شرح الضرب الاتجاهي لمتّجهين

ما الذي يُنتجه الضرب الاتجاهي

يحوّل الضرب النقطي متّجهين إلى عدد. أما الضرب الاتجاهي، ويُسمّى أيضًا الضرب المتّجهي، فيحوّل متّجهين إلى متّجه ثالث. وهو معرَّف في ثلاثة أبعاد فقط، وللناتج سمتان معرِّفتان. فاتجاهه عمودي على المتّجهين الأصليين كليهما، وطوله يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يكوّنانه:

هنا $\theta$ الزاوية بين المتّجهين، من 0 إلى 180 درجة. ولأن جيب الزاويتين 0 و180 درجة صفر، فالمتّجهان المتوازيان ضربهما الاتجاهي صفر دائمًا، والمتّجهان المتعامدان يعطيان أكبر طول ممكن بالنسبة إلى مقداريهما.

صيغة المركّبات

إذا كان $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ و$\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$، فالمركّبات هي:

يصعب حفظ هذه الصيغة، لذا يستخدم معظم الناس بدلًا منها محدِّدًا رمزيًا. ضع متّجهات الوحدة $\mathbf{i}$ و$\mathbf{j}$ و$\mathbf{k}$ في الصف الأول، ثم مركّبات $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$، وانشر على الصف الأول:

اختم دائمًا بالتحقّقين بالضرب النقطي. فهما يستغرقان ثوانيَ ويكشفان كل أخطاء الإشارة تقريبًا، ولا سيما في المركّبة الوسطى.

قاعدة اليد اليمنى والترتيب

هناك اتجاهان متعاكسان عموديان على المتّجهين كليهما، وقاعدة اليد اليمنى تختار أحدهما. وجّه أصابع يدك اليمنى على امتداد $\mathbf{a}$، ثم اثنِها نحو $\mathbf{b}$، فيشير إبهامك على امتداد $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. ولمتّجهات الوحدة القياسية يعطي هذا $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ و$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ و$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

عكس الترتيب يجعل إبهامك يشير إلى الجهة الأخرى، فالضرب الاتجاهي ضدّ إبدالي:

وهو أيضًا غير تجميعي: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$، بينما $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. لكنه توزيعي على الجمع، ويمكن إخراج الأعداد القياسية عاملًا، فيكون $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

مساحات متوازيات الأضلاع والمثلثات

لأن طوله هو مساحة متوازي أضلاع، يعطي الضرب الاتجاهي المساحات مباشرةً من الإحداثيات. فمتّجها المثال 1 يولّدان متوازي أضلاع مساحته $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$، والمثلث الذي هذان ضلعاه مساحته نصف ذلك، أي نحو 3.67.

المتّجهات العمودية ومعادلات المستويات

يتحدّد المستوى بنقطة عليه ومتّجه عمودي عليه. وبما أن الضرب الاتجاهي لمتّجهين واقعين في مستوى عمودي على كليهما، فهو بالضبط متّجه عمودي من هذا النوع. ففي المثال 2، المتّجه $(6, 3, 2)$ عمودي على المستوى المارّ بـ $P$ و$Q$ و$R$، فمعادلة المستوى $6x + 3y + 2z = d$. والتعويض بـ $P(1, 0, 0)$ يعطي $d = 6$.

المستوى هو $6x + 3y + 2z = 6$، والنقطتان $Q$ و$R$ تحقّقانه أيضًا: $3 \cdot 2 = 6$ و$2 \cdot 3 = 6$. والفكرة نفسها تُستخدم باستمرار في الرسوميات ثلاثية الأبعاد (3D)، حيث يحتاج كل مثلث في النموذج إلى متّجه عمودي لتحديد طريقة إضاءته وأي وجهيه يواجه الكاميرا.

عزم الدوران وتطبيقات فيزيائية أخرى

عزم الدوران، أي الأثر الدوراني للقوة، ضرب اتجاهي: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$، حيث يمتدّ $\mathbf{r}$ من محور الدوران إلى النقطة التي تؤثّر فيها القوة. ومقداره $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

الزخم الزاوي والقوة المغناطيسية المؤثّرة في شحنة متحرّكة ضربان اتجاهيان أيضًا، وفي كل حالة تعطي قاعدة اليد اليمنى اتجاه الناتج.

الضرب الثلاثي القياسي والحجم

الجمع بين الضربين يعطي الضرب الثلاثي القياسي $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$، وهو يساوي المحدِّد $3 \times 3$ الذي صفوفه $\mathbf{a}$ و$\mathbf{b}$ و$\mathbf{c}$. وقيمته المطلقة هي حجم الصندوق المائل الذي تولّده المتّجهات الثلاثة. فللمتّجهات $(1, 0, 0)$ و$(0, 2, 0)$ و$(0, 0, 3)$، الصندوق متوازي مستطيلات عادي والضرب الثلاثي $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. والضرب الثلاثي الصفري يعني أن المتّجهات الثلاثة تقع في مستوى واحد.

تحسب حاسبة الضرب الاتجاهي الضرب الاتجاهي مع عرض كل خطوة من خطوات المحدِّد، وتعطي أيضًا المساحات والزاوية بين المتّجهين. واستخدمها مع حاسبة الضرب النقطي للتحقق من التعامد.

المسافة من نقطة إلى مستقيم

يحلّ تفسير المساحة أيضًا مسألة مسافة كلاسيكية. خذ مستقيمًا يمرّ بنقطة $A$ متّجه اتجاهه $\mathbf{u}$، ونقطة $P$ خارج المستقيم. متوازي الأضلاع الذي يولّده $\overrightarrow{AP}$ و$\mathbf{u}$ مساحته $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$، وبما أن قاعدته $|\mathbf{u}|$، فإن ارتفاعه، وهو المسافة من $P$ إلى المستقيم، يساوي المساحة مقسومة على القاعدة.

فمثلًا، خذ المستقيم المارّ بنقطة الأصل في الاتجاه $(1, 2, 2)$ والنقطة $P(2, 1, 3)$. الضرب الاتجاهي $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ طوله $\sqrt{26}$، ومتّجه الاتجاه طوله 3، فالمسافة $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. ويمكنك التأكّد من ذلك بالإسقاط: فبعد النقطة عن نقطة الأصل $\sqrt{14}$ وطول إسقاطها على المستقيم $\frac{10}{3}$، ومبرهنة فيثاغورس تعطي المسافة نفسها.

أخطاء شائعة وتدريب

• نسيان إشارة السالب في المركّبة الوسطى عند نشر المحدِّد.
• عكس ترتيب المتّجهين، مما يقلب اتجاه الإجابة.
• استخدام طول الضرب الاتجاهي مساحةً للمثلث بدلًا من نصفه.
• محاولة حساب الضرب الاتجاهي لمتّجهين ثنائيي البُعد دون إضافة مركّبة ثالثة صفرية أولًا.

للتدريب، تحقّق من أن $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$، وهي القاعدة $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$. ثم تأكّد من أن $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ هو المتّجه الصفري، لأن المتّجه الثاني ضعف الأول. وأخيرًا، احسب $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$؛ ينبغي أن تحصل على $(1, -1, 1)$، وأن يعطي التحقّقان بالضرب النقطي صفرًا.

لماذا تعطي الصيغة متّجهًا عموديًا

يستحق الأمر أن ترى لماذا تصلح صيغة المركّبات بدلًا من الاكتفاء بالثقة بها. اضرب الناتج ضربًا نقطيًا في $\mathbf{a}$ نفسه: تحصل على $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$. فكّ الأقواس فيظهر كل حدّ مرتين بإشارتين متعاكستين، فيكون المجموع صفرًا تمامًا. ويحدث الإلغاء نفسه عند الضرب النقطي في $\mathbf{b}$. وبلغة المحدِّدات، الضرب النقطي في $\mathbf{a}$ يستبدل بصف متّجهات الوحدة $\mathbf{a}$، فيُنتج محدِّدًا فيه صفّان متساويان، ومثل هذا المحدِّد صفر دائمًا. وفي الحالتين، التعامد مبنيّ في الصيغة نفسها وليس مصادفة في أمثلة بعينها.

الأسئلة الشائعة