حاسبة الاحتمالات: الأحداث والاحتمال الشرطي وتوزيع ذي الحدّين

عن حاسبة الاحتمالات

يقيس الاحتمال مدى إمكان وقوع حدث على مقياس من 0 (مستحيل) إلى 1 (مؤكّد). ومعظم أسئلة الكتب المدرسية تندرج تحت أنماط قليلة: عدّ النواتج الملائمة، والجمع بين الأحداث المستقلة، والاشتراط على معلومات متوفرة لديك، وعدّ النجاحات في محاولات متكررة. وهذه الحاسبة تتعامل مع الأنماط الأربعة كلها.

يمكن أن تكون المُدخلات أعدادًا صحيحة للنواتج، أو أعدادًا عشرية مثل 0.25، أو كسورًا مثل 1/4، أو نسبًا مئوية مثل 25%. وحيثما أمكن تُعطى الإجابة كسرًا دقيقًا مع قيمتها العشرية ونسبتها المئوية، لتطابق الصيغة التي يتوقعها معلّمك أو كتابك. ويعرض كل وضع أيضًا الاحتمالات المتمّمة أو المرتبطة التي تطلبها الأسئلة عادةً بعد ذلك.

ما الاحتمال؟

عندما تكون كل نواتج التجربة متساوية الاحتمال، يكون احتمال الحدث $A$ هو عدد النواتج في $A$ مقسومًا على العدد الكلي للنواتج. لرمي حجرَي نرد 36 ناتجًا متساوي الاحتمال، ستة منها مجموعها 7، لذا $P(\text{المجموع} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

تخضع الاحتمالات لقواعد قليلة: فهي تقع بين 0 و1، واحتمال عدم وقوع $A$ هو $1 - P(A)$ ، واحتمال وقوع $A$ أو $B$ هو $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . ويُبنى الاحتمال الشرطي وتوزيع ذي الحدّين مباشرةً على هذه القواعد.

كيف تستخدم حاسبة الاحتمالات

اختر نوع المسألة: «حدث واحد (الملائمة ÷ الكلية)» أو «حدثان مستقلان A وB» أو «الاحتمال الشرطي P(A | B)» أو «ذو الحدين: k نجاحات في n محاولات».
للحدث الواحد، أدخل «النواتج الملائمة» و«عدد النواتج الكلي» المتساوية الاحتمال.
للأحداث المستقلة أدخل P(A) وP(B)؛ وللاحتمال الشرطي أدخل «P(A وB)» وP(B).
لمسألة ذي الحدّين، أدخل «عدد المحاولات n» و«احتمال النجاح p» و«عدد النجاحات k»، واختر ما إذا كنت تريد k تمامًا أو على الأكثر أو أقل من k أو على الأقل أو أكثر من k.
اضغط «احسب الاحتمال» واقرأ الإجابة الدقيقة والنسبة المئوية والخطوات الداعمة.

الصيغ

الاحتمال الكلاسيكي

P(A) = \frac{\text{النواتج الملائمة}}{\text{عدد النواتج الكلي}}

الأحداث المستقلة

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

الاحتمال الشرطي

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

احتمال ذي الحدّين

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

مثال محلول: حجرا نرد: P(المجموع 7) = 6/36

يسأل المثال عن احتمال أن يكون مجموع حجرَي نرد متوازنين 7. هناك 6 نواتج ملائمة، (1,6) و(2,5) و(3,4) و(4,3) و(5,2) و(6,1)، من أصل 36، لذا $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ ، أي نحو 16.67%.

وتعطي الحاسبة أيضًا الحدث المتمّم $1 - \frac16 = \frac56$ ، أي احتمال أي مجموع آخر، ونسبة الأرجحية لصالح الحدث $6 : 30$ ، التي تقارن النواتج الملائمة بغير الملائمة بدلًا من مقارنتها بالعدد الكلي.

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

كيف فهمنا مسألتك

حدث واحد (النواتج الملائمة ÷ عدد النواتج الكلي)

الحل خطوة بخطوة

اقسم عدد النواتج الملائمة على العدد الكلي للنواتج المتساوية الاحتمال
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
الحدث المتمّم: الحدث لا يقع
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
نسبة الأرجحية لصالح الحدث
$6 : 30$

الصيغ المستخدمة

الاحتمال الكلاسيكي
$P(A) = \frac{\text{النواتج الملائمة}}{\text{عدد النواتج الكلي}}$
الحدث المتمّم
$P(A') = 1 - P(A)$

يقع الحدث في 6 من أصل 36 ناتج متساوي الاحتمال، لذا احتماله 16.666667%؛ ولا يقع باحتمال 83.333333%.

شرح مفصّل

الأحداث المستقلة وقاعدة الجمع

تكون الأحداث مستقلة عندما لا تغيّر معرفة وقوع أحدها احتمال الآخر، مثل رميات منفصلة لقطعة نقود. وعندئذٍ يكون احتمال وقوعهما معًا حاصل ضرب الاحتمالين. فمع $P(A) = \frac12$ و $P(B) = 0.3$ يقع كلاهما باحتمال $0.15$ ، وواحد على الأقل باحتمال $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ ، وواحد فقط باحتمال $0.65 - 0.15 = 0.5$ ، ولا هذا ولا ذاك باحتمال $0.5 \times 0.7 = 0.35$ .

تتحقق الحاسبة من أن $P(A \cup B) + P(\text{لا هذا ولا ذاك}) = 1$ ، وهو اختبار مفيد للمعقولية لأن هاتين الحالتين معًا تغطيان كل النواتج.

الاحتمال الشرطي

يضيّق الاحتمال الشرطي فضاء العيّنة إلى النواتج التي وقع فيها $B$ ، ثم يسأل كم مرة يقع $A$ أيضًا داخل ذلك الفضاء الأصغر. إذا اشترى 12% من العملاء هاتفًا وغطاءً معًا واشترى 40% هاتفًا، فإن $P(\text{غطاء} \mid \text{هاتف}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ ، أي إن 30% من مشتري الهواتف يأخذون غطاءً أيضًا.

لا يمكن أن يتجاوز الاحتمال المشترك $P(B)$ ، ويجب أن يكون $P(B)$ موجبًا؛ وتبلّغ الحاسبة عن خطأ في أي من الحالتين. وتذكّر أن $P(A \mid B)$ و $P(B \mid A)$ مختلفان عادةً، وأن مبرهنة بايز هي الأداة التي تحوّل أحدهما إلى الآخر.

احتمال ذي الحدّين

تكرّر تجربة ذي الحدّين $n$ محاولة مستقلة، لكل منها احتمال النجاح نفسه $p$ . واحتمال $k$ نجاحًا بالضبط يضرب عدد طرق توزيع النجاحات، $\binom{n}{k}$ ، في احتمال أي ترتيب واحد من هذه الترتيبات. أما في حالات على الأكثر أو على الأقل أو أقل من أو أكثر من $k$ ، فتجمع الحاسبة الحدود المعنية وتذكر أيها جمعت.

فمثلًا، احتمال الحصول على 8 صور على الأقل في 10 رميات لقطعة نقود متوازنة هو $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ . وتذكر الحاسبة أيضًا الوسط $np$ والانحراف المعياري $\sqrt{np(1-p)}$ للتوزيع.

أخطاء شائعة

ضرب احتمالات أحداث غير مستقلة.
جمع $P(A)$ و $P(B)$ دون طرح التداخل، مما قد يعطي مجموعًا يتجاوز 1.
الخلط بين $P(A \mid B)$ و $P(B \mid A)$ .
عدّ نواتج غير متساوية الاحتمال، مثل اعتبار مجاميع حجرَي النرد من 2 إلى 12 متساوية الاحتمال.
الخلط بين نسبة الأرجحية والاحتمال؛ فنسبة الأرجحية 1 : 5 تقابل احتمالًا قدره $\frac16$ .

نصائح

استخدم الحدث المتمّم في أسئلة «واحد على الأقل»: فحساب $1 - P(\text{لا شيء})$ أسرع عادةً.
اكتب فضاء العيّنة أو ارسمه في المسائل الصغيرة قبل الحساب.
أدخل الاحتمالات كسورًا لتبقى الإجابة دقيقة.
تحقّق من أن كل إجابة تقع بين 0 و1.
استخدم حاسبة التباديل والتوافيق لعدّ النواتج قبل القسمة.

الأسئلة الشائعة

كيف أحسب احتمال حدث؟

اقسم عدد النواتج الملائمة على العدد الكلي للنواتج المتساوية الاحتمال. فلمجموع 7 بحجرَي نرد يكون ذلك 6 ÷ 36 = 1/6.

كيف أجد احتمال وقوع حدثين مستقلين معًا؟

اضرب احتماليهما. فمع P(A) = 0.5 وP(B) = 0.3 يقع كلاهما باحتمال 0.15.

ما الاحتمال الشرطي؟

احتمال A بشرط أن B قد وقع، P(A | B) = P(A وB) ÷ P(B). وهو يقصر الاهتمام على النواتج التي يقع فيها B.

متى أستخدم وضع ذي الحدّين؟

عندما يكون للتجربة عدد ثابت من المحاولات المستقلة، لكل منها ناتجان واحتمال النجاح نفسه، وتريد احتمال عدد معيّن من النجاحات.

هل يمكنني إدخال نسب مئوية أو كسور؟

نعم. يمكن كتابة الاحتمالات أعدادًا عشرية (0.25) أو كسورًا (1/4) أو نسبًا مئوية (25%). أما أعداد النواتج في وضع الحدث الواحد فيجب أن تكون أعدادًا صحيحة.

ما الفرق بين نسبة الأرجحية والاحتمال؟

يقارن الاحتمال النواتج الملائمة بكل النواتج، أما نسبة الأرجحية فتقارن النواتج الملائمة بغير الملائمة. فالاحتمال 1/6 يقابل نسبة أرجحية 1 : 5.

كيف أحسب «على الأقل» في مسألة ذي الحدّين؟

اختر «P(X ≥ k) على الأقل k». تجمع الحاسبة الاحتمالات من k حتى n وتعرض الحدود التي جمعتها.

احسب احتمالك

اختر نوع المسألة وأدخل القيم في الأعلى لترى الاحتمال الدقيق وكل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي

حاسبة الاحتمالات

عن حاسبة الاحتمالات

ما الاحتمال؟

كيف تستخدم حاسبة الاحتمالات

الصيغ

الاحتمال الكلاسيكي

الأحداث المستقلة

الاحتمال الشرطي

احتمال ذي الحدّين

مثال محلول: حجرا نرد: P(المجموع 7) = 6/36

الإجابة النهائية

كيف فهمنا مسألتك

الحل خطوة بخطوة

الصيغ المستخدمة

شرح مفصّل

الأحداث المستقلة وقاعدة الجمع

الاحتمال الشرطي

احتمال ذي الحدّين

أخطاء شائعة

نصائح

الأسئلة الشائعة

كيف أحسب احتمال حدث؟

كيف أجد احتمال وقوع حدثين مستقلين معًا؟

ما الاحتمال الشرطي؟

متى أستخدم وضع ذي الحدّين؟

هل يمكنني إدخال نسب مئوية أو كسور؟

ما الفرق بين نسبة الأرجحية والاحتمال؟

كيف أحسب «على الأقل» في مسألة ذي الحدّين؟

احسب احتمالك

المزيد من حاسبات الرياضيات