حاسبة الانحراف المعياري: للعيّنة وللمجتمع

عن حاسبة الانحراف المعياري

يقيس الانحراف المعياري مدى تشتّت قيم البيانات حول وسطها الحسابي. الانحراف المعياري الصغير يعني أن القيم قريبة من المتوسط، والكبير يعني أنها متناثرة على نطاق واسع.

استخدم صيغة المجتمع عندما تشمل بياناتك كل أفراد المجموعة التي تهمّك، وصيغة العيّنة، التي تقسم على $n-1$ ، عندما تكون البيانات عيّنة تُستخدم لتقدير مجتمع أكبر.

ماذا يقيس الانحراف المعياري؟

يقيس الانحراف المعياري مدى تشتّت مجموعة من الأعداد حول وسطها الحسابي. الانحراف المعياري الصغير يعني أن القيم قريبة من المتوسط، والكبير يعني أنها متناثرة على نطاق واسع. قد يكون متوسط صفّين كليهما 70 في اختبار، لكن إذا كان الانحراف المعياري لأحدهما 3 وللآخر 15، فقد كان أداء المجموعة الأولى متقاربًا بينما تراوح أداء الثانية بين المتعثّر والممتاز.

يُحسب من الانحرافات، أي أبعاد القيم عن الوسط الحسابي. ومجموع هذه الانحرافات صفر دائمًا، لذا تُربَّع قبل حساب متوسطها، فنحصل على التباين. وأخذ الجذر التربيعي للتباين يعيد النتيجة إلى الوحدات الأصلية، فالانحراف المعياري لأطوال مقيسة بالسنتيمتر يكون هو نفسه بالسنتيمتر.

كيف تستخدم حاسبة الانحراف المعياري

أدخل الأعداد أو الصقها في خانة «مجموعة البيانات» مفصولة بفواصل أو مسافات أو أسطر جديدة.
اختر العيّنة أو المجتمع.
اضغط «احسب» لترى الوسط الحسابي والانحرافات المربّعة والتباين والانحراف المعياري.

الصيغ

الانحراف المعياري للمجتمع

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

الانحراف المعياري للعيّنة

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

التباين

\sigma^2,\ s^2 = (\text{الانحراف المعياري})^2

مثال محلول: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (عيّنة)

يعامل المثال المحلول القيم 4, 8, 6, 5, 3, 7 على أنها عيّنة. الوسط الحسابي $\frac{33}{6} = 5.5$ . والانحرافات $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ ، ومجموع مربعاتها 17.5. والقسمة على $n - 1 = 5$ تعطي تباين العيّنة 3.5، وجذره التربيعي هو الانحراف المعياري للعيّنة $s \approx 1.870828693$ . وللمقارنة، فإن معاملة الأعداد الستة نفسها على أنها مجتمع كامل تقسم على 6 بدلًا من ذلك وتعطي $\sigma \approx 1.707825128$ .

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

s = 1.870828693

كيف فهمنا مسألتك

اعتبر البيانات عيّنة من مجتمع أكبر (تصحيح بيسل، القسمة على n − 1)).

الحل خطوة بخطوة

أوجد الوسط الحسابي
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
ربّع كل انحراف عن الوسط الحسابي
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
اجمع مربعات الانحرافات
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
اقسم على n − 1 لتحصل على تباين العيّنة
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
خذ الجذر التربيعي
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

الصيغ المستخدمة

الانحراف المعياري للعيّنة
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
الانحراف المعياري للمجتمع
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

يقيس الانحراف المعياري مدى تشتّت القيم حول الوسط الحسابي. القيمة الصغيرة تعني أن البيانات متجمّعة قرب الوسط.

التحقق

التباين = 3.5، و1.870828693² = 3.5
الانحراف المعياري للمجتمع للمقارنة: 1.707825128

شرح مفصّل

العيّنة مقابل المجتمع عمليًا

لا تختلف الصيغتان إلا في المقسوم عليه، لكن الاختيار مهم في مجموعات البيانات الصغيرة. إذا كانت الأعداد تمثل كل أفراد المجموعة التي تهمّك، مثل درجات جميع الطلاب الـ 25 في صف واحد، فاستخدم صيغة المجتمع مع $N$ . وإذا كانت عيّنة تُستخدم لتقدير تشتّت مجموعة أكبر، مثل 25 طالبًا مختارين من مدرسة كاملة، فاستخدم صيغة العيّنة مع $n - 1$ . والمثال الثاني في الحاسبة، 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 بوصفها مجتمعًا، وسطه الحسابي 5 ومجموع انحرافاته المربّعة 32، لذا $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

تفسير العدد

في البيانات التي تأخذ تقريبًا شكل الجرس، تنص القاعدة التجريبية على أن نحو 68% من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من الوسط الحسابي، ونحو 95% ضمن انحرافين، ونحو 99.7% ضمن ثلاثة. لذلك تكون القيمة التي تبعد أكثر من انحرافين معياريين عن الوسط غير معتادة. وقسمة بُعد القيمة عن الوسط على الانحراف المعياري تعطي درجتها المعيارية، التي تتيح لك مقارنة نتائج مقيسة بمقاييس مختلفة، مثل درجة اختبار وزمن سباق.

الانحراف المعياري حساس للقيم المتطرفة لأن الانحرافات تُربَّع، فقد تضخّمه قيمة متطرفة واحدة كثيرًا. وفي البيانات شديدة الالتواء يكون المدى الربيعي غالبًا ملخصًا أفضل للتشتّت.

أخطاء شائعة

استخدام $n$ بدلًا من $n - 1$ للعيّنة، مما يقلّل تقدير التشتّت.
نسيان تربيع الانحرافات، فتلغي الموجبة منها السالبة ويصبح المجموع صفرًا.
ذكر التباين عندما يطلب السؤال الانحراف المعياري.
تقريب الوسط الحسابي قبل حساب الانحرافات، مما يزيح كل حد مربّع.
نسيان الجذر التربيعي الأخير وذكر التباين على أنه الانحراف المعياري.

نصائح

في البيانات التي تأخذ تقريبًا شكل الجرس، تقع نحو 68% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من الوسط الحسابي.
للانحراف المعياري وحدات البيانات نفسها، أما التباين فوحداته مربّعة.
إضافة ثابت إلى كل قيمة لا تغيّر الانحراف المعياري.
أضف ثابتًا إلى كل قيمة فلا يتغيّر الانحراف المعياري؛ واضرب كل قيمة في $k$ فيُضرب في $|k|$ .
استخدم حاسبة الدرجة المعيارية لترى كم تبعد قيمة واحدة عن الوسط الحسابي مقيسةً بالانحرافات المعيارية.

الأسئلة الشائعة

ما الانحراف المعياري؟

هو الجذر التربيعي لمتوسط مربعات الأبعاد عن الوسط الحسابي. ويخبرك كم تبعد القيمة النموذجية عن المتوسط.

هل أستخدم صيغة العيّنة أم صيغة المجتمع؟

استخدم صيغة المجتمع عندما تكون لديك بيانات المجموعة كلها. واستخدم صيغة العيّنة عندما تكون بياناتك جزءًا يُستخدم لوصف مجموعة أكبر؛ وهذه هي الحالة الأكثر شيوعًا.

لماذا تقسم صيغة العيّنة على n − 1؟

الوسط الحسابي للعيّنة أقرب إلى قيمها من الوسط الحقيقي، وهذا يصغّر الانحرافات. والقسمة على $n-1$ (تصحيح بيسل) تعوّض ذلك وتعطي تقديرًا غير متحيّز للتباين.

هل يمكن أن يكون الانحراف المعياري صفرًا؟

نعم، وذلك بالضبط عندما تكون كل القيم متساوية. ولا يمكن أن يكون سالبًا أبدًا.

كم قيمة أحتاج؟

تكفي قيمة واحدة للانحراف المعياري للمجتمع (ويكون 0). أما صيغة العيّنة فتحتاج إلى قيمتين على الأقل.

ما الفرق بين التباين والانحراف المعياري؟

التباين هو متوسط الانحرافات المربّعة، والانحراف المعياري جذره التربيعي، وهو ما يعيد المقياس إلى وحدات البيانات.

ما الانحراف المعياري الجيد أو المرتفع؟

لا يوجد حدّ عام؛ فالأمر يعتمد على مقياس البيانات. قارنه بالوسط الحسابي، أو استخدم معامل الاختلاف $\frac{s}{\bar x}$ ، لتحكم على ما إذا كان التشتّت كبيرًا مقارنةً بالقيم النموذجية.

كيف تؤثر القيمة المتطرفة في الانحراف المعياري؟

تأثيرًا قويًا، لأن كل انحراف يُربَّع. فاستبدال 70 بالقيمة 7 في المثال يرفع الانحراف المعياري للعيّنة من نحو 1.87 إلى أكثر من 26.

احسب الانحراف المعياري

الصق بياناتك في الأعلى واختر العيّنة أو المجتمع لترى التباين والانحراف المعياري مع كل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي