أساسيات الاحتمالات: مقدّمة عملية

النواتج والأحداث ومقياس الاحتمال

يبدأ الاحتمال بتجربة، كرمي حجر نرد، وبفضاء العيّنة الخاص بها، أي مجموعة كل النواتج الممكنة. ولرمية واحدة لحجر نرد عادي يكون فضاء العيّنة $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. والحدث هو أي مجموعة من النواتج، كظهور عدد زوجي، وهو المجموعة $\{2, 4, 6\}$.

كل احتمال يقع بين 0 و1. فالاحتمال 0 يعني أن الحدث لا يمكن أن يقع، و1 يعني أنه مؤكّد، و0.5 يعني أن وقوعه وعدم وقوعه متساويان في الترجيح. ويمكن كتابة الاحتمالات كسورًا عادية أو عشرية أو نسبًا مئوية، فـ $\frac{1}{4}$ و0.25 و25 بالمئة كلها تعني الشيء نفسه. وحين تكون كل النواتج متساوية الترجيح، يكون احتمال الحدث نسبة بسيطة:

فاحتمال ظهور عدد زوجي هو $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. ومع حجري نرد هناك $6 \times 6 = 36$ ناتجًا مرتّبًا متساوية الترجيح، ستة منها تعطي مجموعًا قدره 7، وهي (1,6) و(2,5) و(3,4) و(4,3) و(5,2) و(6,1)، إذن $P(\text{المجموع} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. وعدّ النواتج في المسائل الأكبر يستخدم أساليب مقال التباديل والتوافيق.

قاعدة المتمّمة

متمّمة الحدث $A$ هي كل ما ليس في $A$. وبما أن أحدهما لا بدّ أن يقع، فمجموع احتماليهما 1:

كلما قال السؤال «واحد على الأقل»، جرّب المتمّمة أولًا. فهي تحوّل الحساب الطويل إلى حساب قصير في أغلب الأحيان.

قاعدة الجمع: A أو B

احتمال وقوع $A$ أو $B$، أو كليهما، يُوجد بجمع احتماليهما وطرح التداخل، الذي كان سيُعدّ مرتين لولا ذلك:

عند سحب ورقة واحدة من مجموعة أوراق لعب عادية من 52 ورقة، يكون احتمال سحب ورقة قلوب أو ملك هو $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$، لأن ملك القلوب ينتمي إلى المجموعتين. والأحداث التي لا يمكن أن تقع معًا، كظهور 2 وظهور 5 في رمية واحدة، أحداث متنافية. تداخلها صفر، فتُجمع احتمالاتها ببساطة.

قاعدة الضرب: A و B

يكون الحدثان مستقلَّين حين لا تغيّر نتيجة أحدهما احتمال الآخر، كما في رميات قطعة نقود منفصلة. وللأحداث المستقلة، اضرب:

لذا فاحتمال ظهور الصورة مرتين في رميتين هو $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. وحين تكون الأحداث غير مستقلة، يجب أن يعكس الاحتمال الثاني ما وقع بالفعل. فعند سحب ورقتين دون إرجاع، يكون احتمال أن تكون كلتاهما آسًا $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$، لأنه بعد إزالة آس واحد لا يبقى إلا 3 آسات بين 51 ورقة.

الاحتمال الشرطي ومبرهنة بايز

الاحتمال الشرطي هو احتمال $A$ علمًا بأن $B$ قد وقع، ويُكتب $P(A \mid B)$. فمعرفة $B$ تقلّص فضاء العيّنة إلى $B$ وحده:

تعكس مبرهنة بايز الاحتمال الشرطي، فتحوّل $P(B \mid A)$ إلى $P(A \mid B)$. وأشهر تطبيقاتها يبيّن لماذا قد تكون نتيجة الفحص الطبي الإيجابية أقل إثارة للقلق مما تبدو.

القيمة المتوقّعة

القيمة المتوقّعة للعبة أو لكمية عشوائية هي متوسط النتيجة على المدى الطويل، وتُوجد بضرب كل ناتج في احتماله والجمع:

لنفترض أن لعبة تدفع لك 10 دولارات إذا أظهر حجر النرد ستّة، وتكلّفك 2 دولار في غير ذلك. القيمة المتوقّعة $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$، فاللعبة عادلة: على مدى جولات كثيرة تتوقّع ألا تربح ولا تخسر. وتُصمَّم ألعاب الكازينو بقيمة متوقّعة سالبة قليلًا للاعب، وبذلك تربح الكازينوهات عبر ملايين الرهانات حتى لو فاز بعض اللاعبين أحيانًا. والتأمين يعمل بالمبدأ نفسه من الجهة الأخرى: إذ تجمع شركة التأمين من الأقساط أكثر قليلًا مما تتوقّع دفعه في التعويضات.

أفخاخ شائعة

• مغالطة المقامر: بعد خمس نتائج حمراء متتالية على عجلة روليت عادلة، لا يصبح الأسود «مستحقًّا». فكل دورة مستقلة، والاحتمال لا يتغيّر.
• جمع احتمالات أحداث متداخلة دون طرح التداخل، مما قد يُنتج احتمالات أكبر من 1.
• ضرب احتمالات أحداث غير مستقلة.
• الخلط بين $P(A \mid B)$ و$P(B \mid A)$، كما في مثال الفحص الطبي.
• التقليل من شأن المصادفات: في مجموعة من 23 شخصًا فقط، يبلغ احتمال أن يشترك اثنان في يوم الميلاد نحو 50.7 بالمئة.

يفسّر قانون الأعداد الكبيرة ما يعِد به الاحتمال فعلًا: فعند تكرار تجربة مرات كثيرة، تستقرّ نسبة مرات وقوع الحدث قريبًا من احتماله. لكنه لا يعِد بشيء بشأن أي سلسلة قصيرة من النتائج. وتعالج حاسبة الاحتمالات الأحداث المفردة والمركّبة والشرطية مع الخطوات، وتعدّ حاسبة التباديل والتوافيق النواتج التي تحتاج إليها كثير من مسائل الاحتمالات.

المخطّطات الشجرية للمسائل متعدّدة المراحل

حين تجري التجربة على مراحل، يتتبّع المخطّط الشجري كل مسار. يُعلَّم كل فرع باحتماله، وتضرب على امتداد المسار للحصول على احتمال ذلك التسلسل كاملًا، وتجمع المسارات التي تكوّن الحدث المطلوب.

تجعل المخطّطات الشجرية قاعدة الضرب مرئية، وتبيّن بوضوح أين تتغيّر الاحتمالات بين المراحل. وهي أيضًا أوثق طريقة لإعداد مسألة على مبرهنة بايز، لأن كل فرع في المرحلة الثانية احتمال شرطي.

الأسئلة الشائعة