انتقل إلى المحتوى
MathSolver Pro
  • افتح حلّال الرياضيات
  • اسأل المعلم الذكي
  • ابحث عن مقرر AP
  • أنشئ اختبارًا قصيرًا
  • افتح الآلة الحاسبة
  • الآلة الحاسبة البيانية
  • تصفح كل الحاسبات
  • اقرأ أدلة الرياضيات
↑ ↓Enter للفتح · Esc للإغلاق
حلّ مسألة
النهاياتالتفاضل والتكاملالجامعة≈ 2:54

أوجد lim x→0 (1 + x)^(1/x)

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: النهاية = e ≈ 2.718281828.

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

فيديو باللغة الإنجليزية: تنزيل MP4 (1.1 MB) · الترجمة (WebVTT): العربية · ترجمة مصاحبة باللغة الإنجليزية (WebVTT)

الخطوات على الشاشة

  1. 1. المسألة
    مثال محلول
    lim⁡x→0(1+x)1x\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}}
  2. 2. الخطوات، الجزء 1
    1. lim⁡x→0(1+x)1x=e lim⁡x→0[1xln⁡(1+x)]\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{\,\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right)\right]}
      صيغة غير معيّنة 1^∞: خذ اللوغاريتم
    2. lim⁡x→01xln⁡(1+x)=lim⁡x→0ln⁡(x+1)x\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x}
      صيغة غير معيّنة 0·∞: أعد الكتابة على صورة خارج قسمة
    3. lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=lim⁡x→01x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1}
      صيغة غير معيّنة 0/0: طبّق قاعدة لوبيتال
    4. lim⁡x→01x+11=lim⁡x→01x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}
      بسّط
  3. 3. الخطوات، الجزء 2
    1. lim⁡x→01x+1=10+1=1\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1
      التعويض المباشر
    2. lim⁡x→0(1+x)1x=e1=e\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{1} = e
      ارفع e إلى قوة الناتج
  4. 4. الإجابة
    lim⁡x→0(1+x)1x=e≈2.718281828\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.718281828

    lim x→0 (1 + x)^(1 / x) = e ≈ 2.718281828

  5. 5. التحقق
    • القيم العددية من اليمين متوافقة: f(0.01) = 2.7048138, f(0.001) = 2.7169239, f(0.0001) = 2.7181459, f(0.00001) = 2.7182682 ✓
    • القيم العددية من اليسار متوافقة: f(-0.01) = 2.731999, f(-0.001) = 2.7196422, f(-0.0001) = 2.7184178, f(-0.00001) = 2.7182954 ✓

النص الكامل

المسألة. إليك المسألة: أوجد lim x- أكبر من 0 (1 زائد x) أس 1/x). أوجد نهاية (1 زائد x) أس 1 / x) عندما x → 0.

الخطوات، الجزء 1. صيغة غير معيّنة 1^∞: خذ اللوغاريتم. اكتب القوة على الصورة e^(الأس ضرب ln الأساس)؛ وبما أن eᵘ متصلة، فالنهاية هي e مرفوعًا إلى نهاية الأس. صيغة غير معيّنة 0 ضرب ∞: أعد الكتابة على صورة خارج قسمة. نقل أحد العاملين إلى المقام على صورة مقلوبه يحوّل 0 ضرب ∞ إلى 0 على 0 أو ∞/∞. صيغة غير معيّنة 0 على 0: طبّق قاعدة لوبيتال. اشتق البسط والمقام كلًّا على حدة (وهذه ليست قاعدة القسمة). بسّط.

الخطوات، الجزء 2. التعويض المباشر. العبارة متصلة عند x يساوي 0، لذا تساوي النهاية قيمتها هناك. ارفع e إلى قوة الناتج.

الإجابة. إذن الإجابة هي النهاية يساوي e تقريبًا 2.718281828. تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة، لا بالضرورة القيمة التي تأخذها. وحين يعطي التعويض صيغة غير معيّنة، تُعاد كتابة العبارة (بقاعدة لوبيتال أو بالمرافق أو باللوغاريتمات) حتى ينجح التعويض.

التحقق. القيم العددية من اليمين متوافقة: f(0.01) يساوي 2.7048138, f(0.001) يساوي 2.7169239, f(0.0001) يساوي 2.7181459, f(0.00001) يساوي 2.7182682، وهذا صحيح. القيم العددية من اليسار متوافقة: f(سالب 0.01) يساوي 2.731999, f(سالب 0.001) يساوي 2.7196422, f(سالب 0.0001) يساوي 2.7184178, f(سالب 0.00001) يساوي 2.7182954، وهذا صحيح.

دروس مشابهة

أوجد lim x→0 (1 + x)^(1/x) — درس فيديو خطوة بخطوة