حاسبة المجال والمدى: خطوات بترميز الفترات

عن حاسبة المجال والمدى

قبل أن تمثّل دالة بيانيًا أو تجد عكسها أو تحل معادلة تتضمنها، تحتاج إلى معرفة المُدخلات التي تقبلها والمُخرجات التي يمكن أن تُنتجها. هاتان المجموعتان هما المجال والمدى. وإيجاد المجال يقوم في الغالب على رصد العمليات الممنوعة؛ أما إيجاد المدى فأصعب، لأنه يسأل عن الارتفاعات التي يبلغها المنحنى فعلًا.

تجد هذه الحاسبة كليهما لكثيرات الحدود والدوال الكسرية والجذور واللوغاريتمات والدوال الأسية والقيم المطلقة والدوال المثلثية الأساسية. فهي تذكر كل قيد وتحله، ثم تدرس الدالة على كل جزء من مجالها لتكوّن المدى. وتُعطى الإجابات بترميز الفترات مع أطراف دقيقة حيثما أمكن.

ما المجال والمدى؟

مجال الدالة هو مجموعة كل المُدخلات $x$ التي تُنتج عندها الصيغة عددًا حقيقيًا. والمدى هو مجموعة كل المُخرجات $f(x)$ التي نحصل عليها حين تمر $x$ على المجال كله. وعلى التمثيل البياني، المجال هو ظل المنحنى على المحور $x$ ، والمدى هو ظله على المحور $y$ .

ثلاث عمليات تقيّد الصيغ ذات القيم الحقيقية: القسمة، التي تمنع أن يكون المقام صفرًا؛ والجذور الزوجية، التي تحتاج إلى ما تحت جذر غير سالب؛ واللوغاريتمات، التي تحتاج إلى مُدخل موجب. والدالة المبنية دون هذه العمليات، مثل أي كثيرة حدود، يضم مجالها كل الأعداد الحقيقية.

كيف تستخدم حاسبة المجال والمدى

اكتب الدالة بدلالة $x$ ، مثل (x + 1)/(x - 2) أو sqrt(x - 3) أو log(x + 2).
اضغط «أوجد المجال والمدى».
اقرأ قائمة القيود وكيف يُحل كل منها.
تابع خطوات المدى، التي تفحص الدالة على كل فترة من فترات المجال.
انسخ المجال والمدى بترميز الفترات.

الصيغ

المقام

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

الجذر الزوجي

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

اللوغاريتم

\ln u(x):\; u(x) > 0

رأس القطع المكافئ

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

مثال محلول: (x + 1)/(x − 2)

يحلل المثال $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . القيد الوحيد هو أن المقام لا يمكن أن يساوي صفرًا، لذا تُحذف $x = 2$ من المجال.

ولإيجاد المدى يفحص المحرك كل جانب من جانبي الفجوة على حدة. ففي كلا الجزأين تقترب الدالة من خط التقارب الأفقي $y = 1$ دون أن تساويه أبدًا، لذا فإن 1 هي القيمة الوحيدة الغائبة عن المدى.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

كيف فهمنا مسألتك

أوجد كل عدد حقيقي x تكون عنده f(x) = (x + 1) / (x - 2) معرّفة (المجال) وكل قيمة تأخذها (المدى).

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

الحل خطوة بخطوة

اكتب الدالة
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
اذكر القيود
المقام (x - 2) لا يمكن أن يساوي 0.
حلّ (x - 2) ≠ 0
لا يمكن أن تتغير إشارة العبارة إلا عند 2. واختبار قيمة في كل فترة يعطي مجموعة الحل (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
المدى على (-∞, 2)
عندما x → -∞, f → 1؛ وعندما x → 2⁻, f → -∞. لا توجد نقاط تحول داخل هذه الفترة، لذا فإن f رتيبة أو ثابتة فيها. والدالة متصلة على هذه الفترة، لذا تأخذ كل قيمة بين الصغرى (-∞، غير مُدرَكة) والعظمى (1، غير مُدرَكة).
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
المدى على (2, ∞)
عندما x → 2⁺, f → ∞؛ وعندما x → ∞, f → 1. لا توجد نقاط تحول داخل هذه الفترة، لذا فإن f رتيبة أو ثابتة فيها. والدالة متصلة على هذه الفترة، لذا تأخذ كل قيمة بين الصغرى (1، غير مُدرَكة) والعظمى (∞، غير مُدرَكة).
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
اجمع الأجزاء
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

الصيغ المستخدمة

القيود
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

يُوجد المجال بحل كل قيد في الصيغة وأخذ تقاطع مجموعات الحلول. ويُستنتج المدى من الاتصال: ففي كل فترة من المجال تمرّ الدالة بكل قيمة بين قيمها القصوى ونهاياتها عند طرفي الفترة.

التحقق

تم التحقق من المجال عند نحو 4,000 من نقاط العينة: f حقيقية ومنتهية بالضبط حيث يقول المجال ✓
كل قيمة مأخوذة من عينة f تقع داخل المدى المحسوب ✓

شرح مفصّل

إيجاد المجال

ابدأ بكل الأعداد الحقيقية واحذف الممنوع. اجعل كل مقام لا يساوي صفرًا، وكل عبارة تحت جذر تربيعي أكبر من الصفر أو تساويه، وكل مُدخل للوغاريتم أكبر من الصفر، ثم خذ تقاطع النتائج. ففي $\sqrt{4 - x^2}$ يعطي الشرط $4 - x^2 \geq 0$ الفترة $[-2, 2]$ . وفي $\frac{1}{x^2 - 4}$ تُحذف نقطتان، فينقسم المجال إلى ثلاث فترات.

لا تبسّط أولًا. فالعبارة $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ تُختصر إلى $x + 1$ ، لكن $x = 1$ تبقى مستثناة من الدالة الأصلية، وتعرض الحاسبة المجال بتلك الفجوة.

إيجاد المدى

يعتمد المدى على شكل المنحنى. للقطع المكافئ قيمته القصوى عند الرأس: ففي $x^2 - 4x + 1$ يقع الرأس عند $x = 2$ بقيمة $-3$ ، لذا فالمدى هو $[-3, \infty)$ . والجذر التربيعي يبدأ من الصفر ويتزايد، لذا فمدى $\sqrt{x - 3}$ هو $[0, \infty)$ . واللوغاريتم يأخذ كل قيمة حقيقية، و $e^x$ تأخذ كل قيمة موجبة.

في الدوال الكسرية تعمل الحاسبة جزءًا جزءًا، فتحدد أين تتزايد الدالة أو تتناقص وإلامَ تقترب عند طرفي كل فترة. وبهذا تجد أن مدى $\frac{1}{x^2}$ هو $(0, \infty)$ وأن $\frac{x}{x^2 + 1}$ تبقى بين $-\frac12$ و $\frac12$ . وحين يتعذر تحديد المدى بموثوقية، كما في $\tan x$ ، تذكر الحاسبة أنه لم يُحسب بدلًا من التخمين.

قراءة ترميز الفترات

القوس المربع يعني أن الطرف مشمول، والقوس الدائري يعني أنه مستثنى؛ واللانهاية تأخذ دائمًا قوسًا دائريًا. والرمز $\cup$ يضم أجزاء منفصلة، لذا فإن $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ تعني كل عدد حقيقي ما عدا 2. وكتابة النتائج بهذه الطريقة تسهّل مقارنتها بالتمثيل البياني.

أخطاء شائعة

تبسيط دالة كسرية قبل إيجاد مجالها وفقدان ثقب في المنحنى.
استخدام $> 0$ مع الجذر التربيعي (الصفر مسموح) أو $\geq 0$ مع اللوغاريتم (الصفر غير مسموح).
افتراض أن المدى هو كل الأعداد الحقيقية لأن المجال كذلك.
نسيان أن خط التقارب الأفقي قد يستثني قيمة من المدى.
استخدام قوس مربع بجوار اللانهاية.

نصائح

دوّن كل مقام وكل ما تحت جذر وكل مُدخل للوغاريتم قبل أن تحل أي شيء.
ارسم الدالة بحاسبة التمثيل البياني لتتأكد من المدى بصريًا.
في الدالة التربيعية أوجد الرأس؛ فالمدى يبدأ أو ينتهي عند قيمة $y$ له.
تذكّر أن مدى $f$ يصبح مجال دالتها العكسية.
تحقق من الطرف بتعويضه في الدالة.

الأسئلة الشائعة

كيف أجد مجال الدالة؟

ابدأ بكل الأعداد الحقيقية واحذف القيم التي تجعل المقام صفرًا، أو تضع عددًا سالبًا تحت جذر زوجي، أو تجعل مُدخل اللوغاريتم غير موجب. وما يبقى هو المجال.

كيف أجد مدى الدالة؟

حدّد قيم المُخرجات التي تبلغها الدالة فعلًا، مستعينًا برأسها وخطوط تقاربها وسلوك تزايدها وتناقصها وسلوكها عند الأطراف في كل جزء من المجال.

ما مجال كثيرة الحدود؟

كل الأعداد الحقيقية، ويُكتب (−∞, ∞)، لأن كثيرات الحدود لا تتضمن قسمة على x ولا جذورًا ولا لوغاريتمات.

لماذا تغيب 1 عن مدى (x + 1)/(x − 2)؟

للمنحنى خط تقارب أفقي عند y = 1. وحل (x + 1)/(x − 2) = 1 يقود إلى 1 = −2، وهذا مستحيل، لذا لا تُخرج الدالة 1 أبدًا.

ماذا تعني الأقواس في ترميز الفترات؟

القوس المربع يعني أن الطرف مشمول، والقوس الدائري يعني أنه مستثنى. واللانهاية لا تُشمل أبدًا، لذا تأخذ دائمًا قوسًا دائريًا.

هل تتعامل الحاسبة مع الدوال المثلثية؟

نعم في الحالات الأساسية. فهي تجد أن مدى sin x هو [−1, 1] وأن tan x تستثني π/2 مضافًا إليها مضاعفات π، وتذكر ذلك حين لا يُحسب المدى.

ماذا يعني log في الحاسبة؟

log(x) هو اللوغاريتم الطبيعي، لذا فإن log(x + 2) معرّف عند x > −2 ويأخذ كل قيمة حقيقية.

أوجد المجال والمدى

أدخل دالة في الأعلى لتحصل على المجموعتين بترميز الفترات، مع شرح كل قيد.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي