حاسبة المشتقات الجزئية: fx وfy والمختلطة ومن الرتبة الثانية

عن حاسبة المشتقات الجزئية

تعتمد معظم الكميات في العلوم والاقتصاد على أكثر من مُدخل واحد. فحجم الأسطوانة يعتمد على نصف قطرها وارتفاعها، وربح الشركة يعتمد على السعر والإنفاق على الإعلان، ودرجة الحرارة في غرفة تعتمد على الإحداثيات الثلاثة كلها. والمشتقة الجزئية تجيب عن سؤال محدد حول دالة كهذه: ما سرعة تغير المخرج حين يتحرك مُدخل واحد وتبقى المُدخلات الأخرى كلها ثابتة؟

تحسب هذه الحاسبة تلك المعدلات حسابًا دقيقًا. اكتب دالة مثل $x^2 y + \sin(xy)$ ، واختر المتغير، فتشتقها حدًّا حدًّا مستخدمةً قواعد المجموع والضرب في ثابت والقوة والضرب والسلسلة، ومعاملةً كل حرف آخر معاملة الثابت. وتظهر كل قاعدة خطوةً مستقلة، فترى لماذا تبقى $y$ أمام $\cos(xy)$ ولماذا يختفي حد مثل $4y$ حين تشتق بالنسبة إلى $x$ .

والمشتقات من الرتب العليا تعمل بالطريقة نفسها. أدخل xx للمشتقة الجزئية الثانية بالنسبة إلى $x$ ، أو xy للمشتقة المختلطة التي تشتق أولًا بالنسبة إلى $x$ ثم بالنسبة إلى $y$ . وأضف نقطة مثل x = 1، y = 2 لتحسب قيمة النتيجة عندها. وتُقارن كل إجابة قبل عرضها بتقدير عددي بطريقة الفروق المنتهية.

ما المشتقة الجزئية؟

للدالة $f(x, y)$ ، المشتقة الجزئية بالنسبة إلى $x$ ، وتُكتب $\frac{\partial f}{\partial x}$ أو $f_x$ ، هي المشتقة العادية التي تحصل عليها بمعاملة $y$ عددًا ثابتًا. وبصورة دقيقة، $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . والرمز المنحني $\partial$ يدل على وجود متغيرات أخرى تُثبَّت.

هندسيًا، التمثيل البياني لـ $f(x, y)$ سطح. وقطع هذا السطح بالمستوى $y =$ ثابت يعطي منحنى، و $f_x$ هي ميل ذلك المنحنى. وبالمثل، $f_y$ هي ميل المقطع في اتجاه $y$ . والمشتقات الجزئية الأولى معًا تكوّن المتجه المتدرج $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ ، الذي يشير إلى اتجاه أشد تزايد.

تظهر المشتقات الجزئية في التحسين (فالنقاط الحرجة هي حيث تنعدم كل المشتقات الجزئية الأولى)، وفي الفيزياء (فمعادلات الحرارة والموجة ولابلاس تُكتب بها)، وفي الاقتصاد (التكلفة الحدية والمنفعة الحدية)، وفي تعلم الآلة، حيث تقود المتجهات المتدرجة تدريب كل شبكة عصبية.

كيف تستخدم حاسبة المشتقات الجزئية

اكتب الدالة مستخدمًا أي حروف متغيراتٍ، مثل x^2 y + sin(x y) أو x^3 y^2 + 4y. والمسافة أو * بين الحروف تعني الضرب.
في خانة «الاشتقاق بالنسبة إلى» أدخل المتغير، مثل x أو y.
للرتب العليا، اكتب حرفًا واحدًا لكل اشتقاق بالترتيب: xx لـ f_xx، وxy لـ f_xy (أولًا x ثم y)، وهكذا.
يمكنك اختياريًا إعطاء كل متغير قيمة، مثل x = 1، y = 2، في خانة «احسب القيمة عند» لتحسب المشتقة عند تلك النقطة.
اضغط «اشتقّ» وتابع الخطوات، فكل خطوة موسومة بالقاعدة التي تستخدمها.

الصيغ

التعريف

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

رمز المشتقة الجزئية المختلطة

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

مبرهنة كليرو

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{عندما تكون كلتاهما متصلة}

المتجه المتدرج

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

قاعدة السلسلة داخل مشتقة جزئية

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

مثال محلول: ∂/∂x للدالة x²y + sin(xy)

يُحسب المثال المحلول أدناه مباشرةً لـ $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ ، مشتقةً بالنسبة إلى $x$ . ومع تثبيت $y$ ، يكون الحد الأول ثابتًا مضروبًا في $x^2$ ، فيصبح $2xy$ . والحد الثاني يحتاج إلى قاعدة السلسلة: مشتقة $\sin u$ هي $\cos u$ مضروبة في $\frac{\partial u}{\partial x}$ ، وعندما $u = xy$ تكون هذه المشتقة الداخلية $y$ .

وجمع الأجزاء يعطي $2xy + y\cos(xy)$ ، وتحللها الحاسبة إلى $f_x = y(2x + \cos(xy))$ . ولاحظ أن $y$ لا تُشتق أبدًا؛ فهي تسلك تمامًا كما يسلك العدد 5 لو كان في الموضع نفسه.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

كيف فهمنا مسألتك

أوجد المشتقة الجزئية الأولى f_x للدالة f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

الحل خطوة بخطوة

حدّد الدالة وترتيب الاشتقاق
اشتق بالنسبة إلى x؛ ويُعامل كل متغير آخر (y) معاملة الثابت.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
قاعدة المجموع: اشتق كل حد على حدة
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
قاعدة السلسلة — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
قاعدة مضاعف الثابت
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
قاعدة مضاعف الثابت
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
قاعدة القوة: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
بسّط: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

الصيغ المستخدمة

التعريف
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
المشتقات الجزئية المختلطة (كليرو)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{عندما تكون كلتاهما متصلة}$

تقيس المشتقة الجزئية كيف تتغير f حين يتحرك متغير واحد فقط: فتُعامل المتغيرات الأخرى معاملة الأعداد تمامًا، ولذلك تنطبق قواعد الاشتقاق المعتادة.

التحقق

تم التحقق بالمقارنة مع برنامج اشتقاق رمزي مستقل عند عدة نقاط اختبار ✓

شرح مفصّل

تثبيت المتغيرات الأخرى

الفكرة الوحيدة وراء كل مشتقة جزئية هي أن المتغيرات التي لا تشتق بالنسبة إليها مجمَّدة. فإن صعب عليك تصور ذلك، فعوّض عنها أولًا بعدد فعلي. فاشتقاق $x^3 y^2 + 4y$ بالنسبة إلى $y$ يشبه اشتقاق $8y^2 + 4y$ حين $x = 2$ : فالإجابة على صورة $2 \cdot 8y + 4$ ، وإعادة $x^3$ مكان 8 تعطي $f_y = 2x^3 y + 4$ .

وهذا يفسر أيضًا أي الحدود تختفي. فالحد الذي لا يحتوي إلا على متغيرات مجمَّدة ثابت، لذا فمشتقته الجزئية صفر. ففي $f = x^2 + 3xy$ ، تتجاهل المشتقة الجزئية بالنسبة إلى $y$ الحد $x^2$ تمامًا وتعطي $f_y = 3x$ .

القواعد المألوفة ما زالت تنطبق

يستخدم الاشتقاق الجزئي القواعد نفسها تمامًا التي يستخدمها التفاضل بمتغير واحد: القوة والمجموع والضرب في ثابت والضرب والقسمة والسلسلة. والتغيير الوحيد تنظيمي. فحاصل ضرب عاملين كلاهما يحتوي على $x$ يحتاج إلى قاعدة الضرب عند الاشتقاق بالنسبة إلى $x$ ، أما إذا كان أحد العاملين لا يحتوي إلا على $y$ فهو مجرد معامل ثابت.

وقاعدة السلسلة هي موضع معظم الأخطاء. فحين تُطبَّق دالة على عبارة تحتوي على عدة متغيرات، مثل $e^{xy}$ أو $\ln(x^2 + y^2)$ ، تكون المشتقة الداخلية مشتقة جزئية أيضًا. لذا $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ ، و $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية والمختلطة

اشتقاق مشتقة جزئية مرة أخرى يعطي مشتقة جزئية من الرتبة الثانية. وللدالة في متغيرين أربع منها: $f_{xx}$ و $f_{yy}$ والمشتقتان المختلطتان $f_{xy}$ و $f_{yx}$ . ويُقرأ الرمز السفلي من اليسار إلى اليمين، فـ $f_{xy}$ تعني الاشتقاق بالنسبة إلى $x$ أولًا ثم بالنسبة إلى $y$ . أما رمز الكسر $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ فيُقرأ من اليمين إلى اليسار ويصف الشيء نفسه.

في $f = x^2 y^3$ ، يعطي الاشتقاق بالنسبة إلى $x$ القيمة $2xy^3$ ، ثم يعطي الاشتقاق بالنسبة إلى $y$ أن $f_{xy} = 6xy^2$ ، وهي تساوي 24 عند النقطة $(1, 2)$ . والاشتقاق بالترتيب الآخر يعطي $3x^2y^2$ ثم $6xy^2$ مرة أخرى. وهذا التوافق هو مبرهنة كليرو: للدوال التي مشتقاتها الجزئية الثانية متصلة، لا يهم ترتيب الاشتقاق المختلط. وتذكر الحاسبة ذلك فحصًا كلما حسبت مشتقة مختلطة.

وللمشتقات الجزئية الثانية استخدامات ملموسة. ففي اختبار المشتقة الثانية لنقطة حرجة للدالة $f(x, y)$ ، تحسم الكمية $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ هل النقطة قيمة عظمى محلية أم صغرى محلية أم نقطة سرجية.

الحساب عند نقطة وتفسير العدد

المشتقة الجزئية هي نفسها دالة في كل المتغيرات، لذا تعتمد قيمتها على موضعك. ففي $f = x^2 + 3xy$ ، تساوي المشتقة $f_x = 2x + 3y$ القيمة 8 عند $(1, 2)$ . وهذا يعني أنه قرب هذه النقطة، تؤدي زيادة $x$ بمقدار صغير $\Delta x$ مع إبقاء $y = 2$ إلى زيادة $f$ بنحو $8\,\Delta x$ .

والوحدات تجعل التفسير ملموسًا. فإذا كان $V(r, h) = \pi r^2 h$ حجم أسطوانة بالسنتيمترات المكعبة، فإن $V_r = 2\pi r h$ تقاس بالسنتيمترات المكعبة لكل سنتيمتر من نصف القطر، وتخبرك بمدى حساسية الحجم لتغير نصف القطر حين يكون الارتفاع ثابتًا.

أخطاء شائعة

اشتقاق المتغير المثبَّت أيضًا، مثل كتابة $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ .
معاملة حد مثل $4y$ على أنه يبقى عند الاشتقاق بالنسبة إلى $x$ ؛ فهو ثابت ويعطي 0.
نسيان المشتقة الجزئية الداخلية في قاعدة السلسلة، مثل كتابة $\cos(xy)$ مشتقةً لـ $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ .
قراءة $f_{xy}$ بالترتيب الخاطئ؛ فترتيب الرموز السفلية هو ترتيب الاشتقاق.
الخلط بين $\frac{\partial f}{\partial x}$ والمشتقة الكلية $\frac{df}{dx}$ حين تعتمد $y$ نفسها على $x$ .

نصائح

عوّض ذهنيًا عن المتغيرات المجمَّدة بأعداد إذا اختلط عليك ما هو ثابت.
أخرج الثوابت عاملًا مشتركًا قبل الاشتقاق؛ فـ $x^2 y^3$ هي $y^3$ مضروبة في $x^2$ عند الاشتقاق بالنسبة إلى $x$ .
استخدم مبرهنة كليرو فحصًا مجانيًا: احسب $f_{xy}$ و $f_{yx}$ وقارن بينهما.
اكتب $\nabla f$ بمجرد حصولك على المشتقتين الجزئيتين الأوليين؛ فمعظم التطبيقات تحتاج إلى المتجه المتدرج كاملًا.
بسّط المشتقة الأولى قبل أخذ الثانية لتبقى العبارات قابلة للإدارة.
تحقق من إشارة المشتقة الجزئية عند نقطة لترى هل ترتفع الدالة أم تنخفض في ذلك الاتجاه.

الأسئلة الشائعة

كيف أكتب دالة في متغيرين؟

استخدم حروفًا للمتغيرات ومسافة أو * للضرب، مثل x^2 y + sin(x y) أو x^2*y + sin(x*y). وكل حرف ليس اسم دالة مثل sin أو log يُعامل متغيرًا.

كيف أحصل على مشتقة جزئية ثانية مثل f_xx؟

اكتب المتغير مرة لكل اشتقاق في خانة «الاشتقاق بالنسبة إلى»: xx لـ f_xx، وyy لـ f_yy. فتشتق الحاسبة مرارًا وتعرض كل مرحلة على حدة.

هل f_xy هي نفسها f_yx؟

نعم، لكل دالة تقريبًا تصادفها في مقرر دراسي. فمبرهنة كليرو تضمن ذلك كلما كانت المشتقات المختلطة متصلة. وتعرض الحاسبة المقارنة لترى التوافق بنفسك.

ماذا يعني الرمز ∂؟

هو حرف d مستدير يُستخدم للمشتقات الجزئية. ويدل على أن للدالة عدة متغيرات وأنها كلها، ما عدا المتغير الذي في المقام، تُثبَّت أثناء الاشتقاق.

هل يمكنها حساب المشتقة الجزئية عند نقطة؟

نعم. أدخل قيمًا لكل المتغيرات، مثل x = 1، y = 2، في الخانة الاختيارية. فتعوّض الحاسبة بها في المشتقة النهائية وتعطي العدد، فمثلًا f_x = 2x + 3y تصبح 8 عند (1, 2).

هل تعمل مع ثلاثة متغيرات؟

نعم. يمكن اشتقاق دالة مثل x y z أو x^2 + y z بالنسبة إلى أي حرف من حروفها. ففي x y z، المشتقة الجزئية بالنسبة إلى z هي xy.

بماذا تختلف المشتقة الجزئية عن المشتقة العادية؟

القواعد متطابقة، لكن المشتقة العادية تتعلق بمتغير واحد، بينما تختار المشتقة الجزئية متغيرًا واحدًا من عدة متغيرات وتعامل الباقي معاملة الثوابت. والنتيجة تبقى دالة في كل المتغيرات.

ما المتجه المتدرج وكيف تكوّنه المشتقات الجزئية؟

المتجه المتدرج هو متجه كل المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى، مثل ⟨f_x, f_y⟩. ويشير إلى الاتجاه الذي تتزايد فيه الدالة بأسرع ما يمكن، وطوله هو معدل التزايد الأسرع ذاك.

لماذا تبدو مشتقتي الجزئية مختلفة عن إجابة الكتاب؟

يمكن ترتيب العبارات المتكافئة بطرق كثيرة. فقد تُخرج الحاسبة حدًّا مشتركًا، كما في y(2x + cos(xy)) بدلًا من 2xy + y cos(xy)، أو ترتب العوامل ترتيبًا مختلفًا. ففك الصورتين، أو احسب قيمتيهما عند النقطة نفسها، لتتأكد من تطابقهما.

احسب مشتقتك الجزئية

أدخل دالة في عدة متغيرات في الأعلى، واختر متغير الاشتقاق، لترى كل قاعدة والقيمة عند نقطة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة المشتقات الجزئية