رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
حدحساباندانشگاه≈ 2:19

یافتن lim x→0 (1 - cos(2x))/x²

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: حد = 2.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.9 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=lim⁡x→02sin⁡(2x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x}
      حالت مبهم 0/0: قاعدهٔ هوپیتال را به کار ببرید
    2. lim⁡x→02sin⁡(2x)2x=lim⁡x→0sin⁡(2x)x\lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x}
      ساده کنید
    3. lim⁡x→0sin⁡(2x)x=lim⁡x→02cos⁡(2x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1}
      حالت مبهم 0/0: قاعدهٔ هوپیتال را به کار ببرید
    4. lim⁡x→02cos⁡(2x)1=lim⁡x→02cos⁡(2x)\lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right)
      ساده کنید
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. lim⁡x→02cos⁡(2x)=2cos⁡(2(0))=2\lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right) = 2\cos\left(2\left(0\right)\right) = 2
      جایگذاری مستقیم
  4. 4. جواب
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = 2

    lim x→0 (1 - cos(2x)) / x² = 2

  5. 5. بررسی
    • مقادیر عددی از سمت راست: f(0.01) = 1.9999333, f(0.001) = 1.9999993, f(0.0001) = 2, f(0.00001) = 2.0000002 (روند مشخصی در این دقت وجود ندارد)
    • مقادیر عددی از سمت چپ: f(-0.01) = 1.9999333, f(-0.001) = 1.9999993, f(-0.0001) = 2, f(-0.00001) = 2.0000002 (روند مشخصی در این دقت وجود ندارد)

متن کامل

مسئله. این مسئله است: یافتن lim x- بزرگ‌تر از 0 (1 منهای cos(2x))/x به توان دو. حد (1 منهای cos(2x)) / x به توان دو را وقتی x → 0 پیدا کنید.

گام‌ها، بخش 1. حالت مبهم 0 تقسیم بر 0: قاعدهٔ هوپیتال را به کار ببرید. از صورت و مخرج جداگانه مشتق بگیرید (این قاعدهٔ تقسیم نیست). ساده کنید. حالت مبهم 0 تقسیم بر 0: قاعدهٔ هوپیتال را به کار ببرید. از صورت و مخرج جداگانه مشتق بگیرید (این قاعدهٔ تقسیم نیست). ساده کنید.

گام‌ها، بخش 2. جایگذاری مستقیم. عبارت در x مساوی 0 پیوسته است، پس حد برابر مقدار آن در همان نقطه است.

جواب. پس جواب این است: حد مساوی 2. حد مقداری را توصیف می‌کند که تابع به آن نزدیک می‌شود، نه لزوماً مقداری که می‌گیرد. وقتی جایگذاری حالتی مبهم می‌دهد، عبارت بازنویسی می‌شود (با قاعدهٔ هوپیتال، مزدوج یا لگاریتم) تا جایگذاری جواب بدهد.

بررسی. مقادیر عددی از سمت راست: f(0.01) مساوی 1.9999333, f(0.001) مساوی 1.9999993, f(0.0001) مساوی 2, f(0.00001) مساوی 2.0000002 (روند مشخصی در این دقت وجود ندارد). مقادیر عددی از سمت چپ: f(منفی 0.01) مساوی 1.9999333, f(منفی 0.001) مساوی 1.9999993, f(منفی 0.0001) مساوی 2, f(منفی 0.00001) مساوی 2.0000002 (روند مشخصی در این دقت وجود ندارد).

درس‌های مشابه

یافتن lim x→0 (1 - cos(2x))/x² — درس ویدیویی گام‌به‌گام