حساب المثلثات

كيف تحلّ أي مثلث، حالةً بحالة

Q: كم جزءًا أحتاج لحلّ مثلث؟

ثلاثة، بينها ضلع واحد على الأقل. فالزوايا الثلاث وحدها لا تحدّد إلا الشكل. وترتيب ضلع-ضلع-زاوية قد يعطي صفرًا أو مثلثًا واحدًا أو مثلثين، فيحتاج إلى تحقّق إضافي.

Q: بأيّ قانون أبدأ في المثلث غير القائم؟

إذا كان لديك ضلع والزاوية المقابلة له، فابدأ بقانون الجيوب. وإذا كانت الحالة ضلع-زاوية-ضلع أو ضلع-ضلع-ضلع، فلا يوجد مثل هذا الزوج، فابدأ بقانون جيوب التمام.

Q: لماذا نوجد الزاوية الكبرى أولًا في مسائل ضلع-ضلع-ضلع؟

لأن الزاوية الكبرى وحدها يمكن أن تكون منفرجة. وإيجادها بجيب التمام العكسي يحدّدها تحديدًا صحيحًا، ثم تكون الزاويتان الأخريان حادتين حتمًا، فلا يبقى أي التباس.

Q: هل يمكن حلّ مثلث من زواياه الثلاث؟

ليس حلًّا وحيدًا. فكل تكبير للمثلث له الزوايا نفسها، فيمكنك إيجاد النسب بين الأضلاع لا أطوالها. ويلزم طول ضلع واحد لتحديد الحجم.

Q: ما الطريقة السهلة لتذكّر نسب المثلث القائم؟

احفظها ثلاث جمل قصيرة: الجيب يساوي المقابل على الوتر، وجيب التمام يساوي المجاور على الوتر، والظل يساوي المقابل على المجاور. ويحفظها الطلاب الناطقون بالإنجليزية باختصار «سوه كاه توا» المكوَّن من الحروف الأولى لهذه الجمل.

بقلم MathSolver Pro Editorial Team · نُشر في 25 أكتوبر 2026

حلّ المثلث يعني إيجاد أضلاعه الثلاثة وزواياه الثلاث من الأجزاء المعطاة. والأداة المناسبة تتوقّف على الأجزاء الثلاثة التي تعرفها، لذا فالخطوة الأولى دائمًا هي تحديد الحالة.

ما معنى حلّ المثلث

لكل مثلث ستة أجزاء: ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا. وبوجه عام، فإن معرفة ثلاثة منها، بينها ضلع واحد على الأقل، تحدّد المثلث، ويمكن حساب الأجزاء الثلاثة الأخرى. أما معرفة الزوايا الثلاث وحدها فلا تكفي، لأن المثلثات المتشابهة من كل الأحجام تشترك في الزوايا نفسها؛ وتُسمّى هذه الحالة أحيانًا زاوية-زاوية-زاوية، وليس لها حلّ وحيد.

توصف الأجزاء المعلومة بترتيب ظهورها حول المثلث. فزاوية-ضلع-زاوية تعني زاويتين والضلع الواقع بينهما؛ وضلع-زاوية-ضلع تعني ضلعين والزاوية المحصورة بينهما. وهذه هي الأنماط الستة الممكنة، والأداة المناسبة لكل منها:

مثلث قائم مع أي جزأين آخرين: النسب الأساسية ونظرية فيثاغورس.
زاوية-زاوية-ضلع أو زاوية-ضلع-زاوية: مجموع الزوايا، ثم قانون الجيوب.
ضلع-زاوية-ضلع: قانون جيوب التمام للضلع الثالث، ثم الزاويتان الباقيتان.
ضلع-ضلع-ضلع: قانون جيوب التمام للزوايا.
ضلع-ضلع-زاوية: قانون الجيوب مع التحقّق من وجود صفر أو مثلث واحد أو مثلثين.
زاوية-زاوية-زاوية: الشكل فقط، دون حجم وحيد.

ارسم المثلث دائمًا وسمِّ الأجزاء المعطاة قبل اختيار الطريقة. فمعظم الأخطاء تأتي من إقران ضلع بالزاوية الخطأ.

المثلثات القائمة: الجيب وجيب التمام والظل

في المثلث القائم، ولزاوية حادة $\theta$ ، تربط النسب الأساسية الثلاث الزاوية بالأضلاع: الضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر.

\sin\theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}

المثال 1: الوتر 10، وإحدى الزاويتين $35^\circ$

الضلع المقابل: $10\sin 35^\circ \approx 5.736$ .
الضلع المجاور: $10\cos 35^\circ \approx 8.192$ .
الزاوية الحادة الأخرى: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
التحقّق: $5.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2$ .

المثال 2: ارتفاع شجرة من ظلّها

تُلقي شجرة ظلًّا طوله 18 م حين تكون الشمس على ارتفاع $40^\circ$ فوق الأفق.
الارتفاع مقابل للزاوية والظل مجاور لها، فاستخدم الظل: $h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10$ م.

ولإيجاد زاوية، استخدم النسبة العكسية. فالمثلث القائم الذي أضلاعه 3 و4 و5 تكون زاويته الحادة الصغرى $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$ .

زاويتان وضلع (زاوية-زاوية-ضلع، زاوية-ضلع-زاوية)

أوجد الزاوية الثالثة بالطرح من $180^\circ$ . فتصبح لديك كل الزوايا وضلع واحد، وهذا زوج كامل لـ قانون الجيوب:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

المثال 3 (زاوية-ضلع-زاوية): $A = 50^\circ$ ، $B = 65^\circ$ ، $c = 12$

$C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ$ .
$a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14$ .
$B = C$ ، فالمثلث متطابق الضلعين و $b = c = 12$ دون حساب إضافي.

لهذه الحالات دائمًا حلّ واحد بالضبط، بشرط أن يكون مجموع الزاويتين المعطاتين أقل من $180^\circ$ .

ضلعان والزاوية المحصورة (ضلع-زاوية-ضلع)

استخدم قانون جيوب التمام لإيجاد الضلع المقابل للزاوية المعلومة. ثم أوجد زاوية ثانية. والخيار الأسلم هو الزاوية المقابلة للأقصر بين الضلعين الأصليين، لأنها لا بدّ أن تكون حادة، فيعطيها الجيب العكسي دون التباس.

المثال 4: $b = 10$ ، $c = 14$ ، $A = 110^\circ$

$a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77$ ، إذن $a \approx 19.79$ .
بما أن $A$ منفرجة، فإن $B$ و $C$ حادتان كلتاهما. و $\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79}$ يعطي $B \approx 28.34^\circ$ .
$C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ$ .
التحقّق: الضلع الأطول، 19.79، يقابل الزاوية الكبرى، $110^\circ$ .

ثلاثة أضلاع (ضلع-ضلع-ضلع)

تأكّد أولًا من أن الأضلاع تحقّق متباينة المثلث: يجب أن يكون كل ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين. ثم استخدم صيغة جيب التمام من قانون جيوب التمام، بادئًا بالزاوية المقابلة للضلع الأطول:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

المثال 5: الأضلاع 6 و8 و9

الزاوية المقابلة للضلع 9: $\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}$ ، إذن $C \approx 78.58^\circ$ .
الزاوية المقابلة للضلع 6: $\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}$ ، إذن $A \approx 40.80^\circ$ .
الزاوية المقابلة للضلع 8: $180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ$ .
الزوايا الثلاث كلها حادة، كما تنبّأ به $81 < 36 + 64$ .

ضلعان وزاوية غير محصورة (ضلع-ضلع-زاوية)

هذه هي الحالة الملتبسة. أوجد الزاوية المجهولة بقانون الجيوب، $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ ، ثم افحص النتيجة:

إذا كان $\sin B > 1$ ، فلا يوجد مثلث.
إذا كان $\sin B = 1$ ، فهناك مثلث قائم واحد.
إذا كان $\sin B < 1$ ، فاختبر $B$ و $180^\circ - B$ كلتيهما. وكل واحدة تترك زاوية ثالثة موجبة تعطي مثلثًا صالحًا.

فمثلًا، $A = 30^\circ$ و $a = 6$ و $b = 10$ تعطي $\sin B = \frac{5}{6}$ ، إذن $B \approx 56.44^\circ$ أو $123.56^\circ$ . وكلتاهما تتركان مجالًا لزاوية ثالثة، فهناك مثلثان. ويحلّ مقال قانون الجيوب كليهما بالتفصيل، إلى جانب حالتي انعدام المثلث والمثلث الواحد.

زوايا الارتفاع والانخفاض

كثير من المسائل التطبيقية تصف زوايا مقيسة من الأفقي. فزاوية الارتفاع تُقاس صعودًا نحو جسم؛ وزاوية الانخفاض تُقاس نزولًا. ولأن الخطين الأفقيين عند الراصد وعند الجسم متوازيان، فإن زاوية الانخفاض من A إلى B تساوي زاوية الارتفاع من B إلى A.

المثال 6: ارتفاع طريق

طريق مستقيم يصعد بزاوية $3^\circ$ لمسافة 200 م مقيسة أفقيًا. كم ارتفاعًا يكتسب؟
الارتفاع $= 200\tan 3^\circ \approx 10.48$ م.
وكنسبة انحدار، هذا يقارب 5.2 بالمئة، لأن $\tan 3^\circ \approx 0.0524$ .

المسائل ذات الرصدتين، مثل رصد قمة مبنى من نقطتين على الأرض، تُحَلّ بالجمع بين مثلث قائم ومثلث غير قائم، وغالبًا باستخدام قانون الجيوب في الجزء غير القائم.

قائمة تحقّق لكل إجابة

مجموع الزوايا الثلاث $180^\circ$ .
الضلع الأطول يقابل الزاوية الكبرى، والضلع الأقصر يقابل الزاوية الصغرى.
كل ضلع أقصر من مجموع الضلعين الآخرين.
إعادة حساب أحد الأضلاع بالقانون الآخر تعطي القيمة نفسها، مع مراعاة التقريب.
لا تُقرَّب الإجابات إلا في النهاية، وبالدقة التي يطلبها السؤال.

بعد حلّ المثلث، تُستنتج مساحته من $\frac{1}{2}ab\sin C$ باستخدام أي ضلعين والزاوية المحصورة بينهما. وتحلّ حاسبة قانون جيوب التمام كل حالات المثلث غير القائم مع الخطوات، وتتعامل حاسبة صيغة المسافة مع المثلثات المعطاة بالإحداثيات.

التقريب والدقة

تسلسل مسائل المثلثات عدة حسابات معًا، فأخطاء التقريب الصغيرة في البداية قد تكبر لتصبح فروقًا ظاهرة في النهاية. احتفظ بدقة الحاسبة الكاملة لكل قيمة وسيطة، إما بتخزين النتائج في الذاكرة أو بكتابة أربعة أرقام معنوية على الأقل. ولا تقرّب إلا الإجابات النهائية، وقرّبها بالدقة التي يطلبها السؤال، وهي عادةً منزلة عشرية واحدة أو منزلتان للزوايا بالدرجات، وعدد معقول من الأرقام المعنوية للأطوال.

وبسبب التقريب، قد يكون مجموع الزوايا الثلاث التي تذكرها $179.9^\circ$ أو $180.1^\circ$ . وهذا ليس خطأً في الطريقة. أما إذا ابتعد المجموع بدرجة كاملة أو أكثر، فثمّة خطأ ما، وغالبًا ما يكون ضلعًا مقرونًا بالزاوية الخطأ أو حلًّا منفرجًا فائتًا. والحساب المستقل الثاني، مثل إيجاد الضلع الأخير بالقانونين كليهما، هو أوثق طريقة للتأكّد من صحة إجابتك.

الأسئلة الشائعة

كم جزءًا أحتاج لحلّ مثلث؟

ثلاثة، بينها ضلع واحد على الأقل. فالزوايا الثلاث وحدها لا تحدّد إلا الشكل. وترتيب ضلع-ضلع-زاوية قد يعطي صفرًا أو مثلثًا واحدًا أو مثلثين، فيحتاج إلى تحقّق إضافي.

بأيّ قانون أبدأ في المثلث غير القائم؟

إذا كان لديك ضلع والزاوية المقابلة له، فابدأ بقانون الجيوب. وإذا كانت الحالة ضلع-زاوية-ضلع أو ضلع-ضلع-ضلع، فلا يوجد مثل هذا الزوج، فابدأ بقانون جيوب التمام.

لماذا نوجد الزاوية الكبرى أولًا في مسائل ضلع-ضلع-ضلع؟

لأن الزاوية الكبرى وحدها يمكن أن تكون منفرجة. وإيجادها بجيب التمام العكسي يحدّدها تحديدًا صحيحًا، ثم تكون الزاويتان الأخريان حادتين حتمًا، فلا يبقى أي التباس.

هل يمكن حلّ مثلث من زواياه الثلاث؟

ليس حلًّا وحيدًا. فكل تكبير للمثلث له الزوايا نفسها، فيمكنك إيجاد النسب بين الأضلاع لا أطوالها. ويلزم طول ضلع واحد لتحديد الحجم.

ما الطريقة السهلة لتذكّر نسب المثلث القائم؟

احفظها ثلاث جمل قصيرة: الجيب يساوي المقابل على الوتر، وجيب التمام يساوي المجاور على الوتر، والظل يساوي المقابل على المجاور. ويحفظها الطلاب الناطقون بالإنجليزية باختصار «سوه كاه توا» المكوَّن من الحروف الأولى لهذه الجمل.

MathSolver Pro Editorial Team

محتوى الرياضيات ومراجعته

يكتب فريقنا التحريري كل دليل ليشرح المنطق وراء كل طريقة، لا الإجابة وحدها. ويُراجَع كل مثال محلول بمحرّكات الحل الخاصة بالموقع واختبارات آلية قبل نشره، وتُنقَّح المقالات كلما تغيّرت طريقة أو شكل امتحان.