ضرب خارجی دو بردار به زبان ساده

ضرب خارجی چه می‌سازد

ضرب داخلی دو بردار را به یک عدد تبدیل می‌کند. ضرب خارجی که ضرب برداری هم نامیده می‌شود، دو بردار را به بردار سومی تبدیل می‌کند. این ضرب فقط در سه بعد تعریف شده است و حاصلش دو ویژگی تعیین‌کننده دارد. جهتش بر هر دو بردار اولیه عمود است و طولش برابر مساحت متوازی‌الاضلاعی است که آن دو می‌سازند:

در اینجا $\theta$ زاویهٔ میان بردارهاست، از 0 تا 180 درجه. چون سینوس 0 و 180 درجه صفر است، ضرب خارجی بردارهای موازی همیشه صفر است و بردارهای عمود بر هم، با اندازه‌های معین، بیشترین طول ممکن را می‌دهند.

فرمول مؤلفه‌ای

برای $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ و $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$، مؤلفه‌ها چنین‌اند:

به‌خاطرسپاری این فرمول دشوار است، پس بیشتر افراد به جای آن از یک دترمینان نمادین استفاده می‌کنند. بردارهای یکهٔ $\mathbf{i}$، $\mathbf{j}$ و $\mathbf{k}$ را در سطر اول بگذارید، سپس مؤلفه‌های $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ را، و در امتداد سطر اول بسط دهید:

همیشه با دو وارسی ضرب داخلی کار را تمام کنید. چند ثانیه وقت می‌گیرند و تقریباً هر خطای علامت را، به‌ویژه در مؤلفهٔ میانی، آشکار می‌کنند.

قاعدهٔ دست راست و ترتیب

دو جهت مخالف بر هر دو بردار عمودند و قاعدهٔ دست راست یکی را برمی‌گزیند. انگشتان دست راستتان را در امتداد $\mathbf{a}$ بگیرید و آن‌ها را به سوی $\mathbf{b}$ خم کنید؛ شستتان در امتداد $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ خواهد بود. برای بردارهای یکهٔ استاندارد این نتیجه می‌دهد $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$، $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ و $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

وارونه کردن ترتیب، شستتان را به سوی دیگر می‌برد، پس ضرب خارجی پادجابه‌جایی است:

این ضرب شرکت‌پذیر هم نیست: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$، در حالی که $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. اما نسبت به جمع توزیع‌پذیر است و ضریب‌های نرده‌ای را می‌توان بیرون کشید، پس $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

مساحت متوازی‌الاضلاع و مثلث

چون طول ضرب خارجی مساحت یک متوازی‌الاضلاع است، این ضرب مساحت را مستقیماً از مختصات می‌دهد. بردارهای مثال 1 متوازی‌الاضلاعی به مساحت $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$ می‌سازند و مثلثی با همین دو ضلع نصف این مساحت را دارد، یعنی حدود 3.67.

بردار نرمال و معادلهٔ صفحه

هر صفحه با یک نقطه روی آن و یک بردار نرمال عمود بر آن مشخص می‌شود. چون ضرب خارجی دو بردار واقع در یک صفحه بر هر دو عمود است، دقیقاً چنین نرمالی است. در مثال 2، بردار $(6, 3, 2)$ بر صفحهٔ گذرنده از $P$، $Q$ و $R$ عمود است، پس معادلهٔ صفحه $6x + 3y + 2z = d$ است. جایگذاری $P(1, 0, 0)$ نتیجه می‌دهد $d = 6$.

صفحه $6x + 3y + 2z = 6$ است و $Q$ و $R$ هم در آن صدق می‌کنند: $3 \cdot 2 = 6$ و $2 \cdot 3 = 6$. همین ایده پیوسته در گرافیک سه‌بعدی (3D) به کار می‌رود، جایی که هر مثلث یک مدل به بردار نرمالی نیاز دارد تا معلوم شود چگونه نور می‌گیرد و کدام رویش به سوی دوربین است.

گشتاور و دیگر کاربردهای فیزیکی

گشتاور، یعنی اثر چرخانندهٔ یک نیرو، یک ضرب خارجی است: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$، که در آن $\mathbf{r}$ از محور چرخش تا نقطهٔ اثر نیرو امتداد دارد. اندازهٔ آن $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$ است.

تکانهٔ زاویه‌ای و نیروی مغناطیسی وارد بر بار متحرک هم ضرب خارجی‌اند و در هر مورد قاعدهٔ دست راست جهت حاصل را می‌دهد.

ضرب سه‌گانهٔ نرده‌ای و حجم

ترکیب هر دو ضرب، ضرب سه‌گانهٔ نرده‌ای $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ را می‌دهد که برابر دترمینان $3 \times 3$ با سطرهای $\mathbf{a}$، $\mathbf{b}$ و $\mathbf{c}$ است. قدرمطلق آن حجم جعبهٔ کجی (متوازی‌السطوح) است که سه بردار می‌سازند. برای $(1, 0, 0)$، $(0, 2, 0)$ و $(0, 0, 3)$ جعبه یک مکعب‌مستطیل معمولی است و ضرب سه‌گانه $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ است. ضرب سه‌گانهٔ صفر یعنی سه بردار در یک صفحه قرار دارند.

ماشین‌حساب ضرب خارجی ضرب خارجی را با نمایش همهٔ گام‌های دترمینان حساب می‌کند و مساحت و زاویهٔ میان بردارها را هم گزارش می‌دهد. آن را همراه با ماشین‌حساب ضرب داخلی برای وارسی عمود بودن به کار ببرید.

فاصلهٔ نقطه از خط

تعبیر مساحتی یک مسئلهٔ کلاسیک فاصله را هم حل می‌کند. خطی را در نظر بگیرید که از نقطهٔ $A$ با بردار هادی $\mathbf{u}$ می‌گذرد و نقطهٔ $P$ را بیرون از خط. متوازی‌الاضلاعی که $\overrightarrow{AP}$ و $\mathbf{u}$ می‌سازند مساحت $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$ دارد و چون قاعده‌اش $|\mathbf{u}|$ است، ارتفاعش، که همان فاصلهٔ $P$ از خط است، برابر مساحت تقسیم بر قاعده است.

برای مثال، خط گذرنده از مبدأ در جهت $(1, 2, 2)$ و نقطهٔ $P(2, 1, 3)$ را در نظر بگیرید. ضرب خارجی $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ طول $\sqrt{26}$ دارد و طول بردار هادی 3 است، پس فاصله $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$ است. می‌توانید این را با تصویر هم تأیید کنید: فاصلهٔ نقطه از مبدأ $\sqrt{14}$ است و تصویرش در امتداد خط طول $\frac{10}{3}$ دارد، و قضیهٔ فیثاغورس همان فاصله را می‌دهد.

اشتباه‌های رایج و تمرین

• فراموش کردن علامت منفی مؤلفهٔ میانی هنگام بسط دترمینان.
• وارونه کردن ترتیب بردارها که جهت جواب را برعکس می‌کند.
• در نظر گرفتن طول ضرب خارجی به عنوان مساحت مثلث به جای نصف آن.
• تلاش برای گرفتن ضرب خارجی بردارهای دوبعدی بدون افزودن مؤلفهٔ سوم صفر.

برای تمرین، وارسی کنید که $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$ که همان قاعدهٔ $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ است. سپس تأیید کنید که $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ بردار صفر است، چون بردار دوم دو برابر اولی است. در پایان، $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$ را حساب کنید؛ باید $(1, -1, 1)$ به دست آورید و هر دو وارسی ضرب داخلی باید صفر شوند.

چرا فرمول برداری عمود می‌دهد

به جای اینکه فقط به فرمول مؤلفه‌ای اعتماد کنید، ارزش دارد ببینید چرا درست است. حاصل را در خود $\mathbf{a}$ ضرب داخلی کنید: $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$ به دست می‌آید. پرانتزها را باز کنید؛ هر جمله دو بار با علامت‌های مخالف ظاهر می‌شود، پس مجموع دقیقاً صفر است. همین حذف هنگام ضرب داخلی در $\mathbf{b}$ هم رخ می‌دهد. به زبان دترمینان، ضرب داخلی در $\mathbf{a}$ سطر بردارهای یکه را با $\mathbf{a}$ جایگزین می‌کند و دترمینانی با دو سطر برابر می‌سازد که همیشه صفر است. به هر روی، عمود بودن در خود فرمول نهفته است و تصادفِ چند مثال خاص نیست.

پرسش‌های متداول