حاسبة الاشتقاق الضمني: dy/dx مع الخطوات كاملة

عن حاسبة الاشتقاق الضمني

كثير من المنحنيات لا يمكن كتابتها بصورة مرتبة على شكل $y = f(x)$ . فالدائرة مثل $x^2 + y^2 = 25$ لا تجتاز اختبار الخط الرأسي، ومنحنى مثل ورقة ديكارت، $x^3 + y^3 = 6xy$ ، ليست له صيغة مريحة لـ $y$ أصلًا. ومع ذلك فميولها موجودة عند كل نقطة تقريبًا، والاشتقاق الضمني هو الطريقة التي تجدها دون حل المعادلة لإيجاد $y$ أولًا.

تنفذ هذه الحاسبة الطريقة تمامًا كما تُدرَّس. فهي تعامل $y$ على أنها دالة مجهولة في $x$ ، وتشتق طرفي معادلتك بالنسبة إلى $x$ ، وتلحق عاملًا $y'$ بكل حد يحتوي على $y$ عبر قاعدة السلسلة. ثم تجمع حدود $y'$ في طرف واحد، وتخرج $y'$ عاملًا مشتركًا وتقسم، فتعطي صيغة لـ $\frac{dy}{dx}$ بدلالة $x$ و $y$ معًا.

وإذا أعطيت نقطة على المنحنى، عوّضت الحاسبة بها لتعطي الميل العددي وكتبت معادلة المماس هناك. ويُتحقق من الصيغة النهائية تحققًا مستقلًا بمقارنتها بـ $-\frac{F_x}{F_y}$ ، وهي النتيجة التي تتنبأ بها المشتقات الجزئية، فتطمئن إلى الإجابة قبل أن تنقلها إلى حلك.

ما الاشتقاق الضمني؟

المعادلة مثل $x^2 + y^2 = 25$ تعرّف $y$ ضمنيًا: فهي تصف علاقة بين $x$ و $y$ بدلًا من أن تعطي $y$ مباشرةً. وقرب معظم نقاط المنحنى تبقى $y$ تسلك سلوك دالة في $x$ ، حتى لو لم تستطع كتابة تلك الدالة. والاشتقاق الضمني يجد مشتقتها من العلاقة نفسها.

والحقيقة الأساسية هي قاعدة السلسلة. فإذا كانت $y$ تعتمد على $x$ ، فمشتقة $y^2$ بالنسبة إلى $x$ ليست $2y$ بل $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ . والأمر نفسه ينطبق على $\sin y$ أو $e^y$ أو أي عبارة أخرى في $y$ : اشتق كالمعتاد، ثم اضرب في $y'$ . أما الحدود التي لا تحتوي إلا على $x$ فتُشتق بصورة عادية، والثوابت تختفي.

وتحتوي النتيجة عادةً على $x$ و $y$ معًا، كما في $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . وهذا متوقع وصحيح. فقيمة واحدة لـ $x$ قد تقابل عدة نقاط على المنحنى، والميل مختلف عند كل منها، لذا تحتاج الصيغة إلى الإحداثي $y$ لتعرف أي نقطة تقصد.

كيف تستخدم حاسبة الاشتقاق الضمني

اكتب في خانة «معادلة في x وy» معادلة فيها إشارة يساوي واحدة، مثل x^2 + y^2 = 25 أو x^3 + y^3 = 6 x y.
استخدم مسافة أو * للضرب بين الحروف، فتكتب x y أو x*y لحاصل ضرب x في y.
أدخل اختياريًا نقطة على المنحنى في خانة «النقطة (اختياري)»، مثل x = 3، y = 4، لتحصل على الميل والمماس هناك.
اضغط «أوجد dy/dx» لترى اشتقاق كل طرف، وجمع حدود y′، والصيغة النهائية.
إذا أعطيت نقطة، فاقرأ الميل ومعادلة المماس من الخطوات الأخيرة.

الصيغ

قاعدة السلسلة لحد فيه y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

قاعدة الضرب مع y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

اختصار بالمشتقات الجزئية

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

المماس عند (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

مثال محلول: x² + y² = 25 عند (3, 4)

يُحسب المثال المحلول أدناه مباشرةً للدائرة $x^2 + y^2 = 25$ عند النقطة $(3, 4)$ . فاشتقاق الطرفين يعطي $2x + 2y\,y' = 0$ ؛ والحد $2y\,y'$ ناتج عن قاعدة السلسلة. ونقل $2x$ إلى الطرف الآخر والقسمة على $2y$ يعطيان $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ .

وعند $(3, 4)$ يكون الميل $-\frac34 = -0.75$ ، لذا فالمماس $y - 4 = -0.75(x - 3)$ . والهندسة تؤكد ذلك: فنصف القطر الواصل إلى $(3, 4)$ ميله $\frac43$ ، والمماس للدائرة عمودي على نصف القطر، لذا يجب أن يكون ميله سالب المقلوب، $-\frac34$ .

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{الميل عند النقطة} = -0.75

كيف فهمنا مسألتك

أوجد dy/dx لمنحنى معرّف ضمنيًا، مع معاملة y على أنها دالة قابلة للاشتقاق في x.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

الحل خطوة بخطوة

عامل y على أنها دالة في x واشتق الطرفين بالنسبة إلى x
كل حد يحتوي على y يحتاج إلى قاعدة السلسلة: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
نتيجة اشتقاق كل طرف
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
اجمع حدود y′ في طرف واحد
انقل كل حدود y′ إلى اليسار وكل ما عداها إلى اليمين، ثم أخرج y′ عاملًا مشتركًا.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
اقسم لعزل y′
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
عوّض x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
المماس عند النقطة
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

الصيغ المستخدمة

قاعدة السلسلة لـ y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
صيغة الدالة الضمنية
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

اشتقاق الطرفين يحافظ على توازن المعادلة؛ ولأن y تعتمد على x، فكل حد فيه y ينتج عاملًا y′، ثم يُحل جبريًا لإيجاده. وتحتوي النتيجة عادةً على x وy معًا.

التحقق

يطابق −F_x / F_y الناتجة من برنامج اشتقاق رمزي مستقل عند عدة نقاط اختبار ✓
النقطة (3, 4) تقع على المنحنى ✓

شرح مفصّل

الطريقة في أربع خطوات

أولًا، اشتق كل حد في الطرفين بالنسبة إلى $x$ . ثانيًا، حيثما احتوى حد على $y$ ، اضرب مشتقته في $y'$ ؛ وحيثما ضُربت $x$ في $y$ ، استخدم قاعدة الضرب. ثالثًا، انقل كل حد يحتوي على $y'$ إلى طرف وكل ما عداه إلى الطرف الآخر. رابعًا، أخرج $y'$ عاملًا مشتركًا واقسم على ما تبقى.

وبتطبيقها على $x^3 + y^3 = 6xy$ ، تعطي الخطوتان الأوليان $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ ، لأن الطرف الأيمن حاصل ضرب. وجمع الحدود يعطي $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ ، لذا $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . وتعرض الحاسبة هذا التسلسل بالضبط.

لماذا تُنتج قاعدة السلسلة y′

تخيّل $y$ على أنها $y(x)$ ، دالة لا تراها. عندئذ تكون $y^3$ في الحقيقة دالة مركبة، مكعب $y(x)$ ، وتقول قاعدة السلسلة إن مشتقتها $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ . فالاشتقاق الضمني ليس سوى قاعدة السلسلة العادية مطبقةً على دالة داخلية صيغتها مجهولة.

ولهذا أيضًا $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ و $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . وللمعادلة $\sin y = x$ ، يعطي الاشتقاق $\cos y\,y' = 1$ ، لذا $y' = \frac{1}{\cos y}$ . ولأن هذا المنحنى هو $y = \arcsin x$ على فرعه الرئيسي، فالنتيجة اشتقاق سريع لمشتقة الجيب العكسي بمجرد كتابة $\cos y$ على صورة $\sqrt{1 - x^2}$ .

الميول والمماسات والنقاط الخاصة

التعويض بنقطة في الصيغة يعطي الميل هناك، لكن بشرط أن تكون النقطة على المنحنى فعلًا؛ لذا يحسن التحقق أولًا من أنها تحقق المعادلة الأصلية. ومع الميل $m$ والنقطة $(x_0, y_0)$ ، يكون المماس $y - y_0 = m(x - x_0)$ .

والصيغة تحدد أيضًا السمات الخاصة. فالمماسات الأفقية تقع حيث يكون بسط $\frac{dy}{dx}$ صفرًا والمقام ليس صفرًا. والمماسات الرأسية تقع حيث يكون المقام صفرًا والبسط ليس صفرًا؛ وعلى الدائرة يحدث ذلك عند $(\pm 5, 0)$ ، حيث $y = 0$ . وإذا انعدم البسط والمقام كلاهما، كما عند نقطة الأصل على ورقة ديكارت، فقد يقطع المنحنى نفسه ويجب دراسة الميل على حدة.

اختصار بالمشتقات الجزئية

نقل كل شيء إلى طرف واحد يكتب المنحنى على صورة $F(x, y) = 0$ . ثم يعطي التفاضل متعدد المتغيرات الصيغة $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ ، حيث $F_x$ و $F_y$ مشتقتان جزئيتان. ففي $x^2 + xy + y^2 = 7$ ، $F_x = 2x + y$ و $F_y = x + 2y$ ، لذا $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ ، وهي تساوي $-0.8$ عند $(1, 2)$ .

وتستخدم الحاسبة هذه الصيغة فحصًا مستقلًا للنتيجة خطوة بخطوة. ويمكنك استخدامها بالطريقة نفسها: فحين يتفق حسابك اليدوي مع الاختصار، يمكنك الوثوق بالإجابة.

أين تُستخدم الطريقة بعد ذلك: المعدلات المرتبطة

الاشتقاق الضمني هو المحرك وراء مسائل المعدلات المرتبطة. فحين ينزلق سلم على جدار، يحقق أسفله وأعلاه $x^2 + y^2 = L^2$ في كل لحظة، ويعتمد الإحداثيان كلاهما على الزمن. والاشتقاق بالنسبة إلى $t$ بدلًا من $x$ يعطي $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ ، وهذا يربط سرعة أسفل السلم بسرعة أعلاه.

والنمط مطابق لما في هذه الصفحة: اشتق العلاقة، وطبّق قاعدة السلسلة على كل كمية تتغير، وحل لإيجاد المعدل الذي تريده. وهو أيضًا أساس الاشتقاق اللوغاريتمي، حيث تأخذ $\ln$ لطرفي $y = x^x$ وتشتق $\ln y = x \ln x$ ضمنيًا لتحصل على $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

أخطاء شائعة

كتابة مشتقة $y^2$ على أنها $2y$ ونسيان العامل $y'$ .
إغفال قاعدة الضرب في الحدود المختلطة، فتُكتب $\frac{d}{dx}[xy]$ على أنها $y'$ أو $xy'$ وحدها.
اشتقاق الثابت في الطرف الأيمن كأنه متغير بدلًا من أن يعطي 0.
القسمة على عبارة تساوي صفرًا عند النقطة المعنية، وهذا يخفي مماسًا رأسيًا.
التعويض بنقطة لا تحقق المعادلة الأصلية.
حل المعادلة لإيجاد $y$ أولًا دون ضرورة، وهذا كثيرًا ما يُنتج جذورًا تربيعية مع غموض في الإشارة.

نصائح

ضع دائرة حول كل $y'$ أو ميّزه عند كتابته حتى لا يضيع أي منها عند جمع الحدود.
فك حواصل الضرب قبل الاشتقاق إذا كان ذلك يقلل عدد حدود قاعدة الضرب.
استخدم $-\frac{F_x}{F_y}$ لتتحقق من نتيجتك بسرعة.
بسّط الكسر النهائي باختصار العوامل المشتركة مثل 2 أو 3.
تحقق من أن نقطتك تقع على المنحنى قبل إيجاد المماس.
للمشتقة الثانية، اشتق $y'$ ضمنيًا مرة أخرى وعوّض بصيغة المشتقة الأولى.

الأسئلة الشائعة

متى أستخدم الاشتقاق الضمني؟

كلما ارتبطت y بـ x بمعادلة يصعب أو يستحيل حلها لإيجاد y، مثل x³ + y³ = 6xy، أو حين يؤدي الحل إلى تقسيم المنحنى إلى عدة فروع، كما في الدوائر والقطوع الناقصة.

لماذا تحتوي dy/dx على y إضافةً إلى x؟

قيمة واحدة لـ x قد تقابل عدة نقاط على منحنى ضمني، لكل منها ميلها. وy في الصيغة تحدد أي نقطة تقصد. ففي الدائرة تعطي −x/y القيمة −0.75 عند (3, 4) و+0.75 عند (3, −4).

كيف أدخل النقطة لحساب الميل؟

اكتب الإحداثيين كليهما في خانة «النقطة (اختياري)»، مثل x = 3، y = 4. فتعوّض الحاسبة بهما في dy/dx وتكتب المماس بصيغة النقطة والميل.

هل يمكنها اشتقاق معادلات فيها sin y أو e^y؟

نعم. يمكن استخدام أي عبارة قابلة للاشتقاق في x وy. والحدود مثل sin y وe^y تأخذ العامل y′ عبر قاعدة السلسلة، لذا تعطي sin y = x النتيجة dy/dx = 1/cos y.

ماذا يعني أن يكون مقام dy/dx صفرًا؟

عند نقطة كهذه يكون المماس رأسيًا، بشرط ألا يكون البسط صفرًا أيضًا. وعلى x² + y² = 25 يحدث ذلك عند (5, 0) و(−5, 0).

هل الاشتقاق الضمني هو نفسه استخدام المشتقات الجزئية؟

كلاهما يعطي الإجابة نفسها. فالطريقة خطوة بخطوة تستخدم قاعدة السلسلة مباشرةً، بينما تستخدم الصيغة dy/dx = −F_x/F_y المشتقات الجزئية لـ F(x, y). وتعرض الحاسبة الأولى وتتحقق بالثانية.

هل يمكنني إيجاد d²y/dx² بهذه الحاسبة؟

تعيد الحاسبة المشتقة الأولى. وللثانية، اشتق صيغة dy/dx مرة أخرى بقاعدة القسمة، متذكرًا أن y ما زالت تعتمد على x، وضع عبارة المشتقة الأولى مكان كل y′ تظهر.

ما الحروف التي يجب أن تستخدمها المعادلة؟

يجب كتابة المعادلة في x وy، مع معاملة y متغيرًا تابعًا. والحروف الأخرى غير مدعومة، وتذكر الحاسبة ذلك بدلًا من تخمين دورها.

هل يلزمني حل المعادلة لإيجاد y قبل الاشتقاق؟

لا، والأفضل عادةً ألا تفعل. فحل x² + y² = 25 لإيجاد y يعطي ±√(25 − x²)، أي دالتين منفصلتين بجذور تربيعية مزعجة. أما اشتقاق المعادلة الأصلية فيعالج نصفي الدائرة معًا.

أوجد dy/dx لمعادلتك

أدخل معادلة في x وy في الأعلى، ونقطة إن أردت، لترى الاشتقاق الضمني والميل والمماس.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة الاشتقاق الضمني

عن حاسبة الاشتقاق الضمني

ما الاشتقاق الضمني؟

كيف تستخدم حاسبة الاشتقاق الضمني

الصيغ

قاعدة السلسلة لحد فيه y

قاعدة الضرب مع y

اختصار بالمشتقات الجزئية

المماس عند (x₀, y₀)

مثال محلول: x² + y² = 25 عند (3, 4)

الإجابة النهائية

كيف فهمنا مسألتك

الحل خطوة بخطوة

الصيغ المستخدمة

التحقق

شرح مفصّل

الطريقة في أربع خطوات

لماذا تُنتج قاعدة السلسلة y′

الميول والمماسات والنقاط الخاصة

اختصار بالمشتقات الجزئية

أين تُستخدم الطريقة بعد ذلك: المعدلات المرتبطة

أخطاء شائعة

نصائح

الأسئلة الشائعة

متى أستخدم الاشتقاق الضمني؟

لماذا تحتوي dy/dx على y إضافةً إلى x؟

كيف أدخل النقطة لحساب الميل؟

هل يمكنها اشتقاق معادلات فيها sin y أو e^y؟

ماذا يعني أن يكون مقام dy/dx صفرًا؟

هل الاشتقاق الضمني هو نفسه استخدام المشتقات الجزئية؟

هل يمكنني إيجاد d²y/dx² بهذه الحاسبة؟

ما الحروف التي يجب أن تستخدمها المعادلة؟

هل يلزمني حل المعادلة لإيجاد y قبل الاشتقاق؟

أوجد dy/dx لمعادلتك

المزيد من حاسبات الرياضيات