البسط على المقام. خارج القسمة هو الجزء الصحيح، والباقي يوضع فوق المقام الأصلي: $\frac{15}{8}$ يعطي 1 والباقي 7، إذن $1\tfrac78$ .

كيف أحوّل كسرًا إلى عدد عشري أو نسبة مئوية؟

اقسم البسط على المقام لتحصل على العدد العشري، ثم اضرب في 100 لتحصل على النسبة المئوية. $\frac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%$ . وتعرض الحاسبة القيمة العشرية لكل إجابة للتحقق.

ابدأ حساب الكسور الآن

أدخل أي تعبير كسري في الأعلى، بما في ذلك الأعداد الكسرية والعشرية، لتحصل على إجابة دقيقة في أبسط صورة مع شرح كل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي