حاسبة قانون جيب التمام: حل المثلثات بضلعين وزاوية محصورة أو بثلاثة أضلاع

Q: متى أستخدم قانون جيب التمام؟

حين تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (ض ز ض) أو الأضلاع الثلاثة (ض ض ض). ففي هاتين الحالتين لا يُعرف أي ضلع مع الزاوية المقابلة له، فلا يمكن البدء بقانون الجيوب.

Q: كيف أجد زاوية باستخدام قانون جيب التمام؟

أعد ترتيبه إلى cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)، وعوّض بالأضلاع الثلاثة، ثم خذ معكوس جيب التمام.

Q: ما علاقة قانون جيب التمام بنظرية فيثاغورس؟

عندما تكون الزاوية C قائمة، أي 90°، يكون cos C مساويًا 0 وتصبح الصيغة c² = a² + b². فقانون جيب التمام هو الصورة العامة لأي مثلث.

Q: ماذا لو لم تكوّن أضلاعي الثلاثة مثلثًا؟

تتحقق الحاسبة من متباينة المثلث وتعرض خطأً إذا كان أحد الأضلاع مساويًا لمجموع الضلعين الآخرين أو أطول منه، كما في الأضلاع 1 و2 و5.

Q: هل نتائج المثلث دقيقة أم مقرّبة؟

حين يكون الضلع الثالث جذرًا تربيعيًا يُعرض بدقة، مثل √39 أو 2√19، مع قيمة عشرية. وتُعطى الزوايا بالدرجات في صورة عشرية.

Q: كيف تُحسب المساحة؟

بالصيغة: المساحة = ½ab sin C، باستخدام ضلعين والزاوية بينهما. وفي وضع ض ض ض تُحسب الزاوية أولًا.

Q: هل يمكن أن يعطي قانون جيب التمام مثلثين؟

لا. فمعطيات ض ز ض وض ض ض تحدد دائمًا مثلثًا واحدًا. أما الحالة الملتبسة ذات المثلثين الممكنين فلا تنشأ إلا مع معطيات ض ض ز وقانون الجيوب.

عن حاسبة قانون جيب التمام

يمكن حل المثلثات القائمة الزاوية بنظرية فيثاغورس وحساب المثلثات الأساسي، لكن معظم المثلثات في المساحة والملاحة والهندسة والفيزياء ليست فيها زاوية قائمة. ويوسّع قانون جيب التمام نظرية فيثاغورس لتشمل كل مثلث، وهو الأداة المناسبة حين تعرف ضلعين والزاوية بينهما، أو الأضلاع الثلاثة دون أي زاوية.

تتعامل هذه الحاسبة مع الحالتين. ففي وضع ضلعين وزاوية محصورة تجد الضلع الثالث، محتفظةً بجذر دقيق مثل $\sqrt{39}$ حين يوجد، ثم الزاويتين الباقيتين. وفي وضع الأضلاع الثلاثة تتحقق من أن الأضلاع يمكن أن تكوّن مثلثًا وتجد زواياه الثلاث كلها. وفي الوضعين تختم بحساب المساحة.

ما قانون جيب التمام؟

في مثلث أضلاعه $a$ و $b$ و $c$ المقابلة للزوايا $A$ و $B$ و $C$ على الترتيب، ينص قانون جيب التمام على أن $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . وتصح العلاقة نفسها لكل ضلع مع الزاوية المقابلة له.

عندما تكون $C = 90°$ فإن $\cos C = 0$ ، فتُختزل الصيغة إلى $c^2 = a^2 + b^2$ ، وهي نظرية فيثاغورس. أما الحد الإضافي $-2ab\cos C$ فيصحّح أثر الزاوية: فهو يُقصّر $c$ حين تكون $C$ حادة ويُطيله حين تكون $C$ منفرجة، لأن جيب تمام الزاوية المنفرجة سالب.

كيف تستخدم حاسبة قانون جيب التمام

اختر «ضلعان والزاوية المحصورة بينهما (ض ز ض)» أو «ثلاثة أضلاع (ض ض ض)».
أدخل الضلعين $a$ و $b$ .
في وضع ض ز ض أدخل الزاوية المحصورة $C$ بالدرجات؛ وفي وضع ض ض ض أدخل الضلع الثالث $c$ .
اضغط «حُلّ المثلث» لترى الضلع أو الزوايا المجهولة، ثم المساحة.
تحقق من النتيجة: يجب أن يكون مجموع الزوايا 180°، وأن تقابل الزاوية الكبرى الضلع الأطول.

الصيغ

قانون جيب التمام

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

الصيغة محلولة لإيجاد زاوية

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

مجموع الزوايا

A + B + C = 180^\circ

المساحة (ض ز ض)

K = \tfrac12 ab\sin C

مثال محلول: a = 5, b = 7, C = 60°

في المثال $a = 5$ و $b = 7$ والزاوية المحصورة $C = 60°$ . وبما أن $\cos 60° = \frac12$ ، تعطي الصيغة $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ ، إذن $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

ثم يجد المحرك الزاوية $A$ من قانون جيب التمام بعد إعادة ترتيبه، وهي نحو $43.898°$ ، والزاوية $B$ من مجموع الزوايا، وهي نحو $76.102°$ . والمساحة $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

كيف فهمنا مسألتك

ضلعان وزاوية محصورة: أوجد الضلع الثالث والزاويتين الباقيتين

الحل خطوة بخطوة

عوّض في c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
خذ الجذر التربيعي
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
أوجد الزاوية A بقانون جيب التمام بعد إعادة ترتيبه
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
مجموع زوايا المثلث 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
المساحة من ضلعين والزاوية المحصورة بينهما
$\text{المساحة} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

الصيغ المستخدمة

قانون جيب التمام
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
الحل بالنسبة إلى زاوية
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
المساحة
$\text{المساحة} = \tfrac12 ab\sin C$

أضلاع المثلث a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998 وزواياه A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. وهو مثلث حاد الزوايا مختلف الأضلاع، مساحته ≈ 15.155445 ومحيطه ≈ 18.244998.

التحقق

A + B + C = 180°.
صيغة هيرون تعطي المساحة نفسها: 15.155445.
نسب قانون الجيوب: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

شرح مفصّل

حل المثلث بضلعين وزاوية محصورة

إذا عُلم ضلعان والزاوية بينهما، أعطى قانون جيب التمام الضلع الثالث مباشرةً. ولا يوجد إلا مثلث واحد ممكن، فلا التباس. وبعد معرفة الأضلاع الثلاثة تعطي الصيغة المعاد ترتيبها كل زاوية بدورها. وتستخدم الحاسبة قانون جيب التمام لا قانون الجيوب لإيجاد الزاوية الثانية، لأن صيغة جيب التمام لا يمكن أن تخلط بين زاوية حادة ومكمّلتها المنفرجة.

والزوايا المحصورة المنفرجة تُعالج بالطريقة نفسها. فإذا كان $a = 4$ و $b = 6$ و $C = 120°$ ، فإن $\cos 120° = -\frac12$ ، ومن ثم $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ و $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ ، وهو أطول من كلا الضلعين المعلومين كما هو متوقع.

حل المثلث بثلاثة أضلاع

لا تكوّن ثلاثة أطوال مثلثًا إلا إذا كان مجموع كل اثنين منها أكبر من الثالث، وهذه هي متباينة المثلث. وتتحقق الحاسبة من ذلك أولًا: فالأضلاع 1 و2 و5 مرفوضة لأن $1 + 2 < 5$ . وللأضلاع الصالحة تحسب الزاوية $C$ ثم الزاوية $A$ ، وكلتاهما من الصيغة المعاد ترتيبها، وتجد $B$ من مجموع الزوايا. أدخل الضلع الأطول على أنه $c$ ، فتخبرك أول زاوية تُحسب هل المثلث حاد الزوايا أم قائم أم منفرج: فالأضلاع 3 و4 و5 تعطي $C = 90°$ .

قانون جيب التمام أم قانون الجيوب؟

استخدم قانون جيب التمام في حالتي ض ز ض وض ض ض، حيث لا يُعرف أي ضلع مع الزاوية المقابلة له. واستخدم قانون الجيوب في حالات ز ض ز وز ز ض وض ض ز، حيث يُعرف ضلع واحد على الأقل مع الزاوية المقابلة له. وقد يكون لحالة ض ض ز حلّان؛ أما حالتا قانون جيب التمام فلا يكون لهما ذلك أبدًا، ولهذا فهما نقطة البداية الأوثق حين يكون لك الخيار.

أخطاء شائعة

استخدام زاوية لا تقع بين الضلعين المعلومين في وضع ض ز ض.
نسيان المعامل 2 في $2ab\cos C$ .
ترك الآلة الحاسبة على وضع الراديان والزاوية بالدرجات.
طرح $2ab$ قبل ضربه في $\cos C$ ، وهذا يُخلّ بترتيب العمليات.
إغفال التحقق من متباينة المثلث والحصول على جيب تمام مستحيل أكبر من 1.

نصائح

سمِّ عناصر المثلث بحيث يكون الضلع المجهول $c$ والزاوية المعلومة $C$ .
الزاوية الكبرى تقابل دائمًا الضلع الأطول؛ استخدم ذلك للتحقق من إجابتك.
احتفظ بالقيم الدقيقة مثل $\sqrt{39}$ حتى الخطوة الأخيرة لتتجنب تراكم أخطاء التقريب.
استخدم حاسبة دائرة الوحدة لتتذكر القيم الدقيقة لجيب تمام الزوايا الخاصة.
في المثلثات القائمة، يكون قانون المسافة ونظرية فيثاغورس أسرع.

الأسئلة الشائعة

متى أستخدم قانون جيب التمام؟