ماشین‌حساب انتگرال: پادمشتق‌ها و انتگرال‌های معین

Q: فرق انتگرال معین و نامعین چیست؟

انتگرال نامعین خانوادهای از تابعها به شکل F(x) + C است. انتگرال معین دو کران دارد و یک عدد است: مساحت علامتدار میان منحنی و محور x.

Q: چه روشهای انتگرالگیری پشتیبانی میشوند؟

خطی بودن، قاعدهٔ توان، انتگرالهای جدولی استاندارد، جانشانی خطی و جانشانی کلی u، انتگرالگیری جزءبهجزء (از جمله حالتهای تکراری و جدولی) و کسرهای جزئی برای مخرجهای درجهٔ دوم.

Q: چرا + C وجود دارد؟

همهٔ تابعهایی که مشتقشان f است با یک ثابت با هم فرق دارند، پس انتگرال نامعین شامل یک ثابت دلخواه C است.

Q: اگر پادمشتقی پیدا نشود چه میشود؟

ماشینحساب به جای حدس زدن همین را میگوید. اگر دو کران داده باشید، انتگرال معین را با قاعدهٔ سیمپسون تطبیقی بهطور عددی حساب میکند و پاسخ را تقریبی علامت میزند.

Q: آیا میتوانم pi را کران انتگرال قرار دهم؟

بله. کرانها میتوانند عدد یا عبارتهایی مانند pi یا pi/2 یا e باشند.

Q: آیا انتگرالهای ناسره را هم حل میکند؟

هنوز نه. اگر تابع زیر انتگرال درون بازه تعریفنشده یا بینهایت باشد، ماشینحساب به جای برگرداندن عددی گمراهکننده اعلام میکند که انتگرال ناسره است.

Q: در جزءبهجزء u را چطور انتخاب کنم؟

عاملی را انتخاب کنید که با مشتقگیری سادهتر میشود، که معمولاً چندجملهای یا لگاریتم است، و dv را عاملی بگیرید که انتگرالش آسان است. در ∫ x e^x dx قرار دهید u = x و dv = e^x dx.

Q: انتگرال 1/(x^2 + 1) چیست؟

تانژانت وارون است: ∫ 1/(x^2 + 1) dx = arctan x + C. ماشینحساب این شکل استاندارد و شکل کلیاش 1/(a^2 + u^2) را تشخیص میدهد.

دربارهٔ ماشین‌حساب انتگرال

انتگرال‌گیری عکس مشتق‌گیری است: پادمشتق $F$ از تابع $f$ در $F'(x) = f(x)$ صدق می‌کند. انتگرال معین $\int_a^b f(x)\,dx$ مساحت علامت‌دار را جمع می‌زند و بنا بر قضیهٔ اساسی حسابان برابر $F(b) - F(a)$ است.

ماشین‌حساب روش‌های استاندارد را به ترتیب امتحان می‌کند: خطی بودن و قاعدهٔ توان، انتگرال‌های جدولی شناخته‌شده، جانشانی، انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء و کسرهای جزئی برای تابع‌های گویای ساده. سپس خودش از پاسخش مشتق می‌گیرد تا از درستی آن مطمئن شود. برخی تابع‌ها، مانند $e^{x^2}$ ، پادمشتق مقدماتی ندارند؛ برای این‌ها انتگرال معین همچنان به‌طور عددی حساب و به همین عنوان مشخص می‌شود.

برای انتگرال نامعین هر دو کران را خالی بگذارید یا برای انتگرال معین هر دو را پر کنید.

انتگرال چیست؟

انتگرال‌گیری عکس مشتق‌گیری است و در عین حال راهی برای جمع زدن بی‌نهایت تکهٔ کوچک. پادمشتق $f$ تابعی مانند $F$ است که مشتقش $f$ باشد: چون $\frac{d}{dx}\frac{x^3}{3} = x^2$ ، تابع $\frac{x^3}{3}$ یک پادمشتق $x^2$ است. انتگرال نامعین $\int f(x)\,dx$ نماد کل خانوادهٔ پادمشتق‌هاست که با یک ثابت با هم فرق دارند و $+ C$ از همین جا می‌آید.

انتگرال معین $\int_a^b f(x)\,dx$ اما یک عدد است: مساحت علامت‌دار میان نمودار $f$ و محور x از $a$ تا $b$ ، که در آن مساحت زیر محور منفی شمرده می‌شود. این انتگرال به صورت حد مجموع‌های ریمان تعریف می‌شود: بازه به نوارهای باریک تقسیم و مساحت مستطیل‌ها جمع زده می‌شود. قضیهٔ اساسی حسابان این دو ایده را به هم پیوند می‌دهد: اگر $F$ هر پادمشتقی از $f$ باشد، آنگاه $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

انتگرال‌ها مقدارهای کل را از آهنگ‌ها به دست می‌دهند: مسافت از سرعت، کار از نیرو، جرم از چگالی، احتمال از منحنی چگالی و درآمد انباشته از آهنگ فروش.

چگونه از ماشین‌حساب انتگرال استفاده کنیم

تابع زیر انتگرال را وارد کنید، مانند x*e^x یا 2x*cos(x^2). می‌توانید ∫ … dx را هم بنویسید؛ برای انتگرال مثلاً از 0 تا 1، خانه‌های «کران پایین» و «کران بالا» را پر کنید.
برای گرفتن پادمشتق هر دو کران را خالی بگذارید یا برای انتگرال معین هر دو را وارد کنید. استفاده از pi و e مجاز است.
دکمهٔ «انتگرال بگیر» را بزنید تا روش به‌کاررفته و پادمشتق را ببینید؛ در انتگرال‌های معین جایگذاری کران‌ها را هم می‌بینید.

فرمول‌ها

قاعدهٔ توان

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1

جانشانی

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء

\int u\,dv = uv - \int v\,du

قضیهٔ اساسی

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

مثال حل‌شده: ∫ x·eˣ dx

مثال حل‌شده $\int x e^x\,dx$ را پیدا می‌کند. تابع زیر انتگرال یک چندجمله‌ای ضرب در یک تابع نمایی است که نمونهٔ کلاسیک انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء است. ماشین‌حساب از روش جدولی استفاده می‌کند: از $x$ آن‌قدر مشتق می‌گیرد تا به 0 برسد (به ترتیب $x$ و 1 و 0)، از $e^x$ به همان تعداد انتگرال می‌گیرد و حاصل‌ضرب‌های قطری را با علامت‌های یک‌درمیان جمع می‌زند تا $xe^x - e^x$ به دست آید. پس از فاکتورگیری، حاصل $e^x(x - 1) + C$ می‌شود. نتیجه با مشتق‌گیری عددی و مقایسه با $xe^x$ در چند نقطه بررسی می‌شود.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

{e}^{x} \left( x-1\right) + C

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

انتگرال نامعین (پادمشتق) xe^x را نسبت به x پیدا کنید.

\int x {e}^{x}\,dx

راه‌حل گام‌به‌گام

با انتگرال شروع کنید
$\int x {e}^{x}\,dx$
انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء (روش جدولی)
از چندجمله‌ای x آن‌قدر مشتق بگیرید تا به 0 برسد، از e^x به همان تعداد بار انتگرال بگیرید و نتیجه‌ها را با علامت‌های یک‌درمیان ترکیب کنید.
$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
حاصل‌ضرب‌های با علامت یک‌درمیان را ترکیب کنید
$\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right)$
ساده کنید و ثابت انتگرال‌گیری را اضافه کنید
$\int x {e}^{x}\,dx = {e}^{x} \left( x-1\right) + C$

فرمول‌های به‌کاررفته

قاعدهٔ توانِ توان
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ n \neq -1$

پادمشتق F در F′(x) = f(x) صدق می‌کند. چون مشتق هر ثابتی 0 است، هر دو پادمشتق به اندازهٔ یک ثابت با هم فرق دارند C.

بررسی‌ها

از پاسخ مشتق گرفتیم و آن را در 8 نقطهٔ نمونه با تابع زیر انتگرال مقایسه کردیم ✓

توضیح کامل

انتخاب روش

هیچ الگوریتم واحدی نیست که بتوانید برای هر انتگرالی با دست اجرا کنید، پس مهارت اصلی تشخیص الگوست. با خطی بودن شروع کنید: جمع‌ها را جدا و ضریب‌های ثابت را بیرون بکشید، سپس از جدول انتگرال‌های پایه برای توان‌ها، تابع‌های نمایی، $\frac1x$ و تابع‌های مثلثاتی استفاده کنید. اگر بخشی از تابع زیر انتگرال مشتق بخش دیگری است، جانشانی را امتحان کنید. اگر حاصل‌ضرب دو نوع متفاوت تابع است، مانند چندجمله‌ای و تابع نمایی یا چندجمله‌ای و سینوس، جزءبه‌جزء را امتحان کنید. تابع‌های گویا کسرهای جزئی را می‌طلبند و شکل‌هایی مانند $\frac{1}{x^2 + 1}$ به تابع‌های وارون مثلثاتی می‌رسند.

ماشین‌حساب این روش‌ها را با ترتیبی مشابه امتحان می‌کند و نام روشی را که جواب داد ذکر می‌کند، پس گام‌هایش راهنمایی هم هستند برای اینکه دفعهٔ بعد سراغ کدام روش بروید.

جانشانی گام‌به‌گام

جانشانی عکس قاعدهٔ زنجیره‌ای است. در $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ تابع درونی $x^2$ است و مشتقش $2x$ به صورت یک عامل ظاهر شده است، پس $u = x^2$ و $du = 2x\,dx$ قرار دهید. انتگرال به $\int \cos u\,du = \sin u$ تبدیل می‌شود و جایگذاری دوباره $\sin(x^2) + C$ را می‌دهد. ماشین‌حساب هر یک از این سطرها را نشان می‌دهد. اگر مشتق تابع درونی فقط با یک ضریب ثابت ظاهر شود، مانند $x\cos(x^2)$ ، همان جانشانی پس از تنظیم با عامل $\frac12$ کار می‌کند.

انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء و روش جدولی

انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء عکس قاعدهٔ ضرب است: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ . برای $u$ عاملی را انتخاب کنید که با مشتق‌گیری ساده‌تر می‌شود، که معمولاً چندجمله‌ای است، و برای $dv$ عاملی را که انتگرالش آسان است. وقتی $u$ چندجمله‌ای از درجهٔ $n$ باشد، تکرار این کار به تعداد $n$ بار آن را به صفر می‌رساند و روش جدولی این تکرارها را در دو ستون مرتب می‌کند. به همین دلیل مثال حل‌شده پس از دو سطر تمام می‌شود: مشتق $x$ برابر 1 و سپس 0 است.

انتگرال‌های معین و کران‌ها

کران پایین و بالا را پر کنید تا مسئله به انتگرال معین تبدیل شود. ماشین‌حساب ابتدا پادمشتقی پیدا می‌کند و سپس قضیهٔ اساسی را به کار می‌برد: در $\int_0^3 x^2\,dx$ از $F(x) = \frac{x^3}{3}$ استفاده می‌کند و $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$ را حساب می‌کند. کران‌ها می‌توانند عبارت‌هایی مانند pi/2 باشند. اگر فقط به عدد نیاز دارید، ماشین‌حساب اختصاصی انتگرال معین حتی وقتی پادمشتق مقدماتی وجود ندارد هم کار می‌کند، چون مساحت را به‌طور عددی حساب می‌کند.

وقتی پادمشتق مقدماتی وجود ندارد

برخی تابع‌های ساده‌نما، مانند $e^{x^2}$ و $\frac{\sin x}{x}$ و $\sqrt{1 + x^3}$ ، پادمشتق‌هایی دارند که نمی‌توان آن‌ها را با ترکیبی متناهی از چندجمله‌ای‌ها، ریشه‌ها، تابع‌های نمایی، لگاریتم‌ها و تابع‌های مثلثاتی نوشت. این یک واقعیت اثبات‌شده است، نه کاستی روش. برای این ورودی‌ها ماشین‌حساب به جای ساختن پاسخی ساختگی اعلام می‌کند که پادمشتقی پیدا نکرد، و انتگرال معین روی یک بازهٔ مشخص همچنان به‌طور عددی قابل محاسبه است.

برای مثال، ماشین‌حساب انتگرال معین $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ را به‌طور عددی حساب می‌کند و نتیجه را تقریبی علامت می‌زند.

چرا ثابت انتگرال‌گیری مهم است

چون مشتق هر ثابتی صفر است، تابع‌های $\frac{x^3}{3}$ و $\frac{x^3}{3} + 5$ و $\frac{x^3}{3} - 2$ همگی مشتق $x^2$ دارند. نمودارهایشان انتقال‌های عمودی یکدیگرند و جملهٔ $+ C$ کل این خانواده را ثبت می‌کند. ثابت وقتی مشخص می‌شود که اطلاعات اضافه‌ای به نام شرط اولیه در دست باشد. اگر سرعت $v(t) = 2t$ و مکان در لحظهٔ 0 برابر 4 باشد، انتگرال‌گیری $s(t) = t^2 + C$ را می‌دهد و شرط $s(0) = 4$ مقدار $C = 4$ را تحمیل می‌کند. در انتگرال معین، ثابت در $F(b) - F(a)$ حذف می‌شود و به همین دلیل هرگز در پاسخ عددی ظاهر نمی‌شود.

مساحت علامت‌دار و مساحت کل

انتگرال معین مساحت بالای محور x را مثبت و مساحت زیر آن را منفی حساب می‌کند. روی یک دورهٔ کامل، $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$ است، با اینکه منحنی مساحت مثبتی را در بر می‌گیرد: گنبد بالای محور و فرورفتگی زیر آن دقیقاً یکدیگر را خنثی می‌کنند. وقتی مسئله مساحت کل میان منحنی و محور را می‌خواهد، جاهایی را که علامت تابع عوض می‌شود پیدا کنید، از هر تکه جداگانه انتگرال بگیرید و قدرمطلق‌ها را جمع بزنید. برای $\sin x$ روی $[0, 2\pi]$ این کار $2 + 2 = 4$ را می‌دهد.

همین تفاوت در مسئله‌های حرکت هم دیده می‌شود. انتگرال سرعت برداری تغییر خالص مکان را می‌دهد، در حالی که انتگرال تندی، یعنی قدرمطلق سرعت برداری، کل مسافت پیموده‌شده را می‌دهد.

خواندن گام‌ها

هر گام یک تبدیل انتگرال را نشان می‌دهد، با قاعده یا مدخل جدول در عنوان و فرمول زیر آن. گام‌های خطی بودن مسئله را به انتگرال‌های کوچک‌تری می‌شکنند که یکی‌یکی حل و سپس دوباره جمع زده می‌شوند، پس تابع زیر انتگرالِ طولانی فهرست بلندتری از گام‌های کوتاه می‌سازد، نه یک جهش بزرگ. وقتی جانشانی به کار می‌رود، سطری که $u$ را معرفی می‌کند $du$ را هم نشان می‌دهد و همان جاست که می‌بینید چرا روش کار می‌کند. گام آخر همیشه در انتگرال نامعین ثابت انتگرال‌گیری را اضافه می‌کند یا در انتگرال معین کران‌ها را جایگذاری می‌کند.

اشتباه‌های رایج

فراموش کردن ثابت انتگرال‌گیری $+\,C$ در انتگرال‌های نامعین.
به کار بردن قاعدهٔ توان برای $\int x^{-1}dx$ ؛ پاسخ $\ln|x| + C$ است.
تنظیم نکردن با مشتق تابع درونی: $\int \cos 2x\,dx = \frac12\sin 2x + C$ .
انتگرال‌گیری از روی یک مجانب عمودی، مانند $\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx$ ، انگار انتگرالی معمولی است.
فراموش کردن تغییر متغیر یا برگرداندن آن پس از جانشانی.
انتگرال حاصل‌ضرب را حاصل‌ضرب انتگرال‌ها گرفتن؛ $\int x e^x\,dx$ برابر $\frac{x^2}{2}e^x$ نیست.

نکته‌ها

دنبال تابعی و مشتقش بگردید که با هم ظاهر شده‌اند؛ این نشانهٔ جانشانی است.
در جزءبه‌جزء، برای $u$ عاملی را انتخاب کنید که با مشتق‌گیری ساده‌تر می‌شود (به ترتیب: لگاریتمی، وارون مثلثاتی، جبری، مثلثاتی، نمایی).
هر پادمشتقی را با مشتق‌گیری بررسی کنید.
هر پادمشتقی را با مشتق‌گیری بررسی کنید؛ باید دقیقاً به تابع زیر انتگرال برگردید.
دنبال مشتق یک تابع درونی در تابع زیر انتگرال بگردید؛ این نشانهٔ جانشانی است.
در جزءبه‌جزء، $u$ را به این ترتیب انتخاب کنید: لگاریتمی، سپس وارون مثلثاتی، سپس جبری، سپس مثلثاتی، سپس نمایی.

پرسش‌های متداول

فرق انتگرال معین و نامعین چیست؟

انتگرال نامعین خانواده‌ای از تابع‌ها به شکل $F(x) + C$ است. انتگرال معین دو کران دارد و یک عدد است: مساحت علامت‌دار میان منحنی و محور x.

چه روش‌های انتگرال‌گیری پشتیبانی می‌شوند؟

خطی بودن، قاعدهٔ توان، انتگرال‌های جدولی استاندارد، جانشانی خطی و جانشانی کلی u، انتگرال‌گیری جزءبه‌جزء (از جمله حالت‌های تکراری و جدولی) و کسرهای جزئی برای مخرج‌های درجهٔ دوم.

چرا + C وجود دارد؟

همهٔ تابع‌هایی که مشتقشان $f$ است با یک ثابت با هم فرق دارند، پس انتگرال نامعین شامل یک ثابت دلخواه $C$ است.

اگر پادمشتقی پیدا نشود چه می‌شود؟

ماشین‌حساب به جای حدس زدن همین را می‌گوید. اگر دو کران داده باشید، انتگرال معین را با قاعدهٔ سیمپسون تطبیقی به‌طور عددی حساب می‌کند و پاسخ را تقریبی علامت می‌زند.

آیا می‌توانم pi را کران انتگرال قرار دهم؟

بله. کران‌ها می‌توانند عدد یا عبارت‌هایی مانند pi یا pi/2 یا e باشند.

آیا انتگرال‌های ناسره را هم حل می‌کند؟

هنوز نه. اگر تابع زیر انتگرال درون بازه تعریف‌نشده یا بی‌نهایت باشد، ماشین‌حساب به جای برگرداندن عددی گمراه‌کننده اعلام می‌کند که انتگرال ناسره است.

در جزءبه‌جزء u را چطور انتخاب کنم؟

عاملی را انتخاب کنید که با مشتق‌گیری ساده‌تر می‌شود، که معمولاً چندجمله‌ای یا لگاریتم است، و $dv$ را عاملی بگیرید که انتگرالش آسان است. در $\int x e^x\,dx$ قرار دهید $u = x$ و $dv = e^x\,dx$ .

از کجا بفهمم کی از جانشانی استفاده کنم؟

دنبال تابعی درون تابع دیگر بگردید که مشتقش هم به صورت یک عامل ظاهر شده باشد. در $\int 2x\cos(x^2)\,dx$ مشتق تابع درونی $x^2$ برابر $2x$ است، پس جانشانی $u = x^2$ کار می‌کند.

انتگرال 1/(x^2 + 1) چیست؟

تانژانت وارون است: $\int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$ . ماشین‌حساب این شکل استاندارد و شکل کلی‌اش $\frac{1}{a^2 + u^2}$ را تشخیص می‌دهد.

از تابعتان انتگرال بگیرید

تابعی را در بالا وارد کنید، با کران‌های انتگرال یا بدون آن‌ها، تا روش به‌کاررفته و پادمشتقِ بررسی‌شده را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید