انتقل إلى المحتوى
MathSolver Pro
  • افتح حلّال الرياضيات
  • اسأل المعلم الذكي
  • ابحث عن مقرر AP
  • أنشئ اختبارًا قصيرًا
  • افتح الآلة الحاسبة
  • الآلة الحاسبة البيانية
  • تصفح كل الحاسبات
  • اقرأ أدلة الرياضيات
↑ ↓Enter للفتح · Esc للإغلاق
حلّ مسألة

حساب المثلثات

المتطابقات المثلثية: القائمة الأساسية وكيفية استخدامها

بقلم MathSolver Pro Editorial Team · نُشر في

المتطابقة المثلثية معادلة صحيحة لكل زاوية يكون عندها الطرفان معرَّفين. وقائمة قصيرة من المتطابقات، مبنيّة كلها على دائرة الوحدة، تتيح لك تبسيط العبارات وإيجاد القيم الدقيقة وبرهنة النتائج وحل المعادلات.

المتطابقات مقابل المعادلات

المعادلة sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} صحيحة لزوايا معيّنة فقط، فهي شيء يُحَلّ. أما المعادلة sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 فصحيحة لكل زاوية، فهي متطابقة، أي شيء يُستخدَم. والمتطابقات أدوات لإعادة كتابة عبارة بصيغة أنسب دون تغيير قيمتها.

يمكنك دائمًا اختبار متطابقة مزعومة عدديًا. فإن فشلت عند زاوية واحدة، فليست متطابقة. وإن تحقّقت عند عدة زوايا لا علاقة بينها، فهي صحيحة على الأرجح، لكن البرهان يبقى ضروريًا لليقين. وهذه العادة العددية تكشف كثيرًا من أخطاء الإشارة وتستحق الاستخدام في أثناء التعلّم.

المتطابقات الأساسية

تعرّف متطابقات المقلوب والقسمة الدوال الأربع الأخرى بدلالة الجيب وجيب التمام:

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x,cot⁡x=cos⁡xsin⁡x,sec⁡x=1cos⁡x,csc⁡x=1sin⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x},\quad \sec x = \frac{1}{\cos x},\quad \csc x = \frac{1}{\sin x}

تأتي متطابقة فيثاغورس من معادلة دائرة الوحدة، x2+y2=1x^2 + y^2 = 1، حيث x=cos⁡θx = \cos\theta وy=sin⁡θy = \sin\theta. وقسمتها على cos⁡2x\cos^2 x أو على sin⁡2x\sin^2 x تعطي صيغتين أخريين:

sin⁡2x+cos⁡2x=1,1+tan⁡2x=sec⁡2x,1+cot⁡2x=csc⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, \qquad 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

ويعطي تناظر دائرة الوحدة متطابقات الزوجية والفردية، cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x وsin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x) = -\sin x وtan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x) = -\tan x، ومتطابقات الدوال المتتامّة، مثل sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x. وهذه المتطابقات الأخيرة تفسّر التسمية: جيب التمام هو جيب الزاوية المتمّمة. ويبيّن دليل دائرة الوحدة من أين تأتي كل واحدة منها.

صيغ المجموع والفرق

تعبّر هذه الصيغ عن الدوال المثلثية لمجموع زاويتين أو فرقهما بدلالة كل زاوية على حدة. وهي مصدر كل المتطابقات الأخرى تقريبًا.

sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B
cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B,tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B, \qquad \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}

لاحظ انقلاب الإشارة في صيغة جيب التمام: جيب تمام المجموع فيه إشارة سالبة. ومن الأخطاء الشائعة افتراض أن sin⁡(A+B)=sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) = \sin A + \sin B. والاختبار بـ A=B=π2A = B = \frac{\pi}{2} يبيّن فشل ذلك: فالطرف الأيسر sin⁡π=0\sin\pi = 0 بينما الطرف الأيمن 2.

المثال 1: القيمة الدقيقة لـ sin⁡75∘\sin 75^\circ

  1. اكتب 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ، وهما زاويتان قيمهما معروفة.
  2. طبّق صيغة المجموع: sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘=22⋅32+22⋅12\sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}.
  3. بسّط: 6+24≈0.9659\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659، وهو ما تعطيه الآلة الحاسبة.

وبالطريقة نفسها، tan⁡15∘=tan⁡(45∘−30∘)=1−331+33=2−3≈0.2679\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679.

ضعف الزاوية وتخفيض القوة

بوضع B=AB = A في صيغ المجموع نحصل على متطابقات ضعف الزاوية. ولجيب التمام ثلاث صيغ متكافئة، نحصل عليها باستبدال sin⁡2\sin^2 أو cos⁡2\cos^2 باستخدام متطابقة فيثاغورس.

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x,cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\sin 2x = 2\sin x\cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x

وحلّ الصيغتين الأخيرتين بالنسبة إلى المربعين يعطي متطابقات تخفيض القوة، التي تحوّل المربعات إلى قوى أولى لضعف الزاوية. وهي أساسية في التفاضل والتكامل، حيث يصعب تكامل sin⁡2x\sin^2 x مباشرة.

sin⁡2x=1−cos⁡2x2,cos⁡2x=1+cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

مثلًا، ∫sin⁡2x dx=∫1−cos⁡2x2 dx=x2−sin⁡2x4+C\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C. ووضع x2\frac{x}{2} مكان xx في هذه المتطابقات يعطي صيغ نصف الزاوية، مثل cos⁡2x2=1+cos⁡x2\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}.

كيف تبرهن متطابقة

برهنة متطابقة تعني تحويل أحد الطرفين، خطوة بخطوة، حتى يصير الطرف الآخر. لا تعاملها كمعادلة بإجراء العملية نفسها على الطرفين، لأن ذلك يفترض ما تحاول برهنته. وهذه الاستراتيجيات تنجح في معظم الحالات:

  1. ابدأ بالطرف الأعقد؛ ففيه ما يمكن تبسيطه أكثر.
  2. أعد كتابة كل شيء بدلالة الجيب وجيب التمام.
  3. ابحث عن أنماط فيثاغورس، مثل 1−cos⁡2x1 - \cos^2 x، واستبدلها.
  4. اجمع الكسور على مقام مشترك، أو جزّئ كسرًا واحدًا إلى كسرين.
  5. حلّل إلى عوامل، أو اضرب في المرافق مثل 1+sin⁡x1 + \sin x، حين يظهر مجموع في المقام.
  6. أبقِ الطرف المستهدف أمام عينيك لتقرّبك كل خطوة منه.

المثال 2: برهن أن sec⁡x−cos⁡x=sin⁡xtan⁡x\sec x - \cos x = \sin x\tan x

  1. ابدأ من الطرف الأيسر واكتب sec⁡x\sec x على الصورة 1cos⁡x\frac{1}{\cos x}: 1cos⁡x−cos⁡x\frac{1}{\cos x} - \cos x.
  2. المقام المشترك: 1−cos⁡2xcos⁡x\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}.
  3. متطابقة فيثاغورس: sin⁡2xcos⁡x\frac{\sin^2 x}{\cos x}.
  4. التجزئة: sin⁡x⋅sin⁡xcos⁡x=sin⁡xtan⁡x\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x\tan x، وهو الطرف الأيمن.

المثال 3: برهن أن tan⁡x+cot⁡x=sec⁡xcsc⁡x\tan x + \cot x = \sec x\csc x

  1. الطرف الأيسر بالجيب وجيب التمام: sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}.
  2. المقام المشترك: sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x} = \frac{1}{\sin x\cos x}.
  3. التجزئة: 1cos⁡x⋅1sin⁡x=sec⁡xcsc⁡x\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{1}{\sin x} = \sec x\csc x.

وبرهان أقصر يجمع بين عائلتين: (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=1+sin⁡2x(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x.

استخدام المتطابقات لحل المعادلات

كثيرًا ما تحوّل المتطابقات معادلة مثلثية إلى معادلة تربيعية في دالة واحدة. حلّ المعادلة التربيعية، ثم استخدم دائرة الوحدة لإيجاد كل الزوايا.

المثال 4: حلّ 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 على [0,2π)[0, 2\pi)

  1. عاملها كمعادلة تربيعية في sin⁡x\sin x وحلّلها: (2sin⁡x+1)(sin⁡x−1)=0(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0.
  2. sin⁡x=1\sin x = 1 تعطي x=π2x = \frac{\pi}{2}.
  3. sin⁡x=−12\sin x = -\frac{1}{2} تعطي x=7π6x = \frac{7\pi}{6} وx=11π6x = \frac{11\pi}{6}.
  4. الحلول: π2,7π6,11π6\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}.

المثال 5: حلّ cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x = \sin x على [0,2π)[0, 2\pi)

  1. استخدم صيغة cos⁡2x\cos 2x التي لا تتضمّن إلا الجيب: 1−2sin⁡2x=sin⁡x1 - 2\sin^2 x = \sin x.
  2. أعد الترتيب: 2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2 x + \sin x - 1 = 0، إذن (2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0(2\sin x - 1)(\sin x + 1) = 0.
  3. sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} تعطي π6\frac{\pi}{6} و5π6\frac{5\pi}{6}؛ وsin⁡x=−1\sin x = -1 تعطي 3π2\frac{3\pi}{2}.
  4. تحقّق من x=π6x = \frac{\pi}{6}: cos⁡π3=12=sin⁡π6\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}.

تجنّب قسمة الطرفين على دالة مثلثية، مثل sin⁡x\sin x، لأنك قد تفقد الحلول التي تساوي عندها صفرًا. انقل كل شيء إلى طرف واحد وحلّل إلى عوامل بدلًا من ذلك.

خطوات التحليل هنا هي نفسها في المعادلات التربيعية العادية؛ راجع كيفية حل المعادلات التربيعية لتنشيط ذاكرتك.

أيّ المتطابقات تحفظ

لست بحاجة إلى حفظ كل صيغة على حدة. تعلّم متطابقة فيثاغورس، وصيغتي المجموع للجيب وجيب التمام، وتعريفات الدوال الأربع الأخرى. وكل ما عدا ذلك يمكن اشتقاقه في سطر أو سطرين: صيغ ضعف الزاوية من صيغ المجموع بوضع B=AB = A، وصيغ فيثاغورس الأخرى بالقسمة، وتخفيض القوة بحلّ صيغة ضعف الزاوية لجيب التمام، وصيغ الفرق من صيغ المجموع باستخدام متطابقات الزوجية والفردية.

القدرة على اشتقاق الصيغة أوثق تحت ضغط الامتحان من تذكّرها، لأنك تستطيع التحقق منها أثناء العمل. وكثير من الامتحانات تقدّم ورقة صيغ على أي حال، فالمهارة التي تُختبَر فعلًا هي اختيار المتطابقة المناسبة، ولا تأتي إلا بالتدرّب على مسائل متنوّعة.

أخطاء شائعة

  • كتابة sin⁡(A+B)=sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) = \sin A + \sin B أو sin⁡2x=2sin⁡x\sin 2x = 2\sin x.
  • الخطأ في الإشارة في cos⁡(A+B)\cos(A + B)، التي فيها إشارة سالبة.
  • الخلط بين sin⁡2x\sin^2 x، ومعناها (sin⁡x)2(\sin x)^2، وsin⁡(x2)\sin(x^2).
  • العمل على طرفي المتطابقة معًا كأنها معادلة.
  • قسمة معادلة على دالة مثلثية وفقدان حلول.

تتحقّق حاسبة المتطابقات المثلثية مما إذا كانت عبارتان متطابقتين وتعرض مسار التبسيط، وهي طريقة جيدة لاختبار براهينك.

أين تظهر المتطابقات لاحقًا

المتطابقات ليست مجرد تمرين في فصل من علم المثلثات. ففي التفاضل والتكامل، تُوجَد مشتقة الجيب بصيغة المجموع ونهايتين، وتعتمد تكاملات قوى الجيب وجيب التمام على تخفيض القوة، ويستخدم التعويض المثلثي 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x للتخلّص من الجذور التربيعية مثل 1+x2\sqrt{1 + x^2}.

وفي الفيزياء والهندسة، جمع موجتين لهما التردّد نفسه يعطي موجة أخرى بالتردّد ذاته، وصيغة المجموع تبيّن كيف بالضبط. فكتابة asin⁡x+bcos⁡xa\sin x + b\cos x على الصورة Rsin⁡(x+φ)R\sin(x + \varphi)، حيث R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}، تخبرك فورًا بسعة الموجة المركّبة. فمثلًا، سعة 3sin⁡x+4cos⁡x3\sin x + 4\cos x هي 5، فأكبر قيمها 5 وأصغرها −5-5. وفكّ 5sin⁡(x+φ)5\sin(x + \varphi) بصيغة المجموع ومطابقة المعاملات يعطي cos⁡φ=35\cos\varphi = \frac{3}{5} وsin⁡φ=45\sin\varphi = \frac{4}{5}.

ومعالجة الإشارات، ودورانات الرسوميات الحاسوبية، والقوانين المستخدمة في حل المثلثات، كلها تقوم على هذه المجموعة الصغيرة من الصيغ، ولهذا يؤتي إتقانها ثماره لسنوات، بعد انتهاء وحدة علم المثلثات نفسها بوقت طويل.

الأسئلة الشائعة

ما أهم متطابقة مثلثية؟

متطابقة فيثاغورس sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1. فهي تأتي مباشرة من دائرة الوحدة، وتُشتقّ منها متطابقات كثيرة أخرى، منها صيغتا فيثاغورس الأخريان وصيغ تخفيض القوة.

كيف أتحقّق من صحة متطابقة؟

عوّض ببضع زوايا غير خاصة، مثل x=0.7x = 0.7 وx=2x = 2، في الطرفين. فإن اختلفت أي قيمة، فليست متطابقة. وإن اتفقت كلها، فهي صحيحة على الأرجح الشديد، ويمكنك حينئذ البحث عن برهان.

لماذا لا يمكنني العمل على طرفي المتطابقة؟

إجراء العملية نفسها على الطرفين يفترض أنهما متساويان أصلًا، وهذا هو الادّعاء المراد برهنته. كما أن بعض العمليات، كالتربيع، قد تحوّل عبارة خاطئة إلى صحيحة. وتحويل أحد الطرفين إلى الآخر يتجنّب المشكلتين.

أيّ صيغة لـ cos 2x أستخدم؟

اختر الصيغة التي تُبقي دالة مثلثية واحدة. فإن كانت بقية المعادلة لا تتضمّن إلا الجيب، فاستخدم 1−2sin⁡2x1 - 2\sin^2 x؛ وإن كانت لا تتضمّن إلا جيب التمام، فاستخدم 2cos⁡2x−12\cos^2 x - 1.

ما أكبر قيمة للعبارة 3 sin x + 4 cos x؟

أعد كتابتها على الصورة 5sin⁡(x+φ)5\sin(x + \varphi)، لأن 32+42=5\sqrt{3^2 + 4^2} = 5. وموجة الجيب التي سعتها 5 قيمتها العظمى 5، وتبلغها حين يكون x+φ=π2x + \varphi = \frac{\pi}{2}.

MathSolver Pro Editorial Team

محتوى الرياضيات ومراجعته

يكتب فريقنا التحريري كل دليل ليشرح المنطق وراء كل طريقة، لا الإجابة وحدها. ويُراجَع كل مثال محلول بمحرّكات الحل الخاصة بالموقع واختبارات آلية قبل نشره، وتُنقَّح المقالات كلما تغيّرت طريقة أو شكل امتحان.