قانون الجيوب، بما في ذلك الحالة الملتبسة

الصيغة واصطلاح التسمية

سمِّ زوايا المثلث $A$ و$B$ و$C$، وسمِّ الأضلاع المقابلة لها $a$ و$b$ و$c$ على الترتيب. والضلع المقابل لزاوية هو الضلع الذي لا يلامسها. وبهذا الاصطلاح ينصّ قانون الجيوب على:

هنا $R$ نصف قطر الدائرة المارّة بالرؤوس الثلاثة، وتُسمّى الدائرة المحيطة. ولا تستخدم أبدًا إلا كسرين من الكسور الثلاثة في آنٍ واحد، فالقانون في الحقيقة تناسب بين ضلع وزاويته المقابلة وضلع آخر وزاويته المقابلة. ويمكن كتابته مقلوبًا أيضًا، $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$، وهذا أنسب حين يكون المجهول زاوية.

يصلح القانون لكل مثلث، لا للمثلثات القائمة فقط، ولهذا ينتمي إلى ما يُسمّى غالبًا حساب مثلثات المثلثات غير القائمة. وفي مثلث قائم فيه $C = 90^\circ$ يؤول إلى العلاقة المألوفة $\sin A = \frac{a}{c}$، لأن $\sin 90^\circ = 1$.

لماذا يصحّ قانون الجيوب

أسقِط عمودًا من الرأس $C$ على الضلع $c$ وسمِّ طوله $h$. فينقسم المثلث إلى مثلثين قائمين. في المثلث الذي يحوي الزاوية $A$ يكون الوتر $b$، إذن $h = b\sin A$. وفي المثلث الذي يحوي الزاوية $B$ يكون الوتر $a$، إذن $h = a\sin B$.

العبارتان تساويان الارتفاع نفسه، إذن $b\sin A = a\sin B$. وقسمة الطرفين على $\sin A\sin B$ تعطي $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. وتكرار الحجة بالارتفاع النازل من رأس آخر يُدخل الضلع $c$. وإن كانت الزاوية $A$ منفرجة يقع موقع العمود خارج المثلث، لكن المعادلات نفسها تبقى صحيحة لأن $\sin(180^\circ - A) = \sin A$.

والارتفاع نفسه يعطي صيغة المساحة. فالمساحة نصف القاعدة مضروبًا في الارتفاع، فإذا كانت القاعدة $c$ والارتفاع $b\sin A$:

مثلًا، المثلث الذي ضلعاه 8 و11 ويلتقيان بزاوية $50^\circ$ مساحته $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ وحدة مربعة.

متى تستخدمه: «زاوية-زاوية-ضلع» و«زاوية-ضلع-زاوية»

يحتاج قانون الجيوب إلى زوج كامل واحد على الأقل: ضلع مع الزاوية المقابلة له. وإن عرفت زاويتين فأنت تعرف الثالثة، لأن مجموع زوايا المثلث $180^\circ$. لذا فأي مسألة تعطي زاويتين وضلعًا واحدًا يمكن إكمالها بقانون الجيوب. وتُسمّى هاتان الحالتان «زاوية-زاوية-ضلع» و«زاوية-ضلع-زاوية».

استخدم الضلع المعطى في كل حساب بدلًا من ضلع حسبته وقرّبته. فهذا يمنع تراكم أخطاء التقريب.

الحالة الملتبسة (ضلع-ضلع-زاوية)

حين تعرف ضلعين وزاوية مقابلة لأحدهما، فقد لا تصف المعطيات أي مثلث، أو تصف مثلثًا واحدًا بالضبط، أو مثلثين مختلفين. والسبب أن جيب الزاوية الحادة يساوي جيب مكمّلتها، فحلّ $\sin B = k$ يعطي زاويتين مرشّحتين، $B$ و$180^\circ - B$، وقد تصلح كلتاهما.

افترض أن الزاوية $A$ حادة، وأن $a$ الضلع المقابل لها و$b$ الضلع المعلوم الآخر. احسب الارتفاع $h = b\sin A$. عندئذ:

• إذا كان $a < h$، فالضلع أقصر من أن يبلغ القاعدة: لا مثلث.
• إذا كان $a = h$، فهو يبلغها بالكاد: مثلث قائم واحد.
• إذا كان $h < a < b$، فيمكنه أن يتأرجح إلى موضعين: مثلثان.
• إذا كان $a \ge b$، فلا يصلح إلا موضع واحد: مثلث واحد.

وإذا كانت $A$ منفرجة، فهناك مثلث واحد حين $a > b$ ولا مثلث في غير ذلك، لأن الضلع المقابل للزاوية المنفرجة يجب أن يكون الأطول.

مسألة في المساحة

يستخدم المسّاحون قانون الجيوب لقياس مسافات لا يستطيعون قطعها مشيًا. نقطتان $P$ و$Q$ على إحدى ضفتي نهر، والمسافة بينهما 100 م. وعلى الضفة المقابلة شجرة $T$. والزاوية عند $P$ بين الضفة وخط النظر إلى الشجرة $52^\circ$، وعند $Q$ هي $71^\circ$.

وفكرة التثليث نفسها، مكرّرة عبر شبكات كبيرة من المثلثات، استُخدمت لرسم خرائط بلدان كاملة قبل وجود تحديد المواقع بالأقمار الصناعية، ولا تزال أساس الطريقة التي تقدّر بها أجهزة تحديد المواقع وشبكات الهواتف الموقع من الزوايا والمسافات.

قانون الجيوب أم قانون جيوب التمام؟

انظر إلى المعطيات. إن كان لديك ضلع وزاويته المقابلة، إضافة إلى معطى آخر، فاستخدم قانون الجيوب. وإن كان لديك ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (ضلع-زاوية-ضلع)، أو الأضلاع الثلاثة (ضلع-ضلع-ضلع)، فلا يتوفّر زوج كامل، فابدأ بـقانون جيوب التمام. وبعد تطبيق واحد لقانون جيوب التمام يصير لديك زوج عادةً، ويستطيع قانون الجيوب إتمام العمل، وإن كان الأسلم إيجاد أكبر زاوية أولًا بقانون جيوب التمام لتجنّب التباس معكوس الجيب.

وعملية القرار الكاملة، حالة بحالة، معروضة في دليلنا إلى حل المثلثات. أما قيم الزوايا نفسها، فتشرح دائرة الوحدة لماذا $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$، وهذا مصدر الحالة الملتبسة.

أخطاء شائعة

• إقران ضلع بزاوية لا تقابله. ارسم المثلث وسمِّ عناصره أولًا.
• نسيان الحل الثاني $180^\circ - B$ في حالة «ضلع-ضلع-زاوية».
• قبول حل ثانٍ يجعل مجموع الزوايا أكثر من $180^\circ$.
• استخدام الآلة الحاسبة في وضع الراديان مع زوايا بالدرجات.
• التقريب الشديد للزوايا الوسيطة، مما قد يغيّر الأضلاع النهائية تغييرًا ملحوظًا.

يكشف اختبار سريع للمعقولية معظم الأخطاء: يجب أن يقابل أطول ضلع أكبر زاوية، وأقصر ضلع أصغر زاوية. وتحلّ حاسبة قانون جيوب التمام أي مثلث من ثلاثة عناصر معلومة وتعرض الحلّين في الحالة الملتبسة، فتستطيع التحقق من عملك.

الأسئلة الشائعة