التكامل المحدد والتكامل غير المحدد

الفرق في لمحة

• الرمز: غير المحدد $\int f(x)\,dx$؛ والمحدد $\int_a^b f(x)\,dx$ مع حدّ أدنى $a$ وحدّ أعلى $b$.
• النتيجة: غير المحدد يعطي دالة مضافًا إليها ثابت؛ والمحدد يعطي عددًا.
• المعنى: غير المحدد يجيب عن سؤال «أي الدوال لها هذه المشتقة؟»؛ والمحدد يجيب عن سؤال «كم يتراكم بين $a$ و$b$؟».
• الثابت: غير المحدد يحتاج إلى $+ C$؛ وفي التكامل المحدد يُختصر الثابت.
• التحقق: اشتقّ إجابة التكامل غير المحدد لتستعيد الدالة المكامَلة؛ وقدّر إجابة التكامل المحدد من الرسم أو بالمستطيلات.

إذا كانت التكاملات جديدة عليك، فابدأ بمقال ما التكامل، الذي يبني الفكرتين من الصفر.

التكاملات غير المحددة: عائلات من الدوال الأصلية

التكامل غير المحدد للدالة $f$ هو مجموعة كل الدوال التي مشتقتها $f$. ولأن إضافة ثابت لا تغيّر المشتقة، تكون الإجابة دائمًا عائلة من المنحنيات، كل منها إزاحة رأسية للبقية:

ولاختيار عضو واحد من العائلة تحتاج إلى معلومة إضافية، عادةً قيمة معروفة. ويُسمّى هذا مسألة القيمة الابتدائية.

والفيزياء تستخدم هذا طوال الوقت. فإذا كان التسارع ثابتًا عند $-9.8$ م/ث²، فإن التكامل مرة واحدة يعطي السرعة $v(t) = -9.8t + v_0$، والتكامل مرة أخرى يعطي الارتفاع $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$. والثابتان هما السرعة الابتدائية والارتفاع الابتدائي.

التكاملات المحددة: أعداد من نهايات المجاميع

يُعرَّف التكامل المحدد بأنه نهاية مجاميع ريمان، ويمثّل المساحة ذات الإشارة بين الرسم والمحور x من $a$ إلى $b$. وتوفّر المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل الطريق المختصر لحسابه:

استخدام $F + C$ بدلًا من $F$ لا يغيّر شيئًا، لأن $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. ولهذا يُحذف الثابت.

خصائص التكاملات المحددة

المجاميع والمضاعفات الثابتة تمر عبر علامة التكامل، تمامًا كما في المشتقات. والتماثل يوفّر كثيرًا من العمل: فإذا كانت $f$ فردية، أي $f(-x) = -f(x)$، فإن $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. فمثلًا، $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$ لأن النصفين السالب والموجب يلغي أحدهما الآخر. وإذا كانت $f$ زوجية، فإن $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$، إذن $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

القيمة المتوسطة للدالة $f$ على $[a, b]$ هي $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$. وفي $x^2$ على $[0, 3]$ تساوي $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: فمستطيل ارتفاعه 3 وعرضه 3 له مساحة المنطقة الواقعة تحت القطع المكافئ نفسها.

التعويض يعمل بطريقة مختلفة في كلٍّ منهما

في التكامل غير المحدد، تعوّض، ثم تكامل، ثم تعود إلى المتغير الأصلي. أما في التكامل المحدد، فيمكنك بدلًا من ذلك تغيير الحدّين ليوافقا المتغير الجديد دون أن تعود أبدًا.

من الأخطاء الشائعة التعويض بـ $u$ مع إبقاء حدود $x$ القديمة. فإما أن تغيّر الحدّين وإما أن تعود إلى $x$ قبل الحساب، ولا تخلط بين الطريقتين أبدًا.

حيث يلتقيان: دوال التراكم

التكامل المحدد ذو الحدّ الأعلى المتغيّر دالة: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. وهو دالة أصلية بعينها للدالة $f$، هي التي تساوي 0 عند $x = a$. فمثلًا، $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

يقول الجزء الأول من المبرهنة الأساسية إن $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. إذن $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$، مع أن هذا التكامل ليست له صيغة أولية. وإذا كان الحدّ الأعلى نفسه دالة، تضيف قاعدة السلسلة عاملًا: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. وقواعد الاشتقاق ملخّصة في شرح قواعد الاشتقاق.

التكاملات المعتلّة

التكامل المحدد على فترة لانهائية، أو لدالة تتفجّر داخل الفترة، يُسمّى معتلًّا ويُعرَّف بوصفه نهاية. مثلًا:

إذن يمكن أن تكون لمنطقة طويلة طولًا لانهائيًا مساحة منتهية. وفي المقابل، $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ ينمو بلا حدود، فهو متباعد. وهذه المقارنة أساس اختبار التكامل في اختبارات تقارب المتسلسلات.

أيهما يطلب السؤال؟

ابحث عن حدود على علامة التكامل أو عن كلمات مثل «من» و«بين» و«الكلي» و«المساحة» و«كم». فهذه تدلّ على تكامل محدد وإجابة عددية. أما عبارات مثل «أوجد دالة» و«الحل العام» و«الدالة الأصلية» فتدلّ على تكامل غير محدد مع $+ C$. والسؤال الذي يعطي قيمة ابتدائية، مثل $f(0) = 2$، يطلب تكاملًا غير محدد يتبعه حلٌّ لإيجاد $C$.

استخدم حاسبة التكاملات للتكاملات غير المحددة مع الخطوات، وحاسبة التكامل المحدد للحساب على فترة، بما في ذلك التكاملات المعتلّة.

مقارنة محلولة على دالة واحدة

رؤية نوعي التكامل مطبّقين على الدالة نفسها تجعل الفرق ملموسًا. خذ الدالة التي تعطي معدل تدفّق الماء إلى خزان، باللترات في الدقيقة، وافترض أنها تساوي $4t + 2$ بعد $t$ دقيقة.

التكامل غير المحدد، $2t^2 + 2t + C$، يصف كمية الماء في الخزان في أي وقت، لكن بفارق كمية ابتدائية مجهولة. فإذا كان في الخزان 10 لترات في البداية، فإن $C = 10$ ويكون الحجم بعد $t$ دقيقة $2t^2 + 2t + 10$ لترًا. وهذه دالة يمكنك حسابها في أي لحظة.

أما التكامل المحدد من $t = 0$ إلى $t = 5$ فيجيب عن سؤال مختلف: كم من الماء تدفّق خلال تلك الدقائق الخمس؟ إنه يساوي $(50 + 10) - 0 = 60$ لترًا، بغضّ النظر عن كمية الماء التي كانت في الخزان أصلًا. الإجابة الأولى صيغة لحالة؛ والثانية عدد واحد لتغيّر. ومعظم المسائل التطبيقية تنتمي بوضوح إلى أحد هذين النوعين بمجرد أن تسأل: هل يطلب السؤال كمية في لحظة أم مجموعًا على فترة؟

أخطاء شائعة في كل نوع

في التكاملات غير المحددة، أكثر الأخطاء شيوعًا إسقاط الثابت. قد يبدو ذلك غير مؤذٍ، لكنه في مسألة القيمة الابتدائية يحذف الشيء نفسه الذي يُطلب منك إيجاده، وفي المعادلات التفاضلية يُخفي عائلة كاملة من الحلول. وخطأ ثانٍ هو نسيان إعادة كتابة الإجابة بدلالة المتغير الأصلي بعد التعويض.

وفي التكاملات المحددة، الأخطاء النموذجية هي الطرح بالترتيب الخاطئ، والخلط بين الحدود القديمة والجديدة بعد التعويض، وقراءة المساحة ذات الإشارة على أنها مساحة كلية. ومن الفخاخ أيضًا التكامل مباشرةً عبر نقطة تكون فيها الدالة غير معرّفة، مثل $\frac{1}{x^2}$ من $-1$ إلى 1. فتطبيق الصيغة دون تفكير هنا يعطي $-2$، وهذا مستحيل لدالة موجبة؛ والواقع أن التكامل متباعد، لأن الدالة تتفجّر عند 0. تحقّق دائمًا من أن الدالة المكامَلة متصلة على الفترة كلها قبل استخدام المبرهنة الأساسية.

كيف تتكامل الفكرتان

من المفيد أن تعدّ التكامل غير المحدد هو الأداة والتكامل المحدد هو المهمة. فإيجاد دالة أصلية هو الخطوة الإبداعية الصعبة؛ وبمجرد أن تحصل عليها، ينتج كل تكامل محدد لتلك الدالة على أي فترة بعملية طرح. ولهذا تخصّص الكتب المدرسية وقتًا طويلًا لتقنيات التكامل غير المحدد، ولهذا يمكن لدالة أصلية جيدة واحدة أن تجيب دفعةً واحدة عن مجموعة كاملة من أسئلة المساحة والمسافة والتراكم.

الأسئلة الشائعة