حاسبة التباديل والتوافيق: P(n, r) وC(n, r)

عن حاسبة التباديل والتوافيق

كثير من أسئلة العدّ يرجع إلى قرار واحد: هل يهم ترتيب العناصر المختارة؟ ترتيب العدّائين على منصة التتويج تبديل، لأن ذهبًا ثم فضة ثم برونزًا يختلف عن برونز ثم فضة ثم ذهب. أما اختيار ثلاثة أشخاص للجنة فتوفيق، لأن الأشخاص الثلاثة أنفسهم يشكّلون اللجنة نفسها بأي ترتيب.

تغطي هذه الحاسبة الحالات القياسية الأربع: التباديل والتوافيق دون تكرار، والتباديل مع التكرار (مثل الرموز السرّية للبطاقات) والتوافيق مع التكرار (مثل اختيار كرات من المثلّجات من مجموعة نكهات). وهي تعمل بأعداد صحيحة دقيقة، فحتى الأعداد الكبيرة جدًا، مثل عدد أيادي البوكر، تُعرض كاملة دون تقريب.

ما التباديل والتوافيق؟

التبديل ترتيب مرتّب لـ $r$ عنصرًا مختارة من $n$ عنصرًا مختلفًا. وعدده $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ ، أي حاصل ضرب أول $r$ عوامل من $n!$ . أما التوفيق فاختيار غير مرتّب، وعدده $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

يرتبط المفهومان: فكل توفيق من $r$ عنصرًا يمكن ترتيبه بـ $r!$ طريقة، لذا $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . وتستخدم الحاسبة هذه المتطابقة للتحقق من كل إجابة للتباديل والتوافيق.

كيف تستخدم حاسبة التباديل والتوافيق

اختر ما تريد عدّه: «التوافيق C(n, r) (الترتيب غير مهم)» أو «التباديل P(n, r) (الترتيب مهم)» أو «التباديل مع التكرار (nʳ)» أو «التوافيق مع التكرار».
أدخل «عدد العناصر الكلي n».
أدخل «عدد العناصر المختارة r».
اضغط «احسب».
اقرأ العدد والصيغة المستخدمة وخطوات الاختصار.

الصيغ

التباديل

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

التوافيق

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

التباديل مع التكرار

n^r

التوافيق مع التكرار

\binom{n + r - 1}{r}

مثال محلول: C(10, 3)

يوجد المثال $C(10, 3)$ ، أي عدد طرق اختيار 3 عناصر من 10 عندما لا يهم الترتيب. عُدّ أولًا الاختيارات المرتّبة: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

تظهر كل مجموعة ثلاثية $3! = 6$ مرات في تلك القائمة، مرة لكل ترتيب، لذا $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . ويؤكد التحقق أن $120 \times 6 = 720$ .

الحل أدناه يولّده المحرك نفسه الذي تعمل به الحاسبة أعلاه.

الإجابة النهائية

120

كيف فهمنا مسألتك

التوافيق ⁿCᵣ (الترتيب غير مهم)

الحل خطوة بخطوة

استخدم صيغة التوافيق
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
اقسم التباديل على r! لأن الترتيب غير مهم
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

الصيغ المستخدمة

التوافيق ⁿCᵣ (الترتيب غير مهم)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

توجد 120 طريقة لاختيار 3 عنصرًا من 10 عندما لا يهم الترتيب.

التحقق

تحقّق: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

شرح مفصّل

لماذا تُختصر المضروبات

تبدو كتابة $\frac{n!}{(n-r)!}$ كأنها تتطلب أعدادًا ضخمة، لكن معظم العوامل تُختصر. ففي $P(8, 3)$ لا يبقى إلا $8 \times 7 \times 6 = 336$ : ثمانية خيارات للمركز الأول، وسبعة للثاني، وستة للثالث. وتعرض الحاسبة هذا الاختصار بدلًا من حساب المضروبات كاملة.

تقسم التوافيق على ترتيبات كل اختيار البالغ عددها $r!$ . ولهذا يكون $C(n, r)$ دائمًا أصغر من $P(n, r)$ أو مساويًا له، ولهذا أيضًا $C(n, r) = C(n, n - r)$ : فاختيار العناصر الـ $r$ التي تأخذها هو نفسه اختيار العناصر الـ $n - r$ التي تتركها.

العدّ مع التكرار

عندما يمكن إعادة استخدام العناصر ويهم الترتيب، يكون لكل موضع من المواضع الـ $r$ عدد $n$ من الخيارات، فيكون الناتج $n^r$ . فللرمز السرّي المكوّن من أربعة أرقام $10^4 = 10{,}000$ احتمال.

وعندما يمكن إعادة استخدام العناصر ولا يهم الترتيب، تعطي طريقة النجوم والفواصل $\binom{n + r - 1}{r}$ . فاختيار 4 كرات من 3 نكهات مع السماح بالتكرار يمكن أن يتم بـ $\binom{6}{4} = 15$ طريقة. وفي هذا الوضع يجوز أن يكون $r$ أكبر من $n$ .

الأعداد الكبيرة والحالات الخاصة

عدد أيادي البوكر ذات الأوراق الخمس هو $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ ، وتُبقي الحاسبة هذه الإجابات دقيقة باستخدام حساب الأعداد الصحيحة. واصطلاحًا $C(n, 0) = 1$ ، لأن هناك طريقة واحدة بالضبط لعدم اختيار أي شيء.

دون تكرار لا يمكنك اختيار عناصر أكثر من الموجودة. وطلب $C(3, 5)$ ينتج رسالة واضحة تقترح وضعًا مع التكرار أو قيمة أصغر لـ $r$ ، بدلًا من صفر لا معنى له.

التوافيق ومثلث باسكال

تشكّل القيم $C(n, r)$ مثلث باسكال، حيث كل مدخل مجموع المدخلين اللذين فوقه: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . ولهذه المتطابقة تفسير عدّي. ثبّت عنصرًا معيّنًا؛ فكل اختيار إما أن يتضمنه، فيبقى اختيار $r - 1$ عنصرًا آخر من العناصر الـ $n - 1$ الأخرى، وإما أن يستبعده، فيبقى اختيار العناصر الـ $r$ كلها من العناصر الـ $n - 1$ الأخرى.

الأعداد نفسها هي المعاملات في مفكوك ذي الحدّين $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ ، ولهذا تسمّى معاملات ذي الحدّين. وجمع صف كامل يعطي $2^n$ ، أي العدد الكلي للمجموعات الجزئية لمجموعة من $n$ عنصرًا، لأن كل عنصر إما داخل وإما خارج.

أخطاء شائعة

استخدام التباديل عندما لا يهم الترتيب، مما يضاعف العدّ بمعامل $r!$ .
استخدام التوافيق للترتيبات مثل كلمات المرور أو التصنيفات أو ترتيب المقاعد.
نسيان أن التكرار يغيّر الصيغة كليًا.
حساب المضروبات كاملة يدويًا بدلًا من الاختصار، مما يفتح الباب لأخطاء حسابية.
اختيار r أكبر من n في مسألة لا تتكرر فيها العناصر.

نصائح

اسأل: هل يعطي تبديل موضعَي عنصرين مختارين نتيجة مختلفة؟ إن كان الجواب نعم فاستخدم التباديل.
استخدم $C(n, r) = C(n, n - r)$ لتبسيط الحسابات اليدوية.
قسّم المسائل المعقدة إلى مراحل واضرب أعداد المراحل.
اقسم العدد على العدد الكلي للنتائج لتحوّله إلى احتمال.
استخدم وضع ذي الحدّين في حاسبة الاحتمالات عندما تحتاج إلى احتمالات k نجاحًا بدلًا من الأعداد المجرّدة.
قدّر أولًا: إذا خرج عدد الاختيارات أكبر من عدد الترتيبات المقابل، فهناك خطأ ما.

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين التبديل والتوفيق؟

التبديل يعدّ الترتيبات المرتّبة، والتوفيق يعدّ الاختيارات غير المرتّبة. اختيار 3 من 10 عناصر يعطي 720 تبديلًا لكن 120 توفيقًا فقط.

كيف تُحسب التوافيق C(n, r)؟

استخدم n! ÷ (r!(n − r)!). وعمليًا، اضرب أول r عوامل من n! واقسم على r!. ففي C(10, 3) يكون الناتج 720 ÷ 6 = 120.

كيف تُحسب التباديل P(n, r)؟

اضرب أول r عوامل من n!: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

كم يدًا من أيادي البوكر ذات الأوراق الخمس توجد؟

C(52, 5) = 2,598,960، لأن ترتيب تسلّم الأوراق لا يهم.

ماذا تعني عبارة «مع التكرار»؟

أن كل عنصر يمكن اختياره أكثر من مرة، مثل أرقام الرمز السرّي. عدد الاختيارات المرتّبة مع التكرار nʳ، وعدد غير المرتّبة C(n + r − 1, r).

لماذا يساوي C(n, 0) العدد 1؟

توجد طريقة واحدة بالضبط لعدم اختيار أي عنصر: الاختيار الفارغ. والاستدلال نفسه يعطي 0! = 1.

هل يمكن أن يكون r أكبر من n؟

فقط عندما يُسمح بالتكرار. ودون تكرار توضّح الحاسبة أنه لا يمكنك اختيار عناصر أكثر من الموجودة.

عُدّ الترتيبات والاختيارات

أدخل n وr في الأعلى واختر الحالة لترى العدد الدقيق وكل خطوة.

استخدم الحاسبة اسأل حلّال الرياضيات بالذكاء الاصطناعي