حاسبة كثيرات الحدود: القسمة والضرب وإيجاد الجذور

Q: ما العمليات التي تدعمها حاسبة كثيرات الحدود؟

الفك، والجمع، والطرح، والضرب، والقسمة المطوّلة مع خارج القسمة والباقي، والتعويض عند قيمة لـ x بطريقة هورنر، وإيجاد الجذور الحقيقية.

Q: كيف أقسم كثيرات الحدود؟

اختر القسمة، وأدخل المقسوم في P والمقسوم عليه في Q. تُجري الحاسبة القسمة المطوّلة وتعرض خارج القسمة والباقي والإجابة على صورة خارج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

Q: ما نظرية الباقي؟

عند قسمة كثيرة الحدود P على x ناقص c، يساوي الباقي P(c). لذلك فإن التعويض في كثيرة الحدود عند c طريقة سريعة لإيجاد الباقي أو لاختبار ما إذا كان c جذرًا.

Q: هل تعرض حاسبة كثيرات الحدود الجذور العقدية؟

لا. يعرض وضع الجذور الجذور الحقيقية فقط، ويذكر متى لا يكون لكثيرة الحدود أي جذر حقيقي. الجذور النسبية دقيقة، والجذور غير النسبية تُعرض تقريبات عشرية.

Q: ما طريقة هورنر؟

طريقة لحساب قيمة كثيرة الحدود بتداخل عمليات الضرب، مثل كتابة ax مكعبًا زائد bx مربعًا زائد cx زائد d على الصورة ((ax + b)x + c)x + d. وهي تحتاج إلى عمليات أقل وأخطاؤها أقل من حساب كل قوة على حدة.

Q: ما درجة كثيرة الحدود؟

أعلى قوة للمتغير معاملها غير صفري. وهي تحدّ عدد الجذور الحقيقية ونقاط الانعطاف التي يمكن أن تكون لكثيرة الحدود.

Q: هل يمكنني استخدام الكسور معاملاتٍ؟

نعم. تُحوَّل الكسور والأعداد العشرية إلى كسور دقيقة، وتبقى كل النتائج دقيقة.

عن حاسبة كثيرات الحدود

كثيرات الحدود هي أكثر الدوال شيوعًا في الجبر: المستقيمات والقطوع المكافئة والدوال التكعيبية وكل ما يُبنى من قوى صحيحة لمتغير. والتعامل معها يعني مجموعة صغيرة من العمليات المتكررة، مثل ضرب قوسين، والقسمة على عامل خطي، والتعويض بقيمة، وتحديد الأصفار. كل عملية منها آلية، لكن الخطأ فيها سهل عندما تكثر حدود كثيرة الحدود.

تجري هذه الحاسبة سبع عمليات على كثيرات الحدود في متغير واحد: الفك، والجمع، والطرح، والضرب، والقسمة المطوّلة، والتعويض عند نقطة، والجذور الحقيقية. تُخزَّن المعاملات كسورًا دقيقة، فتعطي القسمة المطوّلة خارج قسمة وباقيًا دقيقين، وتُعرض الجذور النسبية بدقة لا أعدادًا عشرية مقرّبة.

ما كثيرة الحدود؟

كثيرة الحدود في $x$ هي مجموع حدود على الصورة $a x^n$ ، حيث كل معامل $a$ عدد وكل أس $n$ عدد صحيح غير سالب. فالتعبير $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ كثيرة حدود، أما $\frac1x$ و $\sqrt x$ فليسا كذلك، لأن أسّيهما سالب أو كسري.

الدرجة هي أعلى أس معامله غير صفري، والمعامل الرئيسي هو معامل ذلك الحد. لكثيرة الحدود من الدرجة $n$ على الأكثر $n$ جذرًا حقيقيًا، ولتمثيلها البياني على الأكثر $n - 1$ نقطة انعطاف، وهذه حقائق تساعد على توقّع شكل الإجابة قبل حسابها.

كيف تستخدم حاسبة كثيرات الحدود

اختر من «العملية» ما تريد: الفك أو الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة أو التعويض أو الجذور.
أدخل «كثيرة الحدود P»، مثل 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
في الجمع والطرح والضرب والقسمة، أدخل «كثيرة الحدود Q»، مثل x - 2.
في التعويض، أدخل قيمة $x$ في خانة «القيمة a».
اضغط «احسب» وتابع الخطوات؛ تعرض القسمة المطوّلة كل قسمة للحد الرئيسي وكل عملية طرح.

الصيغ

خوارزمية القسمة

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

نظرية الباقي

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

نظرية العامل

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ عامل من عوامل } P(x)

طريقة هورنر

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

مثال محلول: اقسم 2x³ − 3x² + 4x − 5 على x − 2

يقسم المثال $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ على $x - 2$ بالقسمة المطوّلة. في كل مرحلة تقسم الحاسبة الحد الرئيسي لما تبقّى على $x$ ، ثم تضرب المقسوم عليه في ذلك الحد وتطرح.

بعد ثلاث جولات نحصل على خارج القسمة $2x^2 + x + 6$ والباقي 7، فتُكتب الإجابة $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ . وكما تتوقع نظرية الباقي، فإن التعويض في كثيرة الحدود الأصلية عند $x = 2$ يعطي 7 أيضًا.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

كيف فهمنا مسألتك

اقسم P على Q بالقسمة المطوّلة لكثيرات الحدود.

الحل خطوة بخطوة

اكتب P بالصورة القياسية
فُكّ الأقواس واجمع الحدود المتشابهة: الدرجة 3، والمعامل الرئيسي 2، والحد الثابت -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
اكتب Q بالصورة القياسية
الدرجة 1، المعامل الرئيسي 1، الحد الثابت -2
$Q(x) = x - 2$
اقسم الحدين الرئيسيين: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
اضرب Q في 2x^2 واطرح. الباقي الجديد: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
اقسم الحدين الرئيسيين: (x^2) ÷ (x) = x
اضرب Q في x واطرح. الباقي الجديد: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
اقسم الحدين الرئيسيين: (6x) ÷ (x) = 6
اضرب Q في 6 واطرح. الباقي الجديد: 7.
$6\cdot(x - 2)$
توقف عندما تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه
$\text{خارج القسمة } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{الباقي } 7$

الصيغ المستخدمة

خوارزمية القسمة
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q لا يقسم P قسمة تامة: الباقي 7.

التحقق

التحقق: Q·خارج القسمة + الباقي يساوي P.

شرح مفصّل

الضرب والفك

لضرب كثيرتي حدود، يُضرب كل حد من الأولى في كل حد من الثانية، ثم تُجمع القوى المتشابهة. في $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ تختزل حواصل الضرب الستة إلى $x^3 + 1$ ، وهو مجموع مكعبين. تعرض الحاسبة التوزيع الكامل قبل الجمع حتى لا يُنسى أي حاصل ضرب، وهو المصدر المعتاد للأخطاء مع الأقواس الطويلة.

الجمع والطرح لا يجمعان إلا معاملات القوى المتساوية. وفي الطرح تتغيّر إشارة كل حد من حدود كثيرة الحدود الثانية، ولهذا تكتب الحاسبة كثيرة الحدود بعد تغيير إشاراتها صراحةً قبل الجمع.

القسمة المطوّلة واستخداماتها

تعمل القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود تمامًا مثل القسمة المطوّلة للأعداد، وتتوقف عندما تصبح درجة الباقي أصغر من درجة المقسوم عليه. تُستخدم القسمة لتحليل كثيرة الحدود بعد معرفة أحد جذورها، ولتبسيط الدوال الكسرية، ولإيجاد خطوط التقارب المائلة: خارج قسمة $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ هو $x + 1$ ، فيقترب التمثيل البياني من المستقيم $y = x + 1$ .

يمكن اختصار القسمة على عامل خطي $x - c$ إلى القسمة التركيبية التي لا تحتفظ إلا بالمعاملات. ثم تنص نظرية الباقي على أن الباقي يساوي $P(c)$ ، وهي طريقة سريعة للتحقق من عملك.

إيجاد الجذور

في وضع الجذور تختبر الحاسبة أولًا المرشّحات النسبية $\frac pq$ ، حيث $p$ يقسم الحد الثابت و $q$ يقسم المعامل الرئيسي. يُقسَم على كل جذر يُعثر عليه فتنخفض الدرجة. يُحل أي تربيعي متبقٍّ بالصيغة التربيعية، ويُحل أي باقٍ غير قابل للتحليل من درجة أعلى عدديًا، مع وسم النتيجة بأنها تقريبية. في $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ تكون الجذور 1 و2 و3 كلها دقيقة؛ أما في $x^3 - 2$ فيُعرض الجذر الحقيقي الوحيد $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ عددًا عشريًا.

لا تُدرج إلا الجذور الحقيقية. كثيرة حدود مثل $x^2 + 2x + 5$ مميّزها سالب، فتذكر الحاسبة أنه لا جذور حقيقية لها.

أخطاء شائعة

إهمال القوة الناقصة في القسمة المطوّلة؛ اكتب $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ حتى تتحاذى الأعمدة.
طرح الحد الأول فقط أثناء القسمة المطوّلة بدلًا من حاصل الضرب كاملًا.
نسيان تغيير كل إشارة عند طرح كثيرة حدود.
ضرب الأسس بدلًا من جمعها عند ضرب الحدود: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
كتابة الباقي دون المقسوم عليه؛ فـ $+7$ وحده لا يساوي $+\frac{7}{x - 2}$ .

نصائح

رتّب كلتا كثيرتي الحدود تنازليًا حسب القوى قبل أي عملية.
تحقّق من القسمة بضرب خارج القسمة في المقسوم عليه وإضافة الباقي.
استخدم نظرية الباقي لاختبار جذر محتمل بسرعة: إذا كان $P(c) = 0$ فإن $x - c$ عامل.
ارسم التمثيل البياني بحاسبة الرسم البياني لترى عدد الجذور الحقيقية المتوقّع.
استخدم حاسبة التحليل إلى العوامل عندما تريد كتابة كثيرة الحدود على صورة حاصل ضرب.

الأسئلة الشائعة

ما العمليات التي تدعمها حاسبة كثيرات الحدود؟