جبر
حل معادله‌های خطی گام‌به‌گام
معادلهٔ خطی با خنثی کردن کارهایی که روی مجهول انجام شده، به ترتیب معکوس، و با برابر نگه داشتن دو طرف حل می‌شود. این راهنما این ایده را به روالی پنج‌گامی تبدیل می‌کند و همهٔ حالت‌های رایج را حل می‌کند.
راهنماها، درس‌ها و نکته‌های مطالعهٔ ریاضی
راهنماهایی که روشِ پشتِ مسئله‌های رایج را توضیح می‌دهند، با مثال‌های حل‌شده‌ای که می‌توانید در ماشین‌حساب‌ها وارسی کنید.
جبر
حل معادلهٔ درجهٔ دوم: تجزیه، مربع کامل کردن و فرمول
تجزیه وقتی جواب می‌دهد سریع‌ترین روش است، مربع کامل کردن نشان می‌دهد فرمول از کجا آمده و فرمول درجهٔ دوم همیشه کار می‌کند. اینجا می‌بینید چگونه انتخاب کنید، با مثال‌هایی که همه وارسی شده‌اند.
جبر
چگونه چندجمله‌ای‌ها را تجزیه کنیم: فهرست گام‌به‌گام روش‌ها
تجزیه، ضرب در جهت معکوس است. یک فهرست ثابت را به ترتیب دنبال کنید و از بزرگ‌ترین عامل مشترک شروع کنید؛ تقریباً هر چندجمله‌ای‌ای که در جبر می‌بینید به عامل‌های ساده تجزیه می‌شود.
جبر
چگونه دستگاه معادله‌ها را حل کنیم: رسم نمودار، جای‌گذاری و حذف
دستگاه معادله‌ها مقدارهایی را می‌خواهد که هم‌زمان در همهٔ معادله‌ها صدق کنند. جای‌گذاری و حذف هر دو برای هر دستگاه خطی کار می‌کنند؛ هنر کار انتخاب روشی است که محاسبهٔ کمتری لازم دارد.
جبر
ساده کردن عبارت‌های جبری گام‌به‌گام
ساده کردن یعنی بازنویسی یک عبارت به شکلی هم‌ارز و کوتاه‌تر، بی‌آنکه مقدارش برای هیچ ورودی مجازی تغییر کند. چند قاعده که با ترتیبی معقول به کار روند تقریباً همهٔ حالت‌ها را پوشش می‌دهند.
جبر
حل نامعادله‌ها و نوشتن پاسخ با نماد بازه‌ای
نامعادله‌ها تقریباً دقیقاً مانند معادله‌ها حل می‌شوند، با یک قاعدهٔ اضافه و نوع دیگری از پاسخ: بازه‌ای از مقدارها به جای یک عدد. این راهنما همهٔ نوع‌های رایج را پوشش می‌دهد.
جبر
مربع کامل کردن: راهنمای گام‌به‌گام
مربع کامل کردن، $x^2 + bx$ را به صورت یک مربع کامل منهای یک ثابت بازنویسی می‌کند. این روش هر معادلهٔ درجهٔ دومی را حل می‌کند، رأس سهمی را می‌دهد، فرمول معادلهٔ درجهٔ دوم را می‌سازد و در دایره‌ها و حسابان هم دوباره ظاهر می‌شود.
پیش‌حسابان
لگاریتم: تعریف، قانون‌ها و حل معادله
لگاریتم به یک پرسش پاسخ می‌دهد: پایه را به چه توانی برسانم تا این عدد به دست آید؟ هر قاعده و روشی در این راهنما از همین یک ایده نتیجه می‌شود.
پیش‌حسابان
چگونه دامنه و برد یک تابع را پیدا کنیم
دامنه همهٔ ورودی‌هایی است که تابع می‌پذیرد؛ برد همهٔ خروجی‌هایی است که تابع می‌تواند تولید کند. یافتن دامنه یعنی جست‌وجوی ورودی‌های ممنوع و یافتن برد یعنی پرسیدن اینکه کدام خروجی‌ها واقعاً دست‌یافتنی‌اند.
پیش‌حسابان
ترکیب توابع: چگونه f(g(x)) را پیدا کنیم و به کار ببریم
ترکیب توابع یعنی خروجی یک تابع را به تابع دیگری بدهیم. فرمول‌های پیچیده این‌گونه از قطعه‌های ساده ساخته می‌شوند و شناختن این قطعه‌ها برای تابع وارون و قاعدهٔ زنجیره‌ای در حسابان ضروری است.
پیش‌حسابان
تابع وارون: یافتن، رسم و وارسی وارون یک تابع
تابع وارون کاری را که تابع اصلی انجام می‌دهد خنثی می‌کند. اگر $f$ عدد 2 را به 7 ببرد، وارونش 7 را به 2 برمی‌گرداند. این راهنما توضیح می‌دهد وارون چه وقت وجود دارد، فرمولش را چگونه پیدا کنیم و چگونه آن را وارسی کنیم.
پیش‌حسابان
تابع‌های چندجمله‌ای: درجه، رفتار در دو انتها، صفرها و نمودار
چندجمله‌ای‌ها ساده‌ترین تابع‌ها پس از خط و سهمی‌اند و نمودارشان از چند قاعدهٔ قابل‌اعتماد پیروی می‌کند. وقتی درجه، ضریب پیشرو و صفرها را بدانید، تقریباً هر چندجمله‌ای را می‌توانید با دست رسم کنید.
مثلثات
دایرهٔ واحد: رادیان، زاویهٔ مرجع و مقدارهای دقیق مثلثاتی
دایرهٔ واحد مثلثات را از فهرستی از واقعیت‌ها برای حفظ کردن به تصویری تبدیل می‌کند که می‌توانید آن را بخوانید. هر زاویه با نقطه‌ای روی دایره متناظر است و مختصات آن نقطه کسینوس و سینوس زاویه‌اند.
مثلثات
اتحادهای مثلثاتی: فهرست ضروری و روش به کار بردن آن
اتحاد مثلثاتی تساوی‌ای است که برای هر زاویه‌ای که هر دو طرف در آن تعریف شده‌اند برقرار است. فهرستی کوتاه از اتحادها که همه از دایرهٔ واحد ساخته می‌شوند، امکان ساده‌سازی عبارت‌ها، یافتن مقدارهای دقیق، اثبات نتیجه‌ها و حل معادله‌ها را می‌دهد.
مثلثات
قانون سینوس‌ها، همراه با حالت مبهم
قانون سینوس‌ها می‌گوید در هر مثلث، هر ضلع تقسیم بر سینوس زاویهٔ روبه‌رویش عدد یکسانی می‌دهد. این قانون مثلث را وقتی دو زاویه و یک ضلع معلوم است حل می‌کند و با دقت، وقتی دو ضلع و زاویهٔ روبه‌روی یکی از آن‌ها معلوم است.
مثلثات
قانون کسینوس‌ها با مثال‌هایی روشن
قانون کسینوس‌ها قضیهٔ فیثاغورس را به همهٔ مثلث‌ها گسترش می‌دهد. وقتی دو ضلع و زاویهٔ میانشان را می‌دانید ضلع سوم را می‌دهد و وقتی هر سه ضلع را می‌دانید هر زاویه‌ای را پیدا می‌کند.
مثلثات
چگونه هر مثلثی را حالت به حالت حل کنیم
حل کردن مثلث یعنی یافتن هر سه ضلع و هر سه زاویه از روی اجزای داده‌شده. اینکه از کدام ابزار استفاده کنید به این بستگی دارد که کدام سه جزء را می‌دانید، پس گام نخست همیشه تشخیص حالت است.
حسابان
حد در حسابان: راهنمای کاربردی
حد مقداری را توصیف می‌کند که تابع با نزدیک شدن ورودی به عددی معین به آن نزدیک می‌شود، چه تابع واقعاً به آن مقدار برسد چه نرسد. حد پایهٔ مشتق، انتگرال و سری‌های نامتناهی است؛ بنابراین محاسبهٔ مطمئن حد نخستین مهارت واقعی حسابان است.
حسابان
مشتق چیست؟ مقدمه‌ای روشن
مشتق یک تابع می‌سنجد که خروجی آن با تغییر ورودی، در یک لحظهٔ مشخص، با چه سرعتی تغییر می‌کند. از نظر نموداری، مشتق شیب خط مماس است و از نظر جبری، حدِ آهنگ‌های متوسط تغییر روی بازه‌هایی است که مدام کوچک‌تر می‌شوند.
حسابان
قواعد مشتق‌گیری با مثال‌های حل‌شده
محاسبهٔ مشتق از روی تعریف حدی کند است. مجموعهٔ کوچکی از قاعده‌ها، که هر کدام یک بار از همان تعریف ثابت شده‌اند، به شما امکان می‌دهد تقریباً از هر فرمولی در چند سطر مشتق بگیرید. این راهنما هر قاعده، دلیل درستی آن و شیوهٔ ترکیب قاعده‌ها را توضیح می‌دهد.
حسابان
انتگرال چیست؟ توضیحی برای تازه‌کارها
انتگرال بی‌نهایت جزء کوچک را با هم جمع می‌کند تا یک مقدار کل به دست آید: مساحت، مسافت، حجم یا هر کمیت انباشته‌ای. قضیهٔ اساسی حسابان این فرایند جمع زدن را به پادمشتق‌ها پیوند می‌دهد و همین است که محاسبهٔ انتگرال را عملی می‌کند.
حسابان
انتگرال معین و انتگرال نامعین
انتگرال نامعین خانواده‌ای از توابع، یعنی پادمشتق‌هاست که با ثابت $+ C$ نوشته می‌شود. انتگرال معین کران‌های انتگرال‌گیری دارد و یک عدد واحد به دست می‌دهد: مساحتی علامت‌دار یا مقداری انباشته. قضیهٔ اساسی حسابان امکان می‌دهد دومی را از روی اولی محاسبه کنید.
حسابان
مشتق‌گیری ضمنی، گام به گام
مشتق‌گیری ضمنی dy/dx را برای منحنی‌هایی پیدا می‌کند که با معادله‌ای بر حسب x و y تعریف شده‌اند، بی‌آنکه نخست معادله را بر حسب y حل کنید. از دو طرف نسبت به x مشتق می‌گیرید، y را تابعی از x در نظر می‌گیرید تا قاعدهٔ زنجیره‌ای به کار آید، و سپس dy/dx را به دست می‌آورید.
حسابان
سری تیلور: تقریب توابع با چندجمله‌ای‌ها
سری تیلور یک تابع را به صورت چندجمله‌ای‌ای نامتناهی بازنویسی می‌کند که از مشتق‌های آن در یک نقطه ساخته شده است. بریدن سری پس از چند جمله، چندجمله‌ای تیلور را می‌دهد: تقریبی که محاسبه‌اش آسان است و خطایش را می‌توان کران‌دار کرد.
حسابان
آزمون‌های همگرایی سری‌ها، همراه با راهبردی برای انتخاب
سری نامتناهی وقتی همگراست که مجموع‌های جزئی‌اش به عددی متناهی نزدیک شوند. آزمون‌های همگرایی به جای محاسبهٔ آن عدد، تعیین می‌کنند که آیا اصلاً وجود دارد یا نه، و هر آزمون برای شکل خاصی از جمله مناسب است. مهارت واقعی دانستن این است که کدام آزمون به کدام سری می‌خورد.
جبر خطی
مبانی ماتریس: راهنمای مبتدیان برای ماتریس‌ها
ماتریس جدولی مستطیلی از عددهاست که در سطرها و ستون‌ها چیده شده‌اند. ماتریس‌ها داده‌ها را فشرده نگه می‌دارند و، مهم‌تر از آن، تبدیل‌های خطی و دستگاه‌های معادلات را نمایش می‌دهند. این راهنما نمادگذاری و عملیات اصلی را با توجه ویژه به ضرب ماتریس‌ها پوشش می‌دهد.
جبر خطی
چطور دترمینان یک ماتریس را پیدا کنیم
دترمینان عددی واحد است که از یک ماتریس مربعی محاسبه می‌شود. نشان می‌دهد ماتریس وارون‌پذیر است یا نه، مساحت‌ها و حجم‌ها را با چه ضریبی تغییر می‌دهد و آیا جهت را وارونه می‌کند. این راهنما همهٔ روش‌های استاندارد محاسبهٔ آن را با مثال‌های حل‌شده نشان می‌دهد.
جبر خطی
چطور وارون یک ماتریس را پیدا کنیم
وارون یک ماتریس مربعی کار آن ماتریس را خنثی می‌کند، همان‌طور که تقسیم کار ضرب را خنثی می‌کند. ماتریس دقیقاً وقتی وارون دارد که دترمینانش ناصفر باشد. این راهنما فرمول سریع 2 در 2، روش کلی گاوس-جردن و چگونگی حل دستگاه معادلات با وارون را پوشش می‌دهد.
جبر خطی
مقدارهای ویژه و بردارهای ویژه با مثال
بردار ویژهٔ یک ماتریس جهتی است که ماتریس فقط آن را می‌کشد یا وارونه می‌کند و هرگز نمی‌چرخاند، و مقدار ویژه ضریب این کشیدگی است. این دو رفتار اساسی ماتریس را آشکار می‌کنند و پایهٔ قطری‌سازی، تحلیل پایداری، زنجیره‌های مارکوف و فشرده‌سازی داده‌اند.
جبر خطی
ضرب داخلی به زبان ساده
ضرب داخلی دو بردار را به یک عدد تبدیل می‌کند که نشان می‌دهد آن دو تا چه اندازه در یک جهت‌اند. این ابزار یافتن زاویهٔ میان بردارها، وارسی عمود بودن، تصویر کردن یک بردار روی بردار دیگر و محاسبهٔ کار در فیزیک است.
جبر خطی
ضرب خارجی دو بردار به زبان ساده
ضرب خارجی دو بردار را در سه بعد در هم ضرب می‌کند و برداری تازه برمی‌گرداند که بر هر دو عمود است. طول آن برابر مساحت متوازی‌الاضلاعی است که دو بردار می‌سازند و همین آن را ابزار استاندارد بردار نرمال، مساحت، گشتاور و حجم می‌کند.
آمار
میانگین، میانه، مد و انحراف معیار: راهنمای کامل
میانگین، میانه و مد مرکز یک مجموعه‌داده را توصیف می‌کنند و دامنه و انحراف معیار میزان پراکندگی آن را. دانستن روش محاسبهٔ هر کدام و اینکه هر یک کی خلاصه‌ای صادقانه می‌دهد، پایهٔ آمار است.
آمار
چطور انحراف معیار را حساب کنیم (نمونه و جامعه)
انحراف معیار نشان می‌دهد مقدارهای داده معمولاً چقدر از میانگینشان فاصله دارند. این راهنما محاسبه را گام‌به‌گام پیش می‌برد، توضیح می‌دهد کی بر n و کی بر n منهای 1 تقسیم کنیم و نشان می‌دهد پس از به دست آوردن جواب چطور آن را بخوانیم.
آمار
مبانی احتمال: یک مقدمهٔ کاربردی
احتمال میزان محتمل بودن یک پیشامد را روی مقیاسی از 0 تا 1 می‌سنجد. چند قاعدهٔ محدود، برای متمم، اجتماع، پیشامدهای مستقل و وابسته و احتمال شرطی، بیشتر مسئله‌ها را حل می‌کنند و شناختن دام‌های کلاسیک جلوی بیشتر اشتباه‌ها را می‌گیرد.
آمار
نمرهٔ z با مثال‌های حل‌شده
نمرهٔ z می‌گوید یک مقدار چند انحراف معیار بالاتر یا پایین‌تر از میانگین است. این نمره امکان مقایسهٔ مقدارهای سنجیده‌شده در مقیاس‌های متفاوت را می‌دهد و برای داده‌های نرمال، هر مقدار را به صدک یا احتمال تبدیل می‌کند.
آمار
جایگشت و ترکیب به زبان ساده
جایگشت چیدمان‌هایی را می‌شمارد که ترتیب در آن‌ها مهم است و ترکیب انتخاب‌هایی را که ترتیب در آن‌ها مهم نیست. هر دو از اصل اساسی شمارش و فاکتوریل برمی‌آیند و پایهٔ محاسبهٔ احتمال‌ها از بازی‌های ورق تا بخت‌آزمایی‌اند.
راهنمای مطالعه
چگونه ریاضی را مؤثر مطالعه کنیم
ریاضی با انجام دادن آموخته می‌شود، نه با خواندن. جلسه‌های کوتاه و منظم حل فعال مسئله، که در طول زمان پخش شوند و موضوع‌های گوناگون را درهم بیامیزند، همراه با فهمیدن اینکه چرا هر روش کار می‌کند، مهارت‌هایی می‌سازند که تا امتحان و پس از آن ماندگارند.
راهنمای مطالعه
چگونه از اشتباه‌های بی‌دقتی در ریاضی پرهیز کنیم
اشتباه‌های بی‌دقتی به‌ندرت تصادفی‌اند. بیشترشان در چند دستهٔ پیش‌بینی‌پذیر جای می‌گیرند، مانند جا انداختن علامت منفی، خطای پخش کردن و بد خواندن صورت سؤال، و برای هر دسته عادتی مشخص وجود دارد که جلوی آن را می‌گیرد.
راهنمای مطالعه
چگونه تکلیف و پاسخ‌های ریاضی خود را وارسی کنیم
تقریباً هر پاسخ ریاضی را می‌توان بدون کلید پاسخ وارسی کرد. جای‌گذاری دوباره، کار کردن به عقب، تخمین، آزمودن مقدارهای خاص و وارسی یکاها بخش بزرگی از خطاها را در کسری از زمانی که خود حل گرفته بود پیدا می‌کنند.
راهنمای مطالعه
چگونه برای امتحان ریاضی آماده شویم
آمادگی مؤثر برای امتحان از چند هفته پیش آغاز می‌شود. مشخص کنید چه چیزی آزموده می‌شود، موضوع‌های ضعیف را تشخیص دهید، با آزمون‌های سال‌های پیش در زمان محدود تمرین کنید، زمان‌بندی خود را برنامه‌ریزی کنید و روزهای آخر را به مرور اختصاص دهید، نه یادگیری مطلب تازه.
راهنمای مطالعه
راهبردهای تمرین ریاضی که واقعاً جواب می‌دهند
همهٔ تمرین‌ها یکسان نیستند. تمرین مؤثر ریاضی ضعف‌های مشخص را هدف می‌گیرد، نوع مسئله‌ها را درهم می‌آمیزد، جلسه‌ها را در طول زمان پخش می‌کند، شیوهٔ ارائهٔ مسئله‌ها را تغییر می‌دهد و بازخورد سریع می‌گیرد تا هر ساعت مهارتی ماندگار بسازد، نه آشنایی کوتاه‌مدت.
راهنمای مطالعه
ریاضی SAT دیجیتال: قالب، موضوع‌ها و راهبرد
بخش ریاضی SAT دیجیتال 44 پرسش در دو ماژول تطبیقی 35 دقیقه‌ای دارد و در سراسر آن ماشین‌حساب مجاز است. این بخش جبر، ریاضیات پیشرفته، حل مسئله و تحلیل داده و هندسه و مثلثات را می‌سنجد و به جبر روان، استفادهٔ هوشمندانه از ماشین‌حساب و زمان‌بندی یکنواخت پاداش می‌دهد.
راهنمای مطالعه
ریاضی ACT: قالب، مباحث و راهبرد
بخش ریاضی ACT جدید 45 پرسش در 50 دقیقه دارد که هر کدام چهار گزینه دارند و در سراسر آن می‌توان از ماشین‌حساب مجاز استفاده کرد. این بخش از پیش‌جبر تا مثلثات را در بر می‌گیرد، پس تسلط گسترده و زمان‌بندی یکنواخت از هر مبحث پیشرفتهٔ منفردی مهم‌تر است.
راهنمای مطالعه
راهنمای آزمون حسابان AP در سطح AB و BC
آزمون‌های حسابان AP از بخش چندگزینه‌ای و بخش تشریحی تشکیل شده‌اند که هر کدام نیمی از نمره را دارند و هر دو قسمت‌هایی با ماشین‌حساب و بدون آن دارند. موفقیت به روانی در مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری، استدلال‌های روشن و تمرین با پرسش‌های تشریحی منتشرشده بستگی دارد.
چطور از این راهنماها استفاده کنید
هر مقالهٔ این وبلاگ یک ایده را از ابتدا تا انتها توضیح می‌دهد. با تعریف یا قاعده شروع می‌کند، فرمول اصلی را نشان می‌دهد و سپس چند مثال را سطر به سطر و کامل حل می‌کند تا ببینید هر گام چرا مجاز است، نه فقط جواب چیست. هر راهنما با پاسخ به پرتکرارترین پرسش‌های دانش‌آموزان دربارهٔ همان موضوع تمام می‌شود.
مقاله‌ها در هفت دسته مرتب شده‌اند که ترتیب معمول درس‌های دبیرستان و سال‌های اول دانشگاه را دنبال می‌کنند: جبر، پیش‌حسابان، مثلثات، حسابان، جبر خطی، آمار و راهنمای مطالعه. اگر برای درسی مرور می‌کنید، از دسته‌ای شروع کنید که با فصل فعلی‌تان می‌خواند و راهنماهایش را به ترتیب بخوانید؛ مقاله‌های بعدی ایده‌های مقاله‌های قبلی را پیش‌فرض می‌گیرند و به آن‌ها ارجاع می‌دهند.
هر مثال حل‌شده را می‌توان با ماشین‌حساب مربوط به آن وارسی کرد. اول هر مسئله را روی کاغذ امتحان کنید، بعد گام‌هایتان را با حل‌کننده مقایسه کنید. مثال‌های حل‌شدهٔ این راهنماها پیش از انتشار با آزمون‌های خودکار ریاضی بررسی می‌شوند و هر مقاله تاریخ آخرین به‌روزرسانی‌اش را نشان می‌دهد.