حاسبة دائرة الوحدة: القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل

عن حاسبة دائرة الوحدة

تحوّل دائرة الوحدة حساب المثلثات إلى إحداثيات. فكل زاوية تقابل نقطة على دائرة نصف قطرها 1، وجيب تمام الزاوية وجيبها هما ببساطة الإحداثي $x$ والإحداثي $y$ لتلك النقطة. وحفظ عدد قليل من النقاط الخاصة، ثم استخدام التماثل، يعطيك قيمًا دقيقة لعشرات الزوايا دون آلة حاسبة.

تقوم هذه الحاسبة بهذا الاستدلال نيابةً عنك. فهي تحوّل الزاوية بين الدرجات والراديان، وتردّها إلى دورة واحدة، وتحدد الربع والزاوية المرجعية، وتقرأ القيم الدقيقة مثل $\frac{\sqrt3}{2}$ للزوايا الخاصة. وللزوايا الأخرى تعطي قيمًا عشرية دقيقة. كما تعرض الظل والقاطع وقاطع التمام وظل التمام، وتنبّه حين تكون إحداها غير معرّفة.

ما دائرة الوحدة؟

دائرة الوحدة هي الدائرة $x^2 + y^2 = 1$ ، ومركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1. وتُقاس الزاوية $\theta$ من الاتجاه الموجب لمحور $x$ ، عكس اتجاه عقارب الساعة للزوايا الموجبة ومع اتجاهها للزوايا السالبة. والنقطة التي يلتقي فيها ضلع الانتهاء بالدائرة هي $(\cos\theta, \sin\theta)$ .

ولأن هذه النقطة تقع على الدائرة، فإن $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ لكل زاوية، وهذه هي متطابقة فيثاغورس. والظل هو النسبة $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ، أي ميل ضلع الانتهاء، أما دوال المقلوب فهي $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ و $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ و $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .

كيف تستخدم حاسبة دائرة الوحدة

أدخل الزاوية، مثل 150 أو -30 أو 5pi/4.
اختر الدرجات أو الراديان.
اضغط «أوجد القيم».
اقرأ الربع والزاوية المرجعية والإحداثيات الدقيقة.
استخدم قيم الظل ودوال المقلوب المعروضة أسفل الإحداثيات.

الصيغ

النقطة على الدائرة

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

من الدرجات إلى الراديان

\theta_{\text{راديان}} = \theta_{\text{درجة}} \cdot \frac{\pi}{180}

متطابقة فيثاغورس

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

الظل

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

مثال محلول: θ = 150°

يستخدم المثال $\theta = 150°$ . تقع الزاوية في الربع الثاني، حيث $x$ سالب و $y$ موجب، وزاويتها المرجعية $180° - 150° = 30°$ .

النقطة المقابلة لـ $30°$ هي $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ . وتطبيق إشارات الربع الثاني يعطي $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ ، وقسمة الجيب على جيب التمام تعطي $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ .

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

كيف فهمنا مسألتك

قيم دائرة الوحدة للزاوية 150°

\theta = 150^\circ

الحل خطوة بخطوة

حوّل الدرجات إلى راديان (اضرب في π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{راديان}$
حدّد موضع الضلع النهائي: في الربع الثاني
في الربع الثاني يكون الجيب موجبًا وجيب التمام سالبًا (الموجب في الأرباع بالترتيب: الكل، الجيب، الظل، جيب التمام).
الزاوية المرجعية (الزاوية الحادة مع المحور x)
$\theta_{\text{مرجع}} = 30^\circ$
اقرأ الإحداثيات الدقيقة من الزاوية المرجعية وطبّق إشارات الربع
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
الظل = الجيب ÷ جيب التمام
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
الدوال المقلوبة
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

الصيغ المستخدمة

النقطة على دائرة الوحدة
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
الظل والمقلوبات
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
الدرجات والراديان
$\text{راديان} = \text{درجة} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 rad) ينتهي ضلعها في الربع الثاني بزاوية مرجعية 30°. sin θ = 1/2، cos θ = −√3/2، tan θ = −√3/3، csc θ = 2، sec θ = −2√3/3، cot θ = −√3.

التحقق

cos²θ + sin²θ = 1 (يجب أن يساوي 1).

شرح مفصّل

الزوايا الخاصة

لثلاث زوايا حادة قيم دقيقة بسيطة. فعند $30°$ تكون النقطة $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ ، وعند $45°$ تكون $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ ، وعند $60°$ تكون $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ . وهي مستمدة من المثلثين 30-60-90 و45-45-90. ومع زوايا المحاور $0°$ و $90°$ و $180°$ و $270°$ تولّد النقاط الست عشرة المألوفة على دائرة الوحدة.

الزوايا المرجعية وإشارات الأرباع

لكل زاوية زاوية مرجعية: وهي الزاوية الحادة بين ضلع انتهائها ومحور $x$ . وإحداثيات الزاوية لها مقدار إحداثيات زاويتها المرجعية نفسه؛ ولا يتغير مع الربع إلا الإشارات. ففي الربع الأول يكون كلاهما موجبًا، وفي الثاني يكون الجيب وحده موجبًا، وفي الثالث يكون الظل وحده موجبًا، وفي الرابع يكون جيب التمام وحده موجبًا. لذا فإن $\frac{5\pi}{4}$ ، وهي $225°$ في الربع الثالث بزاوية مرجعية $45°$ ، تعطي $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ .

أما الزوايا الأكبر من دورة كاملة أو الزوايا السالبة فتُردّ أولًا بإضافة $360°$ أو طرحها. فالحاسبة تردّ $765°$ إلى $45°$ ، وتعامل $-30°$ على أنها $330°$ في الربع الرابع، حيث النقطة $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ .

القيم غير المعرّفة والزوايا غير الخاصة

يقسم الظل والقاطع على جيب التمام، لذا يكونان غير معرّفين حيث يكون ضلع الانتهاء رأسيًا، عند $90°$ و $270°$ . ويقسم ظل التمام وقاطع التمام على الجيب فيكونان غير معرّفين عند $0°$ و $180°$ . وتذكر الحاسبة هذه الحالات صراحةً بدلًا من طباعة عدد لا معنى له.

معظم الزوايا، مثل $20°$ ، ليس لها صورة جذرية بسيطة. ولهذه تعطي الحاسبة قيمًا عشرية، مع استخدام الربع والزاوية المرجعية أيضًا لترى سبب ظهور الإشارات كما هي.

أخطاء شائعة

الخلط بين الإحداثيين: جيب التمام هو الإحداثي $x$ والجيب هو الإحداثي $y$ .
استخدام وضع الدرجات لزاوية مكتوبة بـ $\pi$ ، أو وضع الراديان لزاوية بالدرجات.
قياس الزاوية المرجعية من محور $y$ بدلًا من محور $x$ .
تطبيق إشارة ربع خاطئة؛ تذكّر الدوال الموجبة في كل ربع.
كتابة $\tan 90°$ عددًا كبيرًا بدلًا من أنها غير معرّفة.

نصائح

احفظ قيم $30°$ و $45°$ و $60°$ ؛ فكل ما عداها يُستنتج بالتماثل.
عُدّ بمضاعفات $\frac{\pi}{6}$ و $\frac{\pi}{4}$ لتحدد مواضع الزوايا بالراديان بسرعة.
أنطِق المقام عند الحاجة: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
تحقق من النتائج باستخدام $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
استخدم حاسبة المتطابقات المثلثية لإثبات العلاقات بين هذه الدوال.

الأسئلة الشائعة

ما إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة؟

للزاوية θ تكون النقطة (cos θ, sin θ). فالإحداثي x هو جيب التمام، والإحداثي y هو الجيب.

كيف أجد الزاوية المرجعية؟

ردّ الزاوية إلى ما بين 0° و360°، ثم قِس الزاوية الحادة حتى محور x: وهي θ في الربع الأول، و180° − θ في الثاني، وθ − 180° في الثالث، و360° − θ في الرابع.

هل يمكنني إدخال الزوايا بالراديان؟

نعم. اختر الراديان واكتب عبارات مثل pi/3 أو 5pi/4. وتحوّل الحاسبة بين الراديان والدرجات في الخطوات.

لماذا يكون tan 90° غير معرّف؟

الظل هو الجيب مقسومًا على جيب التمام، وcos 90° = 0. والقسمة على صفر غير معرّفة، لذا ليس لـ tan 90° ولا لـ sec 90° قيمة.

هل تتعامل الحاسبة مع الزوايا السالبة والزوايا الأكبر من 360°؟

نعم. فهي تردّها إلى زاوية مكافئة ضمن دورة واحدة. فمثلًا تُردّ 765° إلى 45°، وتُعامل −30° على أنها 330°.

ماذا يحدث مع الزوايا غير الخاصة؟

للزوايا مثل 20° لا توجد صورة دقيقة بسيطة، لذا تعرض الحاسبة قيمًا عشرية مع شرح الربع والزاوية المرجعية.

ما الدوال المثلثية الموجبة في كل ربع؟

كلها موجبة في الربع الأول، والجيب وقاطع التمام في الثاني، والظل وظل التمام في الثالث، وجيب التمام والقاطع في الرابع.

ماذا تعني قاعدة «الكل، الجيب، الظل، جيب التمام»؟

هي طريقة لتذكّر إشارات الأرباع، تُقرأ عكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من الربع الأول: الدوال كلها موجبة في الأول، والجيب في الثاني، والظل في الثالث، وجيب التمام في الرابع. وتذكرها الحاسبة في خطوة تحديد الربع لتربط كل إشارة بربعها.

أوجد القيم المثلثية الدقيقة

أدخل أي زاوية في الأعلى لترى نقطتها على دائرة الوحدة، وزاويتها المرجعية، وقيم الدوال المثلثية الست كلها.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة دائرة الوحدة