ما التكامل؟ شرح ميسّر للمبتدئين

التكامل بوصفه جمعًا

إذا سارت سيارة بسرعة ثابتة قدرها 60 كم في الساعة مدة 2 ساعة، فإنها تقطع $60 \times 2 = 120$ كم. وعلى رسم السرعة مقابل الزمن، تكون هذه المسافة مساحة مستطيل ارتفاعه 60 وعرضه 2. وعندما تتغيّر السرعة، لا تعود المنطقة تحت الرسم مستطيلًا، لكن المسافة تبقى هي المساحة تحت منحنى السرعة. وإيجاد تلك المساحة هو ما يفعله التكامل.

وبصورة أعم، كلما كانت الكمية معدلًا مضروبًا في مقدار، مثل السرعة في الزمن، أو الكثافة في الحجم، أو القوة في المسافة، وكان المعدل متغيّرًا، فإن المجموع الكلي تكامل. فالمشتقة تفكّك المجموع إلى معدلات، والتكامل يعيد بناء المجموع من المعدلات.

مجاميع ريمان: التقريب بالمستطيلات

لإيجاد المساحة تحت $f(x) = x^2$ من $x = 0$ إلى $x = 2$، قسّم الفترة إلى 4 شرائح عرض كل منها $0.5$. واستخدام الحافة اليمنى لكل شريحة ارتفاعًا يعطي مستطيلات ارتفاعاتها $f(0.5)$ و$f(1)$ و$f(1.5)$ و$f(2)$:

أما استخدام الحواف اليسرى فيعطي $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$. والمساحة الحقيقية تقع بين القيمتين. وكلما زاد عدد الشرائح $n$، اقترب المجموعان من القيمة نفسها، وتلك النهاية هي التكامل المحدد:

علامة التكامل حرف S ممدود يرمز إلى المجموع، و$f(x)$ هو الارتفاع، و$dx$ يمثّل العرض المتناهي في الصغر. وفي $x^2$ على $[0, 2]$ تساوي النهاية بالضبط $\frac{8}{3} \approx 2.667$. وفكرة النهاية، المشروحة في دليل النهايات، هي ما يحوّل التقريب إلى قيمة دقيقة.

المساحة ذات الإشارة

حيث يقع الرسم تحت المحور x، تكون $f(x)$ سالبة، فتسهم المستطيلات بمقادير سالبة. لذلك يقيس التكامل المحدد المساحة ذات الإشارة: المساحة فوق المحور ناقص المساحة تحته.

فمثلًا، $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$، لأن القوس الواقع فوق المحور بين 0 و$\pi$ يلغي تمامًا القوس الواقع تحته بين $\pi$ و$2\pi$. مساحة كل قوس 2، فالمساحة الهندسية الكلية 4. ولإيجاد المساحة الكلية، قسّم الفترة حيث تتغيّر إشارة الدالة واجمع القيم المطلقة للأجزاء.

الدوال الأصلية والتكامل غير المحدد

الدالة الأصلية للدالة $f$ هي دالة $F$ مشتقتها $f$. وبما أن $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$، فإن الدالة $x^3$ دالة أصلية للدالة $3x^2$. وكذلك $x^3 + 7$، أو $x^3$ مضافًا إليها أي ثابت، لأن مشتقة الثوابت صفر. والتكامل غير المحدد يجمعها كلها:

كل قاعدة اشتقاق أساسية، إذا قُرئت بالعكس، تعطي قاعدة تكامل:

المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل

يرتبط معنيا التكامل، أي المساحة التي نجدها بنهاية مجاميع، وعائلة الدوال الأصلية، بالمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل. وصيغتها العملية تقول إنه إذا كانت $F$ أي دالة أصلية لدالة متصلة $f$، فإن:

وهذا لافت للنظر: فمجموع لانهائي من المستطيلات يُختزل إلى قيمتين للدالة. والجزء الآخر من المبرهنة يقول إن دالة المساحة المتراكمة $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ مشتقتها $f(x)$، فالتكامل والاشتقاق يُلغي كلٌّ منهما الآخر.

ونتعمّق في الفرق بين نوعي التكامل في التكامل المحدد وغير المحدد.

تقنيتان تتجاوزان القواعد الأساسية

ليس في التكامل قاعدة ضرب أو قاعدة سلسلة تعمل آليًا في كل مرة، لذا تعكس بعض التقنيات قواعد الاشتقاق تلك.

التطبيقات

• المسافة من السرعة: إذا كانت $v(t) = 3t^2$ م/ث، فالإزاحة خلال أول 2 ثانية هي $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ م.
• المساحة بين منحنيين: بين $y = x$ و$y = x^2$ على $[0, 1]$ تكون المساحة $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
• القيمة المتوسطة: متوسط $f$ على $[a, b]$ هو $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
• الاحتمال: المساحات تحت منحنى كثافة الاحتمال تعطي احتمالات، كما في المنحنى الطبيعي الذي تقوم عليه الدرجات المعيارية.
• الحجوم، والشغل الذي تبذله قوة متغيّرة، والتكلفة الكلية من التكلفة الحدّية، ومراكز الكتلة كلها تكاملات.

أخطاء شائعة

• نسيان $+ C$ في التكامل غير المحدد.
• تطبيق قاعدة القوة على $\frac{1}{x}$، وهذا يؤدي إلى القسمة على صفر؛ فتكاملها $\ln|x|$.
• الظن بأن $\int f g\,dx$ يساوي $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$.
• قراءة التكامل المحدد على أنه المساحة الكلية حين يقع جزء من الرسم تحت المحور.
• حساب $F(a) - F(b)$ بدلًا من $F(b) - F(a)$.

تجد حاسبة التكاملات الدوال الأصلية مع عرض كل خطوة، وتحسب حاسبة التكامل المحدد التكاملات على فترة وتعطي القيمة العددية.

لماذا تبدو المبرهنة الأساسية منطقية

عُد إلى السيارة. افترض أن $s(t)$ موضعها و$v(t) = s'(t)$ سرعتها. جمعُ السرعة مضروبةً في فترات زمنية صغيرة جدًا على طول الرحلة يعطي التغيّر الكلي في الموضع، أي الموضع النهائي ناقص موضع البداية. وبالرموز، $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$، وهذه هي المبرهنة بالضبط حيث تؤدي $s$ دور الدالة الأصلية.

ومن هذه الزاوية تكاد المبرهنة تكون بديهية: فجمع كل التغيّرات الصغيرة في كمية يعطي تغيّرها الكلي. وما يمنحها قوتها أنها تحوّل حسابات النهايات الصعبة إلى طرح سهل، ما دام بالإمكان إيجاد دالة أصلية.

التكامل العددي

عندما لا يمكن كتابة دالة أصلية، أو عندما لا تُعرف الدالة إلا من القياسات، تُقدَّر التكاملات عدديًا. وتأتي التقديرات الأفضل من أشكال أفضل من المستطيلات. فقاعدة شبه المنحرف تأخذ متوسط المجموعين الأيسر والأيمن؛ وفي $x^2$ على $[0, 2]$ مع 4 شرائح تعطي $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. وقاعدة النقطة الوسطى تستخدم الارتفاع عند منتصف كل شريحة وتعطي $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$. وكلتاهما أقرب بكثير إلى القيمة الدقيقة $2.667$ من أيٍّ من المجموعين ذوي الجهة الواحدة.

أما قاعدة سمبسون، التي تمرّر قطوعًا مكافئة عبر مجموعات من ثلاث نقاط، فهي دقيقة تمامًا لهذه الدالة ولأي دالة تكعيبية. وتستخدم البرمجيات صيغًا محسّنة من هذه الأفكار لحساب التكاملات إلى منازل عشرية كثيرة في جزء من الثانية.

تاريخ موجز

إيجاد المساحات بجمع شرائح رقيقة فكرة قديمة. فقد وجد أرخميدس مساحة قطعة من قطع مكافئ قبل أكثر من ألفي عام بطريقة قريبة من النهاية. أما الاختراق الذي حدث في القرن السابع عشر، وينسب إلى نيوتن ولايبنتس، فكان المبرهنة الأساسية، التي بيّنت أن المساحات يمكن إيجادها بعكس الاشتقاق. وأعطى برنهارد ريمان المجاميع تعريفها الدقيق الحديث في القرن التاسع عشر، ولهذا تحمل اسمه.

الأسئلة الشائعة