الجبر الخطي هو رياضيات المتجهات والمصفوفات. تشرح هذه الأدلة العمليات ومعناها الهندسي وكيف تحسبها باليد دون أخطاء.
تبدو المصفوفات جداول أعداد، لكن كلًّا منها يصف تحويلًا: دورانًا أو تمديدًا أو إسقاطًا. واستحضار هذه الصورة يفسّر لماذا لا يكون ضرب المصفوفات إبداليًا، ولماذا يعني المحدّد الصفري عدم وجود معكوس، وما المتجه الذاتي حقًا.
يقرن كل دليل هنا الحساب بمعناه. سترى القواعد صيغًا، وأمثلة محلولة بحجم 2×2 و3×3 يُكتب فيها كل حاصل ضرب، وطرق تحقق مثل ضرب المصفوفة في معكوسها لاستعادة مصفوفة الوحدة. وتعيد حاسبات المصفوفات والمحدّدات والمعكوس والقيم الذاتية والضرب القياسي والضرب الاتجاهي الخطوات نفسها.
يظل الحساب اليدوي مهمًا مع أن البرامج تضرب المصفوفات في لحظة: فالامتحانات تختبره، وفهم حالة 2×2 أو 3×3 باليد هو ما يمكّنك من تفسير مخرجات الحاسوب لمصفوفة 100×100. وكل مثال هنا صغير بما يكفي لإنهائه على الورق.
ابدأ بأساسيات المصفوفات، ثم المحدّدات والمعكوسات؛ فالمتجهات والقيم الذاتية تُبنى على كليهما.
الجبر الخطي
المصفوفة شبكة مستطيلة من الأعداد مرتّبة في صفوف وأعمدة. وتخزّن المصفوفات البيانات بإيجاز، والأهم أنها تمثّل التحويلات الخطية وأنظمة المعادلات. يتناول هذا الدليل الرموز والعمليات الأساسية، مع عناية خاصة بضرب المصفوفات.
الجبر الخطي
المحدِّد عدد واحد يُحسب من مصفوفة مربعة. وهو يخبرك ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، وبأي معامل تكبّر المساحات والأحجام، وما إذا كانت تقلب الاتجاه. يعرض هذا الدليل كل الطرق القياسية لحسابه، مع أمثلة محلولة.
الجبر الخطي
معكوس المصفوفة المربعة يلغي ما تفعله المصفوفة، كما تلغي القسمة الضرب. وللمصفوفة معكوس إذا وفقط إذا كان محدِّدها غير صفري. يتناول هذا الدليل صيغة 2 في 2 السريعة، وطريقة غاوس-جوردان العامة، وكيف تحلّ المعكوسات أنظمة المعادلات.
الجبر الخطي
المتّجه الذاتي للمصفوفة اتجاه لا تفعل به المصفوفة إلا أن تمطّه أو تقلبه، دون أن تديره أبدًا، والقيمة الذاتية هي معامل المطّ. وهما يكشفان السلوك الجوهري للمصفوفة، وعليهما يقوم التحويل إلى صورة قطرية، وتحليل الاستقرار، وسلاسل ماركوف، وضغط البيانات.
الجبر الخطي
يجمع الضرب النقطي متّجهين في عدد واحد يقيس مدى اشتراكهما في الاتجاه. وهو أداة إيجاد الزوايا بين المتّجهات، والتحقق من التعامد، وإسقاط متّجه على آخر، وحساب الشغل في الفيزياء.
الجبر الخطي
يضرب الضرب الاتجاهي متّجهين في ثلاثة أبعاد ويعيد متّجهًا جديدًا عموديًا على كليهما. وطوله يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّده المتّجهان، مما يجعله الأداة القياسية للمتّجهات العمودية والمساحات وعزم الدوران والأحجام.