كيف تحسب الانحراف المعياري (للعيّنة وللمجتمع)

ما الذي يقيسه الانحراف المعياري

يخبرك الوسط الحسابي بموقع مركز مجموعة البيانات، لكنه لا يخبرك بمدى تجمّع القيم حوله. وهنا يأتي دور الانحراف المعياري. فالانحراف المعياري الصغير يعني أن القيم قريبة من الوسط، والكبير يعني أنها مبعثرة على نطاق واسع. ويُقاس بوحدات البيانات نفسها، فانحراف معياري قدره 5 سم في الأطوال يعني أن الطول النموذجي يبعد نحو 5 سم عن المتوسط.

يتّبع الحساب منطقًا بسيطًا. قِس بُعد كل قيمة عن الوسط، ثم ربّع هذه المسافات حتى لا تلغي القيمُ التي فوق الوسط القيمَ التي تحته، ثم خذ متوسط المربعات، وأخيرًا خذ الجذر التربيعي للعودة إلى الوحدات الأصلية. وإذا احتجت إلى مراجعة الوسط الحسابي نفسه، فابدأ بمقال الوسط والوسيط والمنوال والانحراف المعياري.

الصيغتان

هناك صيغتان، بحسب ما إذا كانت بياناتك مجتمعًا كاملًا أو عيّنة مسحوبة من مجتمع أكبر:

الانحراف المعياري للمجتمع $\sigma$ يقسم على عدد القيم $N$. والانحراف المعياري للعيّنة $s$ يقسم على $n - 1$. والكمية تحت الجذر التربيعي هي التباين، ويُكتب $\sigma^2$ أو $s^2$. التباين مفيد نظريًا، لكن وحداته مربّعة، كالسنتيمترات المربعة، ولهذا يكون الانحراف المعياري هو الرقم الذي يُعلَن عادةً.

خمس خطوات محلولة يدويًا

الجدول الذي فيه أعمدة لـ $x$ و$x - \bar{x}$ و$(x - \bar{x})^2$ يُبقي العمل منظّمًا. ومن طرق التحقق المفيدة أن الانحرافات في العمود الثاني مجموعها صفر دائمًا. فإن لم يكن كذلك، فالوسط خاطئ، وكل ما بعده سيكون خاطئًا أيضًا.

لماذا نقسم على n ناقص 1 في العيّنة؟

حين تعمل مع عيّنة، فأنت لا تعرف الوسط الحقيقي للمجتمع، فتقيس الانحرافات عن وسط العيّنة بدلًا منه. ووسط العيّنة، بحكم طريقة بنائه، هو النقطة التي تجعل مجموع مربعات الانحرافات أصغر ما يمكن لتلك العيّنة بعينها. لذا تكون الانحرافات المقيسة عنه أصغر قليلًا، في المتوسط، مما لو قيست عن الوسط الحقيقي.

القسمة على $n - 1$ بدلًا من $n$ تصحّح ذلك، فتجعل تباين العيّنة تقديرًا غير متحيّز لتباين المجتمع. ويُسمّى هذا التعديل تصحيح بسل. ويمكن فهمه أيضًا من خلال درجات الحرية: فما إن تعرف الوسط و$n - 1$ من الانحرافات حتى يصبح الانحراف الأخير محدَّدًا حتمًا، لأن مجموعها يجب أن يكون صفرًا. فلا يحمل معلومات مستقلة إلا $n - 1$ من الانحرافات.

عمليًا، استخدم صيغة العيّنة ما لم تكن بياناتك تشمل فعلًا كل فرد في المجموعة التي تهمّك، كدرجات جميع طلاب صف واحد حين لا يهمّك إلا ذلك الصف.

صيغة مختصرة وجداول التكرار

توجد صيغة مكافئة جبريًا تُغني عن حساب كل انحراف على حدة:

لبيانات المثال 1، $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$، إذن $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$، كما سبق. الصيغة المختصرة سريعة يدويًا، لكن الحواسيب تتجنّبها مع الأعداد الكبيرة أو البالغة الدقة، لأن طرح عددين كبيرين متقاربين جدًا يُفقد الدقة.

تفسير النتيجة

للبيانات التي تتبع تقريبًا توزيعًا طبيعيًا على شكل جرس، تعطي القاعدة التجريبية قراءة ملموسة للانحراف المعياري: نحو 68 بالمئة من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من الوسط، ونحو 95 بالمئة ضمن انحرافين، ونحو 99.7 بالمئة ضمن ثلاثة. فإذا كان وسط أطوال البالغين في مجموعة 170 سم وانحرافها المعياري 8، فإن نحو 95 بالمئة من المجموعة تتراوح أطوالهم بين 154 و186 سم.

وللبيانات من أي شكل، تضمن متباينة تشيبيشيف مع ذلك أن 75 بالمئة على الأقل من القيم تقع ضمن انحرافين معياريين من الوسط، ونحو 89 بالمئة على الأقل ضمن ثلاثة. والتعبير عن بُعد قيمة واحدة عن الوسط بوحدات الانحراف المعياري يعطي الدرجة المعيارية لها، مما يتيح لك مقارنة قيم مقيسة بمقاييس مختلفة.

ويستجيب الانحراف المعياري أيضًا لتغيّرات البيانات بطريقة متوقّعة. فإضافة الثابت نفسه إلى كل قيمة تُزيح الوسط لكنها تترك الانحراف المعياري دون تغيير، لأن التشتّت هو نفسه. وضرب كل قيمة في ثابت يضرب الانحراف المعياري في القيمة المطلقة لذلك الثابت، فالتحويل من الأمتار إلى السنتيمترات يضربه في 100.

استخدام الآلة الحاسبة أو جداول البيانات

تعرض الآلات الحاسبة العلمية عادةً مفتاحين، يُرمز لهما غالبًا بـ $\sigma_x$ أو $\sigma_n$ لصيغة المجتمع، وبـ $s_x$ أو $\sigma_{n-1}$ لصيغة العيّنة. وفي برامج جداول البيانات مثل «إكسل» وجداول بيانات Google، تبقى أسماء الدوال بالإنجليزية: الدالة STDEV.P تحسب الانحراف المعياري للمجتمع، والدالة STDEV.S تحسبه للعيّنة، والدالة القديمة STDEV تعطي أيضًا قيمة العيّنة. واختيار الدالة الخاطئة هو أكثر أسباب اختلاف الإجابات شيوعًا.

تعرض حاسبة الانحراف المعياري الصيغتين معًا مع جدول الانحرافات كاملًا، وهو أمر مثالي لمراجعة الواجبات المحلولة يدويًا. وتضيف حاسبة الوسط والوسيط والمنوال الإحصاءات الموجزة الأخرى، وتستخدم حاسبة الدرجة المعيارية النتيجة لتحويل القيم المفردة إلى قيم معيارية.

مقارنة التشتّت عبر مقاييس مختلفة

يصعب مقارنة الانحرافات المعيارية حين تكون الأوساط مختلفة جدًا. فانحراف معياري قدره 2 كغ كبير بالنسبة إلى المواليد الجدد لكنه ضئيل بالنسبة إلى الفيلة البالغة. ويحلّ معامل الاختلاف هذه المشكلة بقسمة الانحراف المعياري على الوسط، ويُعبَّر عنه غالبًا بنسبة مئوية. فاستثماران متوسط عائدهما السنوي 6 و9 بالمئة وانحرافاهما المعياريان 3 و9 نقاط مئوية، معاملا اختلافهما 50 و100 بالمئة، فالثاني أكثر تقلّبًا بمرتين نسبةً إلى عائده المعتاد.

أخطاء شائعة

• نسيان تربيع الانحرافات، فتلغي القيم الموجبة والسالبة بعضها بعضًا ويصبح المجموع صفرًا.
• نسيان الجذر التربيعي الأخير وإعلان التباين بدلًا منه.
• الخلط بين صيغتي العيّنة والمجتمع، أو الضغط على مفتاح الآلة الحاسبة الخاطئ.
• تقريب الوسط تقريبًا كبيرًا قبل حساب الانحرافات، مما يضاعف خطأ التقريب.
• معاملة جدول التكرار كأن كل قيمة ظهرت مرة واحدة.

الأسئلة الشائعة