حاسبة المتباينات: حل المتباينات خطوة بخطوة

عن حاسبة المتباينات

المعادلة تسأل أين يتساوى تعبيران؛ أما المتباينة فتسأل أين يكون أحدهما أكبر من الآخر أو أصغر. والإجابة عادةً ليست عددًا واحدًا بل مدى من الأعداد، مثل جميع قيم $x$ بين 2 و3. وكتابة هذا المدى بشكل صحيح، بالأقواس والأطراف الصحيحة، هي الموضع الذي تضيع فيه معظم الدرجات.

تحل هذه الحاسبة المتباينات الخطية مثل $3x - 5 \ge 7$ ، ومتباينات كثيرات الحدود مثل $x^2 - 5x + 6 < 0$ ، والمتباينات الكسرية مثل $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ ، والمتباينات المركبة مثل $-3 < 2x + 1 \le 9$ ، ومتباينات القيمة المطلقة مثل $|x - 4| < 3$ . وتعرض دائمًا النقاط التي تقسم خط الأعداد وتختبر كل فترة، فترى لماذا كانت الإجابة كما هي.

ما هي المتباينة؟

المتباينة تقارن بين تعبيرين بأحد الرموز $<$ أو $>$ أو $\le$ أو $\ge$ . ومجموعة حلها هي كل قيمة للمتغير تجعل المقارنة صحيحة. للمتباينة $x + 2 > 5$ مجموعة الحل هي كل عدد أكبر من 3، وتُكتب $(3, \infty)$ .

يستخدم ترميز الفترات الأقواس الدائرية للأطراف المستبعدة والأقواس المربعة للأطراف المضمّنة. وتأخذ اللانهاية دائمًا قوسًا دائريًا لأنها ليست عددًا يمكن بلوغه. وتُضم الأجزاء المنفصلة برمز الاتحاد، كما في $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

كيف تستخدم حاسبة المتباينات

اكتب المتباينة باستخدام < أو > أو <= أو >=، مثل x^2 - 5x + 6 < 0 أو 2x + 3 >= 7.
للمتباينات المركبة، اكتب المقارنتين في سطر واحد، مثل -3 < 2x + 1 <= 9.
للقيم المطلقة استخدم abs()، مثل abs(x - 4) < 3.
اضغط «حُلّ». راجع النقاط الحرجة وجدول الإشارات، ثم اقرأ مجموعة الحل بترميز الفترات.

الصيغ

عكس اتجاه المتباينة

a < b \text{ و } k < 0 \Rightarrow ka > kb

الضرب أو القسمة على عدد سالب يعكس اتجاه المتباينة.

القيمة المطلقة، أصغر من

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

القيمة المطلقة، أكبر من

|u| > c \iff u < -c \ \text{أو}\ u > c

إشارة حاصل الضرب

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

مثال محلول: x² − 5x + 6 < 0

في المثال، تُحلَّل $x^2 - 5x + 6 < 0$ إلى $(x - 2)(x - 3) < 0$ . تقسم النقطتان الحرجتان 2 و3 خط الأعداد إلى ثلاث فترات، ويختبر المحرك قيمة واحدة في كل منها.

الفترة الوسطى وحدها تعطي حاصل ضرب سالبًا، والطرفان مستبعدان لأن المتباينة تامة، لذا فالإجابة هي الفترة المفتوحة $(2, 3)$ .

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

(2, 3)

كيف فهمنا مسألتك

حل المتباينة واكتب الإجابة بترميز الفترات.

{x}^{2}-5x+6 < 0

الحل خطوة بخطوة

انقل كل شيء إلى طرف واحد وحلّل
يحتاج جدول الإشارات إلى الصورة f(x) مقارنةً بـ 0، مكتوبة على شكل حاصل ضرب أو قسمة عوامل.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
أوجد النقاط الحرجة
لا يمكن أن تتغير الإشارة إلا عند 2 (صفر)، و3 (صفر).
اختبر نقطة واحدة في كل فترة (جدول الإشارات)
(-∞, 2): الاختبار x = 1 → الإشارة + → مستبعدة؛ (2, 3): الاختبار x = 2.5 → الإشارة − → مضمّنة؛ (3, ∞): الاختبار x = 4 → الإشارة + → مستبعدة
حدّد الأطراف
2: مستبعد؛ 3: مستبعد
اكتب مجموعة الحل
$x \in (2, 3)$

الصيغ المستخدمة

عكس اتجاه المتباينة
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
القيمة المطلقة
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ أو } A > c$

تتحقق المتباينة تمامًا عندما يكون x في (2, 3). النقاط التي تكون فيها العبارة غير معرّفة لا تُضمَّن أبدًا، والأطراف التي تساوي عندها العبارة صفرًا لا تُضمَّن إلا مع ≤ أو ≥.

التحقق

x = 1: لا يحقق المتباينة.
x = 2.5: يحقق المتباينة.
x = 4: لا يحقق المتباينة.

شرح مفصّل

المتباينات الخطية

حل المتباينة الخطية تمامًا كالمعادلة، مع قاعدة إضافية واحدة: كلما ضربت الطرفين أو قسمتهما على عدد سالب، اعكس اتجاه الإشارة. من $-2x > 6$ تحصل على $x < -3$ ، لأن الضرب في $-\tfrac12$ يعكس ترتيب الأعداد على الخط.

والسبب أن أخذ السالب يعكس خط الأعداد كالمرآة. إذا كان $5 > 2$ ، فإن $-5 < -2$ . أما جمع العدد نفسه أو طرحه من الطرفين فلا يغيّر الاتجاه أبدًا.

طريقة جدول الإشارات

في متباينات كثيرات الحدود والمتباينات الكسرية، انقل كل شيء إلى طرف واحد ليكون الطرف الآخر صفرًا. ثم أوجد النقاط الحرجة: أصفار البسط، وفي العبارات الكسرية أصفار المقام أيضًا. لا يمكن لكثيرة الحدود أن تغيّر إشارتها إلا عند صفر، لذا تكون إشارتها ثابتة بين كل نقطتين حرجتين متتاليتين.

اختر أي قيمة اختبار داخل كل فترة وحدد الإشارة. احتفظ بالفترات التي تطابق فيها الإشارة المتباينة. ثم حدد كل طرف: أصفار البسط تُضمَّن مع $\le$ أو $\ge$ ، أما أصفار المقام فتُستبعد دائمًا لأن العبارة غير معرّفة عندها.

الجذور المكررة تستحق الانتباه. في $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ ، العامل $(x - 1)^2$ لا يغيّر إشارته أبدًا، لذا تحتفظ العبارة بالإشارة نفسها على جانبي $x = 1$ . يتعامل جدول الإشارات مع هذا تلقائيًا، بينما لا يفعل ذلك الاختصار القائم على تناوب الإشارات.

المتباينات المركبة ومتباينات القيمة المطلقة

تُحل المتباينة المركبة مثل $-3 < 2x + 1 \le 9$ بإجراء العملية نفسها على الأجزاء الثلاثة معًا، فنحصل على $-2 < x \le 4$ . وتتحول متباينة القيمة المطلقة إلى متباينة مركبة: $|x - 4| < 3$ تعني أن المسافة من $x$ إلى 4 أقل من 3، إذن $1 < x < 7$ .

أخطاء شائعة

نسيان عكس الإشارة بعد الضرب أو القسمة على عدد سالب.
ضرب الطرفين في عبارة مثل $x - 2$ إشارتها مجهولة. استخدم جدول الإشارات بدلًا من ذلك.
تضمين قيمة تجعل المقام صفرًا في مجموعة الحل.
استخدام أقواس مربعة بجانب اللانهاية.
كتابة $|x| > 3$ على الصورة $-3 > x > 3$ ، التي لا يحققها أي عدد؛ فمعناها $x < -3$ أو $x > 3$ .

نصائح

اجعل أحد الطرفين صفرًا قبل التحليل.
ارسم خط الأعداد مع النقاط الحرجة في كل مرة؛ فهذا يمنع معظم أخطاء الأطراف.
تحقق من قيمة واحدة من إجابتك وقيمة واحدة خارجها في المتباينة الأصلية.
الإشارات التامة تعطي أقواسًا دائرية؛ والإشارات غير التامة تعطي أقواسًا مربعة عند أصفار البسط.

الأسئلة الشائعة

لماذا تنعكس إشارة المتباينة عند القسمة على عدد سالب؟

الضرب في عدد سالب يعكس ترتيب الأعداد على خط الأعداد. فبما أن 5 أكبر من 2 لكن سالب 5 أصغر من سالب 2، يجب أن تنعكس المقارنة لتبقى صحيحة.

ما هو ترميز الفترات؟

طريقة لكتابة مجموعة الحل باستخدام الأقواس. الأقواس الدائرية تستبعد الطرف، والمربعة تضمّنه، وتُضم الأجزاء برمز الاتحاد.

كيف أحل متباينة تربيعية؟

انقل كل شيء إلى طرف واحد، وحلّل أو أوجد الجذور، وضعها على خط الأعداد، واختبر قيمة في كل فترة، واحتفظ بالفترات التي تطابق فيها الإشارة.

لماذا تُستبعد بعض الأطراف في المتباينات الكسرية؟

القيم التي تجعل المقام صفرًا تجعل العبارة غير معرّفة، فلا يمكن أن تكون جزءًا من الحل أبدًا، حتى مع «أصغر من أو يساوي» أو «أكبر من أو يساوي».

هل يمكن ألا يكون للمتباينة حل؟

نعم. مثلًا x تربيع زائد 1 أصغر من 0 ليس لها حل حقيقي لأن x تربيع زائد 1 موجب دائمًا. وتعرض الحاسبة المجموعة الخالية.

هل يمكن أن تكون المتباينة صحيحة لجميع الأعداد الحقيقية؟

نعم. مثلًا x تربيع أكبر من أو يساوي 0 تتحقق لكل x حقيقي، وتجيب الحاسبة بخط الأعداد الحقيقية كله.

حل متباينتك

اكتب متباينة في الأعلى لتحصل على النقاط الحرجة وجدول الإشارات ومجموعة الحل بترميز الفترات.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي