الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والانحراف المعياري: دليل شامل

المركز والتشتّت: السؤالان الكبيران

يصعب قراءة قائمة من الأعداد بنظرة واحدة. ويلخّصها علم الإحصاء بالإجابة عن سؤالين. أين يقع منتصف البيانات؟ وإلى أي حدّ تبتعد القيم عادةً عن هذا المنتصف؟ مقاييس النزعة المركزية، أي الوسط الحسابي والوسيط والمنوال، تجيب عن السؤال الأول. ومقاييس التشتّت، كالمدى والمدى الربيعي والانحراف المعياري، تجيب عن الثاني.

وأنت تحتاج إلى الاثنين. فقد يكون لصفّين متوسط درجات الاختبار نفسه، لكن في أحدهما حصل الجميع على درجات قريبة من المتوسط، بينما تراوحت الدرجات في الآخر بين الرسوب والعلامة الكاملة. فالمركز وحده يُخفي هذا الفرق، والتشتّت وحده لا يقول شيئًا عن مستوى أداء الصف إجمالًا.

الوسط الحسابي

الوسط الحسابي، أو المتوسط الحسابي، هو مجموع القيم مقسومًا على عددها. لمجموعة بيانات $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

يستخدم الوسط الحسابي كل القيم، مما يجعله كفؤًا لكنه حسّاس أيضًا. فقيمة متطرفة واحدة، أي قيمة شاذّة، قد تجرّه بعيدًا. أما الوسط الموزون فيعطي بعض القيم تأثيرًا أكبر من غيرها. فإذا كان الامتحان النهائي يُحتسب بنسبة 60 بالمئة من الدرجة والأعمال الفصلية بنسبة 40 بالمئة، فإن الدرجتين 80 و90 تُجمعان إلى $0.6(80) + 0.4(90) = 84$، لا إلى المتوسط البسيط 85.

الوسيط

الوسيط هو القيمة الوسطى بعد ترتيب البيانات. فإذا كان عدد القيم فرديًا فهو القيمة الوسطى الوحيدة، وإذا كان زوجيًا فهو الوسط الحسابي للقيمتين الوسطيين.

يتجاهل الوسيط مدى بُعد القيم المتطرفة عن المنتصف، مما يجعله مقاومًا للقيم الشاذّة. لنفترض أن خمسة أشخاص يكسبون 30 و35 و40 و45 و50 ألف دولار سنويًا. الوسط الحسابي والوسيط كلاهما 40 ألفًا. فإذا انضمّ إلى المجموعة شخص سادس يكسب 1,000 ألف دولار، قفز الوسط الحسابي إلى 200 ألف، وهو أكثر مما يكسبه أي شخص عدا القادم الجديد، بينما لا يتحرّك الوسيط إلا إلى 42.5 ألفًا. ولهذا تُعلَن أسعار المنازل والدخول عادةً بالوسيط.

المنوال

المنوال هو القيمة الأكثر تكرارًا. ففي درجات الاختبار تظهر 85 ثلاث مرات، فالمنوال 85. وقد يكون لمجموعة البيانات منوال واحد، أو منوالان (ثنائية المنوال)، أو عدة منوالات، أو لا منوال على الإطلاق إذا ظهرت كل قيمة مرة واحدة بالضبط.

المنوال هو مقياس النزعة المركزية الوحيد الذي يصلح للبيانات الفئوية. فلا يمكنك حساب متوسط الألوان المفضّلة أو ماركات الأحذية، لكن يمكنك أن تقول أيها الأكثر شعبية. أما في البيانات العددية، فالمنوال أنفع ما يكون حين تتكرر القيم كثيرًا، كمقاسات الأحذية في سجلات مبيعات متجر، حيث المقاس الأكثر شيوعًا هو بالضبط ما يحتاج المشتري إلى معرفته.

أي متوسط ينبغي أن تستخدم؟

• استخدم الوسط الحسابي للبيانات المتماثلة تقريبًا الخالية من القيم الشاذّة المتطرفة، كالأطوال أو أخطاء القياس.
• استخدم الوسيط للبيانات الملتوية أو التي فيها قيم شاذّة، كالدخول أو أسعار المنازل أو أوقات الانتظار.
• استخدم المنوال للفئات، أو للقيم المنفصلة حين يكون الاختيار الأكثر شيوعًا هو المهم.

ومقارنة الوسط الحسابي بالوسيط تخبرك أيضًا بشكل البيانات. فحين يكون الوسط أكبر من الوسيط بوضوح، يكون ذيل طويل من القيم المرتفعة يجرّه إلى الأعلى، وتكون البيانات ملتوية نحو اليمين. وحين يكون الوسط أصغر، تكون البيانات ملتوية نحو اليسار. وفي درجات الاختبار، يقع الوسط 82.1 تحت الوسيط 85، لأن بضع درجات منخفضة تسحب الوسط إلى الأسفل.

قياس التشتّت: المدى والانحراف المعياري

أبسط مقاييس التشتّت هو المدى، أي أكبر قيمة ناقص أصغر قيمة. وهو لدرجات الاختبار $95 - 68 = 27$ درجة. المدى سهل الحساب لكنه يعتمد كليًا على القيمتين الأكثر تطرفًا. أما المدى الربيعي، أي تشتّت النصف الأوسط من البيانات، فهو أمتن.

الانحراف المعياري هو أوسع مقاييس التشتّت استخدامًا. وهو تقريبًا المسافة النموذجية لقيمة ما عن الوسط الحسابي. وللمجتمع كاملًا يكون:

الفرق بين القسمة على $n$ والقسمة على $n - 1$، وسبب أهميته، مشروح بالتفصيل في مقال كيف تحسب الانحراف المعياري.

الجمع بين الملخّصات

الملخّص الجيد لمجموعة بيانات يذكر مركزًا وتشتّتًا متلائمين. فالوسط الحسابي يقترن طبيعيًا بالانحراف المعياري، لأن كليهما يستخدم كل القيم وكليهما حسّاس للقيم الشاذّة. والوسيط يقترن بالمدى الربيعي، لأن كليهما مقاوم. أما ذكر الوسيط مع الانحراف المعياري فيخلط فلسفتين مختلفتين وقد يكون مضلّلًا.

وللبيانات التي على شكل جرس تقريبًا، يروي الوسط الحسابي والانحراف المعياري قصة كاملة على نحو لافت: فنحو 68 بالمئة من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من الوسط، ونحو 95 بالمئة ضمن انحرافين. وقياس بُعد قيمة عن الوسط بوحدات الانحراف المعياري هو بالضبط ما تفعله الدرجة المعيارية. وتحسب حاسبة الوسط والوسيط والمنوال كل مقاييس هذا المقال من قائمة ملصوقة، وتعرض حاسبة الانحراف المعياري كل خطوة من خطوات حساب التشتّت.

الربيعيات والمدى الربيعي

تقسم الربيعيات البيانات المرتّبة إلى أربعة أجزاء متساوية. ومن الطرق البسيطة إيجاد وسيط كل نصف. ففي درجات الاختبار المرتّبة، النصف الأدنى هو 68، 72، 77، 85، فالربيع الأول $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$. والنصف الأعلى هو 85، 85، 90، 95، فالربيع الثالث $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$. والمدى الربيعي $87.5 - 74.5 = 13$ درجة، وهو عرض النصف الأوسط من الصف.

تستخدم الكتب المدرسية والبرامج المختلفة اصطلاحات مختلفة قليلًا للربيعيات، لذا فالفروق الصغيرة بين الإجابات طبيعية وليست علامة على خطأ. وتعدّ قاعدة شائعة أي قيمة تقلّ عن الربيع الأول أو تزيد على الربيع الثالث بأكثر من 1.5 ضعف المدى الربيعي قيمةً شاذّة محتملة. والحدّان هنا 55 و107، فلا توجد درجة غير عادية.

الأسئلة الشائعة