شرح التباديل والتوافيق

مبدأ العدّ الأساسي

تسأل مسائل العدّ عن عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها شيء ما. والأساس هو مبدأ العدّ الأساسي: إذا أمكن إجراء اختيار أول بـ $m$ من الطرق، واختيار ثانٍ مستقل بـ $n$ من الطرق، فيمكن إجراؤهما معًا بـ $m \times n$ من الطرق. وتمتد الفكرة إلى أي عدد من المراحل.

إذا كنت تملك 3 قمصان و4 سراويل و2 من أزواج الأحذية، فيمكنك تكوين $3 \times 4 \times 2 = 24$ طقمًا مختلفًا. والرمز السري المكوَّن من أربعة أرقام من 0 إلى 9، مع السماح بالتكرار، له $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10{,}000$ احتمال. وكل صيغة في هذا المقال اختصار لعملية الضرب هذه، لذا حين تبدو لك مسألة غير مألوفة، فالعودة إلى العدّ مرحلةً مرحلةً ملاذ آمن دائمًا.

المضروب

ترتيب كل الأشياء المتمايزة البالغ عددها $n$ في صف يعطي $n$ من الخيارات للموضع الأول، و$n - 1$ للثاني، وهكذا نزولًا إلى 1. ويُسمّى هذا الناتج مضروب $n$:

إذن $5! = 120$: يمكن صفّ خمسة كتب على رفّ بـ 120 ترتيبًا. وبالتعريف $0! = 1$، وهذا يُبقي الصيغ أدناه متّسقة، إذ توجد طريقة واحدة بالضبط لترتيب لا شيء. وينمو المضروب بسرعة مذهلة: $10! = 3{,}628{,}800$، ومجموعة أوراق لعب مخلوطة لها $52!$ ترتيبًا ممكنًا، وهو عدد من 68 خانة.

التباديل: الترتيب مهم

التبديلة ترتيب مرتّب لـ $r$ من الأشياء مختارة من $n$ من الأشياء المتمايزة. ولأن الترتيب مهم، فالترتيب أول-ثانٍ-ثالث يختلف عن ثالث-ثانٍ-أول. وعدد التباديل هو

ترتيب أشخاص حول طاولة دائرية حالة خاصة. فتدوير الجميع مقعدًا واحدًا يعطي الترتيب نفسه، لذا يمكن إجلاس $n$ من الأشخاص بـ $(n-1)!$ من الطرق المتمايزة. فلستة أشخاص حول طاولة مستديرة $5! = 120$ ترتيبًا، لا 720.

التوافيق: الترتيب غير مهم

التوفيقة اختيار لا يُحسب فيه إلا مَن هو ضمن المجموعة. فاختيار آنا وبن وكارا للجنة يعطي اللجنة نفسها بأي ترتيب. وكل مجموعة من $r$ من الأشياء تقابل $r!$ من التباديل، فنقسم عليها:

التوافيق متناظرة: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$، لأن اختيار 3 أشخاص لإدخالهم هو نفسه اختيار 5 لاستبعادهم. وهي أيضًا مداخل مثلث باسكال ومعاملات النشر الثنائي لـ $(a + b)^n$.

كيف تعرف أيهما تستخدم

اطرح سؤالًا واحدًا: إذا بادلت بين اثنين من العناصر المختارة، فهل أحصل على نتيجة مختلفة؟ إذا كان الجواب نعم، فالترتيب مهم وتحتاج إلى التباديل. وإذا كان لا، فاستخدم التوافيق.

• المراكز والتصنيفات وكلمات المرور ومخطّطات الجلوس والجداول الزمنية: تباديل.
• الفرق واللجان وأيدي الورق وتذاكر اليانصيب وإضافات البيتزا: توافيق.
• الأدوار داخل مجموعة، كرئيس وأمين صندوق، تجعل الترتيب مهمًا رغم أن الأشخاص يأتون من مجموعة واحدة.

تحقّق سريع: عدد التباديل يساوي دائمًا $r!$ مضروبًا في عدد التوافيق. فإن لم تحقّق إجابتاك هذه العلاقة، فإحداهما خاطئة.

العدّ مع التكرار والحروف المكرّرة

حين يجوز استخدام العناصر مرة أخرى، تتغيّر الصيغ. فعدد الاختيارات المرتّبة مع التكرار $n^r$، كما في مثال الرمز السري. أما الاختيارات غير المرتّبة مع التكرار، كاختيار 3 مغارف من المثلّجات من بين 5 نكهات مع جواز تكرار النكهة، فعددها

ترتيب حروف فيها تكرار يحتاج إلى تعديل إضافي واحد: اقسم على مضروب عدد مرات تكرار كل حرف، لأن تبديل حروف متطابقة لا يغيّر شيئًا. فاسم نهر المسيسيبي بتهجئته الإنجليزية فيه 11 حرفًا، منها الحرف I مكرّرًا 4 مرات، والحرف S مكرّرًا 4 مرات، والحرف P مكرّرًا 2 من المرات، فله $\frac{11!}{4!\,4!\,2!} = 34{,}650$ ترتيبًا متمايزًا.

استخدام العدّ لإيجاد الاحتمالات

حين تكون النواتج متساوية الترجيح، يكون الاحتمال عدد النواتج المواتية مقسومًا على عدد كل النواتج، فتقوم التباديل والتوافيق بمعظم العمل. وأساسيات هذه النسبة مشروحة في مقال أساسيات الاحتمالات.

تقدّم ألعاب الورق مزيدًا من التدريب. فهناك $\binom{52}{5} = 2{,}598{,}960$ يدًا ممكنة من خمس أوراق. واليد التي تحوي الآسات الأربعة كلها تحتاج إلى ورقة واحدة أخرى فقط، تُختار من الـ 48 الأخرى، فالاحتمال $\frac{48}{2{,}598{,}960} = \frac{1}{54{,}145}$.

أخطاء شائعة

• استخدام التباديل لفريق أو لجنة، مما يضخّم العدّ بمعامل $r!$.
• نسيان أن $0! = 1$، مما يُفسد صيغًا مثل $\binom{n}{n}$.
• تجاهل العناصر المتطابقة، كما في ترتيبات الحروف المكرّرة.
• ضرب مراحل غير مستقلة دون تعديل الأعداد اللاحقة.

تحسب حاسبة التباديل والتوافيق قيمتي ${}_nP_r$ و${}_nC_r$ مع عرض خطوات المضروب، وتحوّل حاسبة الاحتمالات هذه الأعداد إلى احتمالات.

مثلث باسكال والمجموعات الجزئية

كل مدخل في مثلث باسكال هو مجموع المدخلين اللذين فوقه، والصف $n$ يسرد القيم $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$. فالصف 4 هو 1، 4، 6، 4، 1، وهي بالضبط معاملات $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$. والقاعدة التي تبني المثلث هي نفسها حقيقة عدّية:

لترى السبب، ثبّت عنصرًا معيّنًا. فكل اختيار لـ $r$ من العناصر إما أن يتضمّنه، فيبقى $r - 1$ للاختيار من الـ $n - 1$ الأخرى، وإما أن يستبعده، فتبقى كل الـ $r$ للاختيار من الـ $n - 1$ الأخرى. وجمع صف كامل يعطي $2^n$، أي العدد الكلي للمجموعات الجزئية لمجموعة من $n$ من العناصر، لأن كل عنصر إما داخلها وإما خارجها. لذا يستطيع مطعم بيتزا لديه 8 إضافات أن يصنع $2^8 = 256$ بيتزا مختلفة، بما فيها البيتزا السادة.

مسائل للتدريب

1. بكم طريقة يمكن ترتيب 4 من 7 كتب مختلفة على رفّ؟ الإجابة: ${}_7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.
2. بكم طريقة يمكنك اختيار 4 إضافات من 10؟ الإجابة: $\binom{10}{4} = 210$.
3. كم ترتيبًا متمايزًا للحروف A وA وA وN وN وB؟ الإجابة: $\frac{6!}{3!\,2!} = 60$.
4. كم رمزًا من خمسة حروف يمكن تكوينه من 26 حرفًا إذا جاز التكرار؟ الإجابة: $26^5 = 11{,}881{,}376$.

الأسئلة الشائعة