شرح الدرجات المعيارية (z) مع أمثلة محلولة

ما الذي تقيسه الدرجة المعيارية

الدرجة الخام وحدها لا تقول الكثير. فالحصول على 85 في اختبار يبدو جيدًا، لكن إن حصل الجميع على 95 فهي في الواقع ضعيفة. والدرجة المعيارية، وتُسمّى أيضًا درجة z، تعالج ذلك بقياس القيمة نسبةً إلى مجموعتها. فهي تجيب عن سؤال واحد: كم انحرافًا معياريًا تبعد هذه القيمة عن الوسط الحسابي؟

هنا $x$ القيمة، و$\mu$ الوسط الحسابي، و$\sigma$ الانحراف المعياري. الدرجة المعيارية الموجبة تعني أن القيمة فوق الوسط، والسالبة تعني أنها تحته، والصفر يعني أنها تساوي المتوسط تمامًا. والدرجة المعيارية 2 تعني انحرافين معياريين فوق الوسط، وهذا مرتفع على نحو غير معتاد في معظم مجموعات البيانات. وإذا احتجت إلى مراجعة حساب الانحراف المعياري نفسه، فانظر مقال كيف تحسب الانحراف المعياري.

حساب الدرجة المعيارية خطوة بخطوة

تُختصر الوحدات دائمًا، لأن البسط والمقام كليهما مقيسان بالوحدات الأصلية. وهذا ما يجعل الدرجات المعيارية بلا وحدات وقابلة للمقارنة بين قياسات مختلفة تمامًا.

مقارنة النتائج على مقاييس مختلفة

أكثر استخدامات الدرجات المعيارية عمليةً هو المقارنة العادلة. لنفترض أن طالبًا حصل على 82 في امتحان كيمياء وسطه 75 وانحرافه المعياري 5، وعلى 88 في امتحان تاريخ وسطه 80 وانحرافه المعياري 8. علامة التاريخ أعلى، لكن أي النتيجتين أكثر إثارة للإعجاب؟

نسبةً إلى زملاء الصف، نتيجة الكيمياء أقوى: 1.4 انحراف معياري فوق المتوسط مقارنةً بـ 1.0. والفكرة نفسها تتيح للعلماء مقارنة قياسات من أجهزة مختلفة، وتتيح للمحلّلين مقارنة أداء شركة بقطاعات تختلف قيمها النموذجية اختلافًا كبيرًا.

العمل عكسيًا من الدرجة المعيارية

إعادة ترتيب الصيغة تعطي القيمة الخام المقابلة لدرجة معيارية معلومة:

في الاختبار الذي وسطه 70 وانحرافه المعياري 10، تقابل الدرجة المعيارية $-1.2$ القيمة $70 + (-1.2)(10) = 58$. وهذه الصيغة مفيدة لتحديد الحدود الفاصلة، كتحديد الدرجة الخام التي يحتاجها الطالب ليكون ضمن أعلى 10 بالمئة، كما يبيّن المثال 4 أدناه.

من الدرجات المعيارية إلى المئينات

حين تتبع البيانات توزيعًا طبيعيًا، أي منحنى الجرس، يمكن تحويل الدرجة المعيارية إلى مئين، أي نسبة القيم التي تقع تحتها. للتوزيع الطبيعي المعياري وسط 0 وانحراف معياري 1، ودالته التراكمية، المكتوبة $\Phi(z)$، تعطي تلك النسبة. ويستحق بعض القيم المرجعية أن تُحفظ:

• $\Phi(0) = 0.5$: الوسط يقع عند المئين 50.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ و$\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$، فالطالب في المثال 1 تفوّق على نحو 93 بالمئة من الصف.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$، فالطالب في المثال 2 قريب من المئين 21.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$، ولهذا يظهر العدد 1.96 في فترات الثقة بنسبة 95 بالمئة.

تلخّص القاعدة التجريبية منحنى الجرس: نحو 68 بالمئة من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد من الوسط، ونحو 95 بالمئة ضمن انحرافين، ونحو 99.7 بالمئة ضمن ثلاثة. لذا فالقيم التي فيها $|z| > 3$ نادرة، وكثيرًا ما تُفحص بوصفها قيمًا شاذّة محتملة.

الدرجات المعيارية لأوساط العيّنات

تتفاوت المتوسطات أقل مما تتفاوت القيم المفردة. فإذا سُحبت عيّنات حجمها $n$ من مجتمع وسطه $\mu$ وانحرافه المعياري $\sigma$، فإن لوسط العيّنة انحرافًا معياريًا قدره $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$، ويُسمّى الخطأ المعياري. والدرجة المعيارية لوسط العيّنة هي

فمثلًا، إذا كان متوسط 25 طالبًا في الاختبار السابق 73، فالخطأ المعياري $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ و$z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. فارتفاع بثلاث درجات أمر عادي لطالب واحد، لكنه غير معتاد بوضوح لمتوسط 25 طالبًا. وهذه الصيغة هي نقطة الانطلاق لاختبارات z وفترات الثقة في مقرّرات الإحصاء التمهيدية.

تحذيرات عند استخدام الدرجات المعيارية

• تحويل الدرجات المعيارية إلى مئينات باستخدام $\Phi$ لا يصحّ إلا حين تكون البيانات طبيعية تقريبًا. أما البيانات شديدة الالتواء، كالدخول، فيجب أن تُستخرج مئيناتها من البيانات نفسها.
• استخدم الانحراف المعياري للمجتمع حين تعرفه، والانحراف المعياري للعيّنة تقديرًا في غير ذلك؛ والعيّنات الصغيرة تستدعي توزيع t بدلًا من ذلك.
• تصف الدرجة المعيارية الموقع داخل مجموعة واحدة. ومقارنة درجات معيارية من مجموعات ذات مستويات قدرة مختلفة جدًا قد تظل مضلّلة.
• حافظ على الإشارة. فالدرجتان المعياريتان $-2$ و$2$ غير معتادتين بالقدر نفسه لكنهما تعنيان أمرين متعاكسين.

تحسب حاسبة الدرجة المعيارية الدرجات المعيارية والمئينات والمساحة بين قيمتين، وتعطي حاسبة الانحراف المعياري الوسط والانحراف المعياري اللذين تحتاج إليهما أولًا.

أين تظهر الدرجات المعيارية عمليًا

كثيرًا ما تحوّل تقارير الاختبارات المعيارية العلامات الخام إلى درجات مدرَّجة أو مئينات مبنية على فكرة الدرجة المعيارية نفسها. ويتابع أطباء الأطفال طول الطفل ووزنه على مخطّطات النمو، وبعض الأدوات السريرية تعرض هذه القياسات مباشرةً درجاتٍ معيارية بحسب عمر الطفل. وتعرض فحوص كثافة العظام درجة T، وهي درجة معيارية مقيسة بالنسبة إلى بالغين شباب أصحّاء. ويرصد مهندسو الجودة القطع التي تنحرف قياساتها بأكثر من ثلاثة انحرافات معيارية عن القيمة المستهدفة، ويحوّل المحلّلون الماليون العوائد إلى قيم معيارية لتمكن مقارنة صناديق ذات مستويات مخاطرة مختلفة على مقياس واحد.

مسائل للتدريب

1. مجموعة بيانات وسطها 50 وانحرافها المعياري 4. جد الدرجة المعيارية للقيمة 56. الإجابة: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. درجات وسطها 100 وانحرافها المعياري 15. أي درجة لها $z = -2$؟ الإجابة: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. قيم موزّعة طبيعيًا بوسط 500 وانحراف معياري 100. ما نسبة القيم التي تقع تحت 650؟ الإجابة: $z = 1.5$، فالنسبة نحو $\Phi(1.5) \approx 0.9332$، أي 93 بالمئة.

الأسئلة الشائعة