ماشین‌حساب ماتریس: ضرب، جمع، شکل پلکانی تحویل‌یافته، رتبه و توان

Q: ماتریس را چگونه وارد کنم؟

درایههای یک سطر را با فاصله یا ویرگول و سطرها را با نقطهویرگول از هم جدا کنید. مثلاً 1 2; 3 4 ماتریس 2×2 با سطرهای (1, 2) و (3, 4) است.

Q: چرا ضرب ماتریسها جابهجایی نیست؟

AB سطرهای A را با ستونهای B ترکیب میکند، در حالی که BA سطرهای B را با ستونهای A ترکیب میکند. اینها محاسبههای متفاوتیاند، پس نتیجهها معمولاً فرق دارند و حتی ممکن است یکی از دو حاصلضرب وجود داشته باشد و دیگری نه.

Q: چه زمانی میتوان دو ماتریس را در هم ضرب کرد؟

وقتی تعداد ستونهای ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصلضرب به اندازهٔ ماتریس اول سطر و به اندازهٔ ماتریس دوم ستون دارد.

Q: شکل پلکانی سطری تحویلیافته چیست؟

شکلی که در آن هر سطر ناصفر با یک 1 پیشرو آغاز میشود، هر 1 پیشرو در سمت راست عنصر پیشروِ سطر بالایی قرار دارد و سایر درایههای ستون هر 1 پیشرو صفرند.

Q: رتبهٔ ماتریس چه چیزی را نشان میدهد؟

تعداد سطرها یا ستونهای مستقل خطی را. برای ماتریس مربعی، رتبهٔ کامل یعنی ماتریس وارونپذیر است و دستگاه خطی متناظر جواب یکتا دارد.

Q: آیا میتوانم در ماتریس از کسر استفاده کنم؟

بله. درایههایی مانند 1/2 را میتوان وارد کرد و همهٔ نتیجهها با کسرهای دقیق محاسبه میشوند.

Q: اثر ماتریس چیست؟

مجموع درایههای قطر اصلی یک ماتریس مربعی. با مجموع مقدارهای ویژهٔ ماتریس هم برابر است.

دربارهٔ ماشین‌حساب ماتریس

ماتریس عددها را در سطرها و ستون‌ها مرتب می‌کند و زبان مشترک جبر خطی، گرافیک رایانه‌ای، مدل‌های اقتصادی، آمار و یادگیری ماشین است. خود عملیات پیچیده نیست، اما شامل ضرب‌ها و جمع‌های کوچک فراوانی است و یک درایهٔ اشتباه کل پاسخ را خراب می‌کند.

این ماشین‌حساب نُه عملیات ماتریسی انجام می‌دهد: ضرب، جمع، تفریق، ضرب در اسکالر، توان صحیح مثبت، ترانهاده، شکل پلکانی سطری تحویل‌یافته، رتبه و اثر. درایه‌ها می‌توانند عدد صحیح، اعشاری یا کسری باشند و همهٔ محاسبه‌ها دقیق‌اند، پس نتیجه‌ای مانند $\frac32$ به صورت کسر نمایش داده می‌شود و نه عدد اعشاری گردشده. در تحویل سطری هر عملیات سطری به ترتیب فهرست می‌شود.

ماتریس چیست؟

ماتریس آرایه‌ای مستطیلی از عددها با $m$ سطر و $n$ ستون است که ماتریس $m \times n$ نامیده می‌شود. درایهٔ سطر $i$ و ستون $j$ با $a_{ij}$ نشان داده می‌شود. ماتریس مربعی تعداد سطر و ستون برابر دارد و ماتریس همانی $I$ روی قطر اصلی یک و در جاهای دیگر صفر دارد.

ماتریس‌ها نگاشت‌های خطی و دستگاه‌های معادلات خطی را نمایش می‌دهند. ضرب ماتریس در بردار تبدیلی مانند دوران یا مقیاس‌گذاری را اعمال می‌کند و ضرب دو ماتریس دو تبدیل را در یک تبدیل ترکیب می‌کند.

روش استفاده از ماشین‌حساب ماتریس

از فهرست «عمل» یک عملیات برگزینید.
«ماتریس A» را وارد کنید، با فاصله میان درایه‌ها و نقطه‌ویرگول (;) میان سطرها، مثلاً 1 2; 3 4.
برای ضرب، جمع و تفریق، «ماتریس B» را با همین قالب وارد کنید.
برای ضرب در اسکالر یا توان، عدد $k$ را وارد کنید.
روی «محاسبه کن» بزنید و گام‌ها را تا نتیجه دنبال کنید.

فرمول‌ها

درایهٔ حاصل‌ضرب ماتریسی

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

مجموع

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

ترانهاده

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

اثر

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

مثال حل‌شده: A × B (2×2)

مثال، $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ را در $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ ضرب می‌کند. هر درایهٔ حاصل‌ضرب، ضرب داخلی یک سطر $A$ در یک ستون $B$ است؛ درایهٔ بالا سمت چپ $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ است.

با تکرار این کار برای سه جای دیگر $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ به دست می‌آید. با عوض کردن ترتیب، $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ به دست می‌آید که ماتریس دیگری است و نشان می‌دهد ضرب ماتریس‌ها جابه‌جایی نیست.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

A × B را به‌طور دقیق محاسبه کن.

راه‌حل گام‌به‌گام

ماتریس A را بخوانید
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
ماتریس B را بخوانید
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
هر درایه حاصل‌ضرب داخلی یک سطر A در یک ستون B است
نتیجه 2×2 است.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
نتیجه
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

فرمول‌های به‌کاررفته

حاصل‌ضرب ماتریسی
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A برابر 2×2 و B برابر 2×2 است، پس AB برابر 2×2 است. ضرب ماتریس‌ها جابه‌جایی نیست: BA معمولاً متفاوت است.

بررسی‌ها

همهٔ محاسبه‌ها دقیق‌اند (با کسر و بدون گرد کردن).

توضیح کامل

چه زمانی عملیات تعریف شده است

جمع و تفریق به دو ماتریس دقیقاً هم‌اندازه نیاز دارند و درایه به درایه انجام می‌شوند. ضرب $AB$ نیاز دارد که تعداد ستون‌های $A$ با تعداد سطرهای $B$ برابر باشد؛ ماتریس $m \times n$ ضرب در ماتریس $n \times p$ نتیجه‌ای $m \times p$ می‌دهد. ماتریس $2 \times 3$ را نمی‌توان در ماتریس $2 \times 2$ ضرب کرد و در این حالت ماشین‌حساب به جای برگرداندن کد خطا توضیح می‌دهد که چرا اندازه‌ها جور نیستند.

فقط ماتریس‌های مربعی را می‌توان به توان رساند، چون $A \cdot A$ به اندازه‌های جور نیاز دارد. ضرب پیاپی $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ در خودش تا توان پنجم $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ را می‌دهد که درایه‌هایش عددهای فیبوناچی‌اند.

تحویل سطری و رتبه

شکل پلکانی سطری تحویل‌یافته با سه عملیات سطری به دست می‌آید: جابه‌جا کردن دو سطر، ضرب یک سطر در عددی ناصفر و افزودن مضربی از یک سطر به سطر دیگر. هدف این است که هر سطر ناصفر یک 1 پیشرو داشته باشد که بالا و پایینش صفر باشد. این شکل روش استاندارد حل دستگاه‌های خطی، یافتن پایه و آزمودن استقلال خطی است.

رتبه تعداد سطرهای ناصفر در شکل پلکانی سطری تحویل‌یافته است و با تعداد سطرهای (یا ستون‌های) مستقل خطی برابر است. ماتریس $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ پس از تحویل یک سطر صفر پیدا می‌کند، پس رتبه‌اش 2 است: سطر سوم ترکیبی از دو سطر نخست است.

ترانهاده و اثر

ترانهاده ماتریس را حول قطر اصلی برمی‌گرداند تا سطرها ستون شوند. در ضرب داخلی، برازش کمترین مربعات و تعریف ماتریس‌های متقارن ظاهر می‌شود؛ ماتریس متقارن ماتریسی است که با ترانهاده‌اش برابر باشد. اثر مجموع درایه‌های قطری یک ماتریس مربعی است؛ با مجموع مقدارهای ویژه برابر است و از این رو آزمونی سریع برای محاسبهٔ مقدارهای ویژه است.

اشتباه‌های رایج

ضرب درایه به درایهٔ ماتریس‌ها به جای ضرب سطر در ستون.
گمان اینکه $AB = BA$ ؛ ترتیب عامل‌ها مهم است.
تلاش برای جمع کردن ماتریس‌های با اندازه‌های متفاوت.
اشتباه در اندازهٔ حاصل‌ضرب؛ حاصل‌ضرب $m \times n$ در $n \times p$ برابر $m \times p$ است.
ضرب یک سطر در صفر هنگام تحویل سطری، که اطلاعات را از بین می‌برد.

نکته‌ها

پیش از ضرب، اندازهٔ هر ماتریس را کنارش بنویسید تا از وجود حاصل‌ضرب مطمئن شوید.
به جای اعشار گردشده از کسر استفاده کنید تا تحویل سطری دقیق بماند.
یکی از درایه‌ها را با دست حساب کنید تا حاصل‌ضرب را بیازمایید.
برای اینکه ببینید ماتریس مربعی وارون‌پذیر است یا نه، از ماشین‌حساب دترمینان استفاده کنید.
وقتی ماتریس از یک دستگاه خطی آمده است، از ماشین‌حساب دستگاه معادلات استفاده کنید.

پرسش‌های متداول

ماتریس را چگونه وارد کنم؟

درایه‌های یک سطر را با فاصله یا ویرگول و سطرها را با نقطه‌ویرگول از هم جدا کنید. مثلاً 1 2; 3 4 ماتریس 2×2 با سطرهای (1, 2) و (3, 4) است.

چرا ضرب ماتریس‌ها جابه‌جایی نیست؟

AB سطرهای A را با ستون‌های B ترکیب می‌کند، در حالی که BA سطرهای B را با ستون‌های A ترکیب می‌کند. این‌ها محاسبه‌های متفاوتی‌اند، پس نتیجه‌ها معمولاً فرق دارند و حتی ممکن است یکی از دو حاصل‌ضرب وجود داشته باشد و دیگری نه.

چه زمانی می‌توان دو ماتریس را در هم ضرب کرد؟

وقتی تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل‌ضرب به اندازهٔ ماتریس اول سطر و به اندازهٔ ماتریس دوم ستون دارد.

شکل پلکانی سطری تحویل‌یافته چیست؟

شکلی که در آن هر سطر ناصفر با یک 1 پیشرو آغاز می‌شود، هر 1 پیشرو در سمت راست عنصر پیشروِ سطر بالایی قرار دارد و سایر درایه‌های ستون هر 1 پیشرو صفرند.

رتبهٔ ماتریس چه چیزی را نشان می‌دهد؟

تعداد سطرها یا ستون‌های مستقل خطی را. برای ماتریس مربعی، رتبهٔ کامل یعنی ماتریس وارون‌پذیر است و دستگاه خطی متناظر جواب یکتا دارد.

آیا می‌توانم در ماتریس از کسر استفاده کنم؟

بله. درایه‌هایی مانند 1/2 را می‌توان وارد کرد و همهٔ نتیجه‌ها با کسرهای دقیق محاسبه می‌شوند.

اثر ماتریس چیست؟

مجموع درایه‌های قطر اصلی یک ماتریس مربعی. با مجموع مقدارهای ویژهٔ ماتریس هم برابر است.

عملیات ماتریسی خود را انجام دهید

ماتریس‌ها را در بالا وارد کنید تا آن‌ها را با کسرهای دقیق ضرب، تحویل یا تحلیل کنید و هر گام را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب ماتریس