حاسبة الدرجة المعيارية z: المئينات واحتمالات التوزيع الطبيعي

عن حاسبة الدرجة المعيارية z

تخبرك الدرجة المعيارية بمدى بُعد قيمة عن المتوسط، مقيسًا بالانحرافات المعيارية. فهي تحوّل درجات اختبارات مختلفة، أو أطوالًا من مجتمعات مختلفة، أو قياسات بوحدات مختلفة إلى مقياس مشترك واحد، فتستطيع مقارنتها مباشرةً ومعرفة مدى ندرتها.

تؤدي هذه الحاسبة المهام الست المتعلقة بالدرجة المعيارية التي تظهر في مقررات الإحصاء: حساب $z$ من قيمة خام، واسترجاع القيمة الخام من $z$ ، وإيجاد المساحة إلى يسار $z$ أو يمينها، وإيجاد المساحة بين درجتين معياريتين، وإيجاد الدرجة المعيارية لمئين معيّن. تُحسب المساحات من التوزيع الطبيعي المعياري مباشرةً، فلا حاجة إلى قراءة جدول.

ما الدرجة المعيارية z؟

لقيمة $x$ من مجتمع متوسطه $\mu$ وانحرافه المعياري $\sigma$ ، تكون الدرجة المعيارية $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . الدرجة المعيارية 0 تعني أن القيمة تساوي المتوسط، والموجبة تعني أنها فوق المتوسط، والسالبة تعني أنها تحته.

إذا كانت البيانات تتبع توزيعًا طبيعيًا، فإن الدرجة المعيارية تخبرك أيضًا بالمئين. فالمساحة تحت المنحنى الطبيعي المعياري إلى يسار $z$ ، وتُكتب $\Phi(z)$ ، هي نسبة القيم الأقل من $x$ .

كيف تستخدم حاسبة الدرجة المعيارية z

اختر الحساب: الدرجة المعيارية من x، أو القيمة الخام من z، أو المساحة إلى اليسار، أو المساحة إلى اليمين، أو المساحة بين درجتين، أو الدرجة المعيارية لمئين.
أدخل ما يطلبه الوضع: «القيمة x» و«المتوسط μ» و«الانحراف المعياري σ»، أو درجة معيارية واحدة أو اثنتين، أو مئينًا.
يمكن إدخال المئينات عددًا عشريًا مثل 0.95 أو نسبة مئوية مثل 95%.
اضغط «احسب».
اقرأ الدرجة المعيارية أو المساحة، وتفسيرها بالمئين.

الصيغ

الدرجة المعيارية

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

القيمة الخام من z

x = \mu + z\sigma

المساحة إلى اليمين

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

المساحة بين درجتين

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

مثال محلول: x = 85, μ = 70, σ = 10

يأخذ المثال درجة اختبار $x = 85$ في صف متوسطه $\mu = 70$ وانحرافه المعياري $\sigma = 10$ . طرح المتوسط يعطي 15، والقسمة على الانحراف المعياري تعطي $z = 1.5$ : فالدرجة أعلى من المتوسط بانحراف معياري ونصف.

المساحة إلى يسار $z = 1.5$ نحو 0.9332، فإذا كانت الدرجات موزّعة توزيعًا طبيعيًا فقد تفوّق الطالب على نحو 93.32% من الصف.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

z = 1.5

كيف فهمنا مسألتك

الدرجة المعيارية من x والوسط الحسابي والانحراف المعياري

الحل خطوة بخطوة

اطرح الوسط الحسابي من القيمة
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
اقسم على الانحراف المعياري
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
أوجد المساحة إلى اليسار (المئين)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

الصيغ المستخدمة

الدرجة المعيارية
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
دالة التوزيع التراكمي الطبيعية المعيارية
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

تقع 85 على بُعد 1.5 انحرافًا معياريًا فوق الوسط الحسابي؛ ونحو 93.32% من مجتمع طبيعي يقع تحتها.

التحقق

عكسيًا: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

شرح مفصّل

قراءة المساحات تحت المنحنى الطبيعي

المساحة الكلية تحت المنحنى الطبيعي المعياري تساوي 1، والمنحنى متماثل حول 0. المساحة إلى يسار $z = 1.25$ نحو 0.8944، والمساحة إلى يمين $z = 1.96$ نحو 0.025، ولهذا يظهر 1.96 في فترات الثقة بمستوى 95%. والمساحة بين $-1$ و $1$ نحو 0.6827.

هذه المساحات تعطي القاعدة التجريبية: نحو 68% من القيم الموزّعة طبيعيًا تقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، ونحو 95% ضمن انحرافين، ونحو 99.7% ضمن ثلاثة.

الاتجاه العكسي: من المئين إلى z

يحل الوضع العكسي $\Phi(z) = p$ . فللمئين 95 يعطي $z \approx 1.645$ . اجمع هذا مع $x = \mu + z\sigma$ لتجد القيمة الفاصلة: مع متوسط 70 وانحراف معياري 10، يكون المئين 95 نحو $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ .

يؤدي وضع القيمة الخام هذه الخطوة الثانية مباشرةً. فإدخال $z = 1.5$ مع المتوسط والانحراف المعياري نفسيهما يعطي $x = 85$ ، فيعكس المثال الأصلي.

مقارنة القيم على مقاييس مختلفة

لنفترض أن طالبًا حصل على 85 في اختبار متوسطه 70 وانحرافه المعياري 10، وحصل آخر على 620 في اختبار متوسطه 500 وانحرافه المعياري 100. درجتاهما المعياريتان 1.5 و1.2، فالأداء الأول أقوى نسبيًا، مع أن 620 يبدو العدد الأكبر.

تكشف الدرجات المعيارية أيضًا القيم المتطرفة: فالقيم التي تحقق $|z| > 3$ نادرة في النموذج الطبيعي وتستحق نظرة ثانية. وتذكّر أن تفسيرات المئين تعتمد على كون البيانات طبيعية تقريبًا؛ ففي البيانات شديدة الالتواء تظل الدرجة المعيارية تقيس البُعد عن المتوسط، لكن قراءة المساحة قد تكون مضلّلة.

أخطاء شائعة

الطرح بالترتيب الخطأ؛ فهو القيمة ناقص المتوسط، لا المتوسط ناقص القيمة.
القسمة على التباين بدلًا من الانحراف المعياري.
ذكر المساحة إلى اليسار عندما يطلب السؤال احتمال تجاوز قيمة.
إدخال مئين مثل 95 بدلًا من 95% أو 0.95.
تطبيق مئينات المنحنى الطبيعي على بيانات من الواضح أنها ليست طبيعية.

نصائح

ارسم منحنى الجرس وظلّل المنطقة التي تحتاجها قبل الحساب.
استفد من التماثل: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
احفظ القيم المرجعية 1.645 و1.96 و2.576 لفترات الثقة ذات الطرفين بمستويات 90% و95% و99%.
استخدم حاسبة الانحراف المعياري أولًا إذا لم تكن لديك سوى بيانات خام.
قرّب الدرجات المعيارية إلى منزلتين عشريتين في النهاية فقط.

الأسئلة الشائعة

كيف تُحسب الدرجة المعيارية؟

اطرح المتوسط من القيمة واقسم على الانحراف المعياري: z = (x − μ) ÷ σ. فعندما x = 85 وμ = 70 وσ = 10 يكون z = 1.5.

ماذا تعني الدرجة المعيارية السالبة؟

أن القيمة أقل من المتوسط. فالدرجة المعيارية −2 تعني أن القيمة أقل من المتوسط بانحرافين معياريين.

كيف أحوّل الدرجة المعيارية إلى مئين؟

أوجد المساحة تحت المنحنى الطبيعي المعياري إلى يسار z. فعندما z = 1.5 تكون المساحة نحو 0.9332، أي المئين 93.

كيف أجد الدرجة المعيارية لمئين معيّن؟

اختر الوضع العكسي وأدخل المئين، مثل 95%. فتعطي الحاسبة z ≈ 1.645.

ما الدرجة المعيارية الجيدة؟

يعتمد ذلك على السياق. القيم بين −1 و1 معتادة، والقيم التي تتجاوز ±2 غير معتادة، والتي تتجاوز ±3 نادرة في النموذج الطبيعي.

هل أحتاج إلى جدول z؟

لا. تحسب الحاسبة مساحات التوزيع الطبيعي مباشرةً، فتحصل على قيم أدق مما يوفّره جدول مطبوع.

لماذا ترفض الحاسبة انحرافًا معياريًا يساوي 0؟

القسمة على الصفر غير معرّفة، والانحراف المعياري 0 يعني أن كل قيمة تساوي المتوسط، فلا معنى للتحويل إلى درجات معيارية.

احسب درجتك المعيارية

أدخل القيمة والمتوسط والانحراف المعياري في الأعلى لترى الدرجة المعيارية والمئين مع كل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة الدرجة المعيارية z