كيف تحلّ المتباينات وتكتب الإجابة بترميز الفترات

رموز المتباينات وشكل الإجابة

تقارن المتباينة بين عبارتين بأحد أربعة رموز: $<$ (أصغر من)، و$>$ (أكبر من)، و$\le$ (أصغر من أو يساوي)، و$\ge$ (أكبر من أو يساوي). وحلّها في الغالب مجموعة لا نهائية من الأعداد، فتُكتب الإجابة متباينةً، أو تمثيلًا على خط الأعداد، أو فترة.

• $x < 5$ هي الفترة $(-\infty, 5)$؛ والقوس الدائري يعني أن 5 غير مشمول، ويُمثَّل بدائرة مفرغة على خط الأعداد.
• $x \le 3$ هي $(-\infty, 3]$؛ والقوس المربع يعني أن 3 مشمول، ويُمثَّل بدائرة مظلّلة.
• $-2 \le x < 4$ هي $[-2, 4)$.
• اللانهاية تأخذ دائمًا قوسًا دائريًا، لأنها ليست عددًا يمكن شموله.

القاعدة الوحيدة التي تختلف عن المعادلات

يمكنك إضافة أي عدد إلى الطرفين أو طرحه منهما، وضرب الطرفين في عدد موجب أو قسمتهما عليه، تمامًا كما في المعادلات. لكن ضرب الطرفين في عدد سالب أو قسمتهما عليه يعكس اتجاه المتباينة.

ولترى السبب، ابدأ بالعبارة الصحيحة $-2 < 3$ واضرب الطرفين في $-1$. ستحصل على $2$ و$-3$، و$2 > -3$. فالضرب في عدد سالب يعكس خط الأعداد، فيتبادل الطرفان أيّهما الأكبر. والأمر نفسه ينطبق إذا بدّلت طرفي المتباينة: $5 > x$ تعني الشيء نفسه الذي تعنيه $x < 5$.

المتباينات الخطية

اختبار قيمة واحدة على كل جانب من الحدّ يستغرق عشر ثوانٍ ويكشف نسيان قلب الإشارة في كل مرة.

المتباينات المركّبة: «و» و«أو»

المتباينة المزدوجة مثل $-3 \le 2x + 1 < 9$ تعني أن الشرطين كليهما متحقّقان. وتُحَلّ بإجراء العملية نفسها على الأجزاء الثلاثة معًا.

الإجابة هي $[-2, 4)$، أي تقاطع الشرطين. أما العبارة بـ «أو»، مثل $x < -1$ أو $x \ge 3$، فهي اتحاد جزأين وتُكتب $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$.

متباينات القيمة المطلقة

القيمة المطلقة $|A|$ هي بُعد $A$ عن الصفر. والبُعد الأصغر من $k$ يعني القرب من الصفر، فيعطي فترة واحدة؛ والبُعد الأكبر من $k$ يعني الابتعاد، فيعطي جزأين. وحين $k > 0$:

إذا كان $k$ سالبًا، فليس لـ $|A| < k$ حلّ، و$|A| > k$ صحيحة لكل عدد حقيقي، لأن القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبدًا.

المتباينات التربيعية بجدول الإشارات

لا تحاول أخذ الجذور التربيعية عبر المتباينة. بل انقل كل شيء إلى طرف واحد، وأوجد أين تساوي العبارة صفرًا، واختبر الإشارة بين تلك النقاط.

وبيانيًا، $y = x^2 - x - 6$ قطع مكافئ مفتوح إلى الأعلى يقع فوق المحور x خارج جذريه، وهذا يطابق جدول الإشارات. وحاسبة المعادلة التربيعية تجد الجذور إن لم يكن تحليلها سهلًا.

المتباينات النسبية

في المتباينة التي يكون فيها المتغيّر في المقام، لا تضرب الطرفين في ذلك المقام أبدًا: فأنت لا تعرف هل هو موجب أم سالب. بل استخدم جدول إشارات بأصفار البسط وأصفار المقام.

المتباينات بمتغيّرين

المتباينة مثل $y > 2x + 1$ تصف منطقة من المستوى. ارسم الخط الحدّي $y = 2x + 1$، متقطّعًا للمتباينة التامّة ومتّصلًا لـ $\le$ أو $\ge$، ثم ظلّل الجانب الذي يحقّقها. واختبار نقطة الأصل هو الأسرع: $0 > 1$ خاطئة، فظلّل الجانب الذي لا يحتوي على $(0, 0)$. وحاسبة الرسم البياني تظلّل المتباينات بهذا الشكل مباشرة.

أخطاء شائعة

• نسيان عكس الإشارة بعد الضرب في عدد سالب أو القسمة عليه.
• الضرب في عبارة متغيّرة إشارتها مجهولة.
• كتابة $|x - 4| < 3$ على صورة $x - 4 < 3$ فقط، مما يُضيّع الحدّ الأدنى.
• استخدام قوس مربع بجوار اللانهاية، أو القوس الخطأ عند طرف الفترة.
• إدراج قيمة تجعل المقام صفرًا.

تعرض حاسبة المتباينات كل خطوة وترميز الفترات. وللاطّلاع على خطوات حلّ المعادلات المستخدمة في كل ما سبق، انظر كيف تحلّ المعادلات الخطية.

مسألة كلامية فيها متباينة

تظهر المتباينات كلما كان في الموقف حدّ أو حدّ أدنى أو ميزانية. وعبارات مثل «على الأقل» و«لا يزيد على» و«على الأكثر» و«يتجاوز» تشير إلى الرمز الذي تستخدمه: «على الأقل» تعني $\ge$، و«على الأكثر» و«لا يزيد على» تعنيان $\le$، و«يتجاوز» أو «أكثر من» تعني $>$.

أضاف السياق قيدًا لم يعطه الجبر وحده. ومن الشائع أن تحتاج المسائل الواقعية إلى $t \ge 0$ أو إلى شرط العدد الصحيح، فاسأل دائمًا عن القيم المنطقية قبل كتابة الفترة النهائية.

التحقّق من إجابة على صورة فترة

لإجابة المتباينة ثلاثة أجزاء قد يخطئ كلٌّ منها: القيم الحدّية، وهل كل حدّ مشمول، وأيّ جانب من الحدّ يُبقى. تحقّق منها بهذا الترتيب. عوّض كل قيمة حدّية في المتباينة الأصلية لترى هل تعطي تساويًا، فهذا يخبرك هل ينتمي طرف الفترة إلى الإجابة. ثم اختبر قيمة واحدة داخل كل فترة من إجابتك وقيمة واحدة خارجها.

ففي المثال النسبي، $x = 1$ تعطي $\frac{0}{3} = 0$، و$0 \le 0$ صحيحة، فالعدد 1 مشمول. وعند $x = -2$ تكون العبارة غير معرّفة، فيُستبعد $-2$ مع أن المتباينة تسمح بالتساوي. وهذان التحقّقان يؤكّدان القوسين في $(-2, 1]$.

الأسئلة الشائعة