ماشین‌حساب مشتق‌گیری ضمنی: محاسبهٔ dy/dx با همهٔ گام‌ها

Q: چه زمانی باید از مشتقگیری ضمنی استفاده کنم؟

وقتی y و x با معادلهای به هم مربوطاند که حل آن برای y دشوار یا ناممکن است، مانند x³ + y³ = 6xy، یا وقتی حل برای y خم را به چند شاخه تقسیم میکند، مانند دایرهها و بیضیها.

Q: آیا میتواند از معادلههای شامل sin y یا e^y مشتق بگیرد؟

بله. هر عبارت مشتقپذیری از x و y کار میکند. جملههایی مانند sin y و e^y با قاعدهٔ زنجیرهای در y′ ضرب میشوند، پس از sin y = x نتیجه میشود dy/dx = 1/cos y.

Q: صفر بودن مخرج dy/dx چه معنایی دارد؟

اگر صورت همزمان صفر نباشد، خط مماس در آن نقطه قائم است. روی x² + y² = 25 این در (5, 0) و (−5, 0) رخ میدهد.

Q: آیا مشتقگیری ضمنی همان استفاده از مشتقهای جزئی است؟

هر دو پاسخ یکسانی میدهند. روش گامبهگام مستقیماً قاعدهٔ زنجیرهای را به کار میبرد، در حالی که فرمول dy/dx = −F_x/F_y از مشتقهای جزئی F(x, y) استفاده میکند. ماشینحساب اولی را برای نمایش روند و دومی را برای آزمون به کار میبرد.

Q: آیا این ماشینحساب d²y/dx² را پیدا میکند؟

ماشینحساب مشتق اول را میدهد. برای مشتق دوم، با قاعدهٔ خارجقسمت دوباره از فرمول dy/dx مشتق بگیرید، به یاد داشته باشید که y همچنان به x وابسته است، و هر y′ را که ظاهر میشود با عبارت مشتق اول جایگزین کنید.

دربارهٔ ماشین‌حساب مشتق‌گیری ضمنی

بسیاری از خم‌ها را نمی‌توان به شکل ساده‌ای مانند $y = f(x)$ نوشت. دایره‌ای مانند $x^2 + y^2 = 25$ از آزمون خط قائم رد می‌شود و خمی مانند برگ دکارت $x^3 + y^3 = 6xy$ اصلاً عبارت راحتی برای $y$ ندارد. با این حال این خم‌ها تقریباً در همهٔ نقطه‌ها شیب دارند و مشتق‌گیری ضمنی روشی است برای یافتن این شیب‌ها بدون اینکه ابتدا $y$ را به دست آورید.

این ماشین‌حساب روش را دقیقاً همان‌گونه که در کلاس آموزش داده می‌شود اجرا می‌کند. $y$ را تابعی نامعلوم از $x$ در نظر می‌گیرد، از دو طرف معادله نسبت به $x$ مشتق می‌گیرد و با قاعدهٔ زنجیره‌ای هر جملهٔ شامل $y$ را در $y'$ ضرب می‌کند. سپس جمله‌های دارای $y'$ را در یک طرف جمع می‌کند، $y'$ را فاکتور می‌گیرد و تقسیم می‌کند تا $\frac{dy}{dx}$ بر حسب $x$ و $y$ به دست آید.

اگر نقطه‌ای از خم را بدهید، ماشین‌حساب آن را جای‌گذاری می‌کند، شیب را به‌صورت عدد می‌دهد و معادلهٔ خط مماس در آن نقطه را می‌نویسد. فرمول نهایی همچنین به‌طور مستقل با $-\frac{F_x}{F_y}$ (پیش‌بینی مشتق‌های جزئی) مقایسه می‌شود، پس پیش از نوشتن پاسخ در تکلیف می‌توانید از درستی آن مطمئن شوید.

مشتق‌گیری ضمنی چیست؟

معادله‌ای مانند $x^2 + y^2 = 25$ متغیر $y$ را به‌طور ضمنی تعریف می‌کند: به جای اینکه $y$ را مستقیم بدهد، رابطه‌ای میان $x$ و $y$ را توصیف می‌کند. نزدیک بیشتر نقطه‌های خم، $y$ همچنان مانند تابعی از $x$ رفتار می‌کند، حتی اگر نتوانید آن تابع را بنویسید. مشتق‌گیری ضمنی مشتق آن را مستقیماً از خود رابطه به دست می‌آورد.

نکتهٔ کلیدی قاعدهٔ زنجیره‌ای است. اگر $y$ به $x$ وابسته باشد، مشتق $y^2$ نسبت به $x$ برابر $2y$ نیست، بلکه $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ است. همین برای $\sin y$ ، $e^y$ یا هر عبارت دیگری از $y$ برقرار است: طبق معمول مشتق بگیرید و سپس در $y'$ ضرب کنید. جمله‌هایی که فقط $x$ دارند به‌طور عادی مشتق گرفته می‌شوند و ثابت‌ها حذف می‌شوند.

نتیجه معمولاً هم $x$ و هم $y$ را دارد، مانند $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ . این انتظار می‌رود و درست است. یک مقدار $x$ ممکن است به چند نقطه از خم مربوط باشد که شیب‌های متفاوتی دارند، پس فرمول برای مشخص کردن نقطهٔ مورد نظر به مختص $y$ نیاز دارد.

روش استفاده از ماشین‌حساب مشتق‌گیری ضمنی

معادله‌ای شامل x و y با تنها یک علامت مساوی وارد کنید، مثلاً x^2 + y^2 = 25 یا x^3 + y^3 = 6 x y.
ضرب میان حرف‌ها را با فاصله یا * نشان دهید، پس حاصل‌ضرب x و y را به صورت x y یا x*y بنویسید.
در صورت تمایل نقطه‌ای از خم را وارد کنید، مثلاً x = 3, y = 4، تا شیب و خط مماس در آن نقطه را بگیرید.
روی «dy/dx را پیدا کن» بزنید تا مشتق‌گیری از هر طرف، جمع کردن جمله‌های y′ و فرمول نهایی را ببینید.
اگر نقطه‌ای داده‌اید، شیب و معادلهٔ خط مماس را از گام‌های پایانی بخوانید.

فرمول‌ها

قاعدهٔ زنجیره‌ای برای جمله‌های شامل y

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

قاعدهٔ ضرب با y

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

میان‌بر با مشتق‌های جزئی

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

خط مماس در (x₀, y₀)

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

مثال حل‌شده: x² + y² = 25 در (3, 4)

مثال زیر که به‌صورت زنده محاسبه می‌شود، دایرهٔ $x^2 + y^2 = 25$ را در نقطهٔ $(3, 4)$ بررسی می‌کند. مشتق‌گیری از دو طرف $2x + 2y\,y' = 0$ را می‌دهد که جملهٔ $2y\,y'$ از قاعدهٔ زنجیره‌ای می‌آید. با بردن $2x$ به طرف دیگر و تقسیم بر $2y$ به $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ می‌رسیم.

در $(3, 4)$ شیب برابر $-\frac34 = -0.75$ است، پس خط مماس $y - 4 = -0.75(x - 3)$ است. هندسه هم این را تأیید می‌کند: شیب شعاعی که به $(3, 4)$ می‌رسد $\frac43$ است و مماس دایره بر شعاع عمود است، پس شیب مماس باید قرینهٔ وارون آن، یعنی $-\frac34$ ، باشد.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{شیب در نقطه} = -0.75

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

dy/dx را برای منحنی‌ای که به‌طور ضمنی تعریف شده پیدا کنید و y را تابعی مشتق‌پذیر از x در نظر بگیرید.

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

راه‌حل گام‌به‌گام

y را تابعی از x در نظر بگیرید و از دو طرف نسبت به x مشتق بگیرید
هر جمله‌ای که شامل y است به قاعدهٔ زنجیره‌ای نیاز دارد: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′.
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
نتیجهٔ مشتق‌گیری از هر طرف
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
جمله‌های y′ را در یک طرف جمع کنید
همهٔ جمله‌های y′ را به چپ و بقیه را به راست ببرید، سپس از y′ فاکتور بگیرید.
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
برای جدا کردن y′ تقسیم کنید
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
جایگذاری x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
خط مماس در نقطه
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

فرمول‌های به‌کاررفته

قاعدهٔ زنجیره‌ای برای y
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
فرمول تابع ضمنی
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

مشتق گرفتن از دو طرف تساوی را حفظ می‌کند؛ چون y به x وابسته است، هر جملهٔ دارای y یک عامل y′ می‌سازد که سپس به روش جبری بر حسب آن حل می‌شود. نتیجه معمولاً هم x و هم y را در بر دارد.

بررسی‌ها

با −F_x / F_y حاصل از یک مشتق‌گیر نمادین مستقل در چند نقطهٔ نمونه یکی است ✓
(3, 4) روی منحنی قرار دارد ✓

توضیح کامل

روش در چهار گام

گام یک: از هر جمله در دو طرف نسبت به $x$ مشتق بگیرید. گام دو: هر جمله‌ای که $y$ دارد پس از مشتق‌گیری در $y'$ ضرب می‌شود و هر جا $x$ و $y$ در هم ضرب شده‌اند قاعدهٔ ضرب را به کار ببرید. گام سه: همهٔ جمله‌های دارای $y'$ را به یک طرف و بقیه را به طرف دیگر ببرید. گام چهار: $y'$ را فاکتور بگیرید و بر آنچه باقی می‌ماند تقسیم کنید.

در $x^3 + y^3 = 6xy$ ، چون طرف راست حاصل‌ضرب است، دو گام نخست $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ را می‌دهند. جمع کردن جمله‌ها $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ را می‌دهد، پس $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ . ماشین‌حساب دقیقاً همین روند را نشان می‌دهد.

چرا قاعدهٔ زنجیره‌ای y′ را پدید می‌آورد

$y$ را به صورت $y(x)$ در نظر بگیرید، تابعی که آن را نمی‌بینید. در این صورت $y^3$ در واقع یک ترکیب است، یعنی مکعب $y(x)$ ، و قاعدهٔ زنجیره‌ای می‌گوید مشتق آن $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ است. مشتق‌گیری ضمنی چیزی جز قاعدهٔ زنجیره‌ای معمولی برای یک تابع درونی با عبارت نامعلوم نیست.

به همین دلیل $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ و $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ . برای معادلهٔ $\sin y = x$ ، مشتق‌گیری $\cos y\,y' = 1$ را می‌دهد، پس $y' = \frac{1}{\cos y}$ . چون این خم روی شاخهٔ اصلی همان $y = \arcsin x$ است، با نوشتن $\cos y$ به صورت $\sqrt{1 - x^2}$ این نتیجه مشتق تابع آرک‌سینوس را به‌سرعت به دست می‌دهد.

شیب، خط مماس و نقطه‌های ویژه

جای‌گذاری یک نقطه در فرمول شیب را در آن نقطه می‌دهد، به شرطی که نقطه واقعاً روی خم باشد؛ بهتر است ابتدا بررسی کنید که در معادلهٔ اصلی صدق می‌کند. با شیب $m$ و نقطهٔ $(x_0, y_0)$ ، خط مماس $y - y_0 = m(x - x_0)$ است.

این فرمول ویژگی‌های خاص خم را هم آشکار می‌کند. جایی که صورت $\frac{dy}{dx}$ صفر و مخرج آن ناصفر است، مماس افقی است. جایی که مخرج صفر و صورت ناصفر است، مماس قائم است؛ در دایره این در نقطه‌های $(\pm 5, 0)$ ، جایی که $y = 0$ ، رخ می‌دهد. اگر صورت و مخرج هر دو صفر شوند، مانند مبدأ روی برگ دکارت، ممکن است خم خودش را قطع کند و شیب باید جداگانه بررسی شود.

میان‌بر با مشتق‌های جزئی

اگر همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببرید، خم به صورت $F(x, y) = 0$ نوشته می‌شود. حسابان چندمتغیره آن‌گاه فرمول $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ را می‌دهد که در آن $F_x$ و $F_y$ مشتق‌های جزئی‌اند. برای $x^2 + xy + y^2 = 7$ داریم $F_x = 2x + y$ و $F_y = x + 2y$ ، پس $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ که در $(1, 2)$ برابر $-0.8$ است.

ماشین‌حساب با این فرمول نتیجهٔ گام‌به‌گام را به‌طور مستقل می‌آزماید. شما هم می‌توانید همین کار را کنید: وقتی محاسبهٔ دستی‌تان با میان‌بر هم‌خوانی دارد، می‌توانید به پاسخ اطمینان کنید.

کاربرد بعدی روش: آهنگ‌های وابسته

مشتق‌گیری ضمنی موتور مسئله‌های آهنگ‌های وابسته است. نردبانی که روی دیوار می‌لغزد، در هر لحظه پایین و بالایش در $x^2 + y^2 = L^2$ صدق می‌کنند و هر دو مختص با زمان تغییر می‌کنند. اگر به جای $x$ نسبت به $t$ مشتق بگیرید، $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ به دست می‌آید که سرعت پایین نردبان را به سرعت بالای آن پیوند می‌دهد.

الگو درست همان الگوی این صفحه است: از رابطه مشتق بگیرید، برای هر کمیت متغیر قاعدهٔ زنجیره‌ای را به کار ببرید و آهنگ مورد نظر را به دست آورید. مشتق‌گیری لگاریتمی هم بر همین پایه است: از دو طرف $y = x^x$ لگاریتم $\ln$ بگیرید و سپس از $\ln y = x \ln x$ به‌طور ضمنی مشتق بگیرید تا $y' = x^x(\ln x + 1)$ به دست آید.

اشتباه‌های رایج

نوشتن مشتق $y^2$ به صورت $2y$ و فراموش کردن ضریب $y'$ .
به کار نبردن قاعدهٔ ضرب برای جمله‌های آمیخته و نوشتن $\frac{d}{dx}[xy]$ فقط به صورت $y'$ یا $xy'$ .
مشتق گرفتن از ثابت طرف راست مانند یک متغیر، به جای رسیدن به 0.
تقسیم بر عبارتی که در نقطهٔ مورد بررسی صفر است، که مماس قائم را پنهان می‌کند.
جای‌گذاری نقطه‌ای که در معادلهٔ اصلی صدق نمی‌کند.
حل کردن برای $y$ وقتی لازم نیست، که اغلب به ریشه‌های دوم با علامت نامعلوم می‌انجامد.

نکته‌ها

هر $y'$ را همین که نوشتید دور کنید یا پررنگ کنید تا هنگام جمع کردن جمله‌ها هیچ‌کدام از قلم نیفتد.
اگر بسط دادن یک حاصل‌ضرب پیش از مشتق‌گیری تعداد کاربردهای قاعدهٔ ضرب را کم می‌کند، ابتدا آن را بسط دهید.
نتیجه‌تان را با $-\frac{F_x}{F_y}$ به‌سرعت بیازمایید.
کسر نهایی را با حذف عامل‌های مشترکی مانند 2 یا 3 ساده کنید.
پیش از یافتن خط مماس، مطمئن شوید نقطه‌تان روی خم است.
برای مشتق دوم، یک بار دیگر از $y'$ به‌طور ضمنی مشتق بگیرید و فرمول مشتق اول را جای‌گذاری کنید.

پرسش‌های متداول

چه زمانی باید از مشتق‌گیری ضمنی استفاده کنم؟

وقتی y و x با معادله‌ای به هم مربوط‌اند که حل آن برای y دشوار یا ناممکن است، مانند x³ + y³ = 6xy، یا وقتی حل برای y خم را به چند شاخه تقسیم می‌کند، مانند دایره‌ها و بیضی‌ها.

چرا dy/dx هم x دارد و هم y؟

روی یک خم ضمنی، یک مقدار x ممکن است به چند نقطه مربوط باشد که هر کدام شیب خود را دارند. y در فرمول نقطهٔ مورد نظر را مشخص می‌کند. برای دایره، −x/y در (3, 4) برابر −0.75 و در (3, −4) برابر +0.75 است.

نقطهٔ محاسبهٔ شیب را چگونه وارد کنم؟

هر دو مختص را در کادر اختیاری بنویسید، مثلاً x = 3, y = 4. ماشین‌حساب آن‌ها را در dy/dx جای‌گذاری می‌کند و خط مماس را به شکل نقطه-شیب می‌نویسد.

آیا می‌تواند از معادله‌های شامل sin y یا e^y مشتق بگیرد؟

بله. هر عبارت مشتق‌پذیری از x و y کار می‌کند. جمله‌هایی مانند sin y و e^y با قاعدهٔ زنجیره‌ای در y′ ضرب می‌شوند، پس از sin y = x نتیجه می‌شود dy/dx = 1/cos y.

صفر بودن مخرج dy/dx چه معنایی دارد؟

اگر صورت هم‌زمان صفر نباشد، خط مماس در آن نقطه قائم است. روی x² + y² = 25 این در (5, 0) و (−5, 0) رخ می‌دهد.

آیا مشتق‌گیری ضمنی همان استفاده از مشتق‌های جزئی است؟

هر دو پاسخ یکسانی می‌دهند. روش گام‌به‌گام مستقیماً قاعدهٔ زنجیره‌ای را به کار می‌برد، در حالی که فرمول dy/dx = −F_x/F_y از مشتق‌های جزئی F(x, y) استفاده می‌کند. ماشین‌حساب اولی را برای نمایش روند و دومی را برای آزمون به کار می‌برد.

آیا این ماشین‌حساب d²y/dx² را پیدا می‌کند؟

ماشین‌حساب مشتق اول را می‌دهد. برای مشتق دوم، با قاعدهٔ خارج‌قسمت دوباره از فرمول dy/dx مشتق بگیرید، به یاد داشته باشید که y همچنان به x وابسته است، و هر y′ را که ظاهر می‌شود با عبارت مشتق اول جایگزین کنید.

معادله باید با چه حرف‌هایی نوشته شود؟

معادله باید بر حسب x و y نوشته شود و y متغیر وابسته در نظر گرفته می‌شود. حرف‌های دیگر پشتیبانی نمی‌شوند و ماشین‌حساب به جای حدس زدن نقش آن‌ها، صریحاً این را اعلام می‌کند.

آیا باید پیش از مشتق‌گیری y را به دست آورم؟

نه، و معمولاً بهتر است این کار را نکنید. حل x² + y² = 25 برای y به ±√(25 − x²) می‌رسد، یعنی دو تابع که هر کدام ریشهٔ دوم دردسرسازی دارند. مشتق‌گیری از معادلهٔ اصلی هر دو نیمهٔ بالا و پایین دایره را هم‌زمان پوشش می‌دهد.

از معادلهٔ ضمنی خود مشتق بگیرید

معادله‌ای بر حسب x و y را در بالا وارد کنید تا dy/dx را با همهٔ گام‌های قاعدهٔ زنجیره‌ای ببینید؛ با افزودن یک نقطه، شیب و خط مماس را هم می‌گیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب مشتق‌گیری ضمنی

دربارهٔ ماشین‌حساب مشتق‌گیری ضمنی

مشتق‌گیری ضمنی چیست؟

روش استفاده از ماشین‌حساب مشتق‌گیری ضمنی

فرمول‌ها

قاعدهٔ زنجیره‌ای برای جمله‌های شامل y

قاعدهٔ ضرب با y

میان‌بر با مشتق‌های جزئی

خط مماس در (x₀, y₀)

مثال حل‌شده: x² + y² = 25 در (3, 4)

پاسخ نهایی

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

راه‌حل گام‌به‌گام

فرمول‌های به‌کاررفته

بررسی‌ها

توضیح کامل

روش در چهار گام

چرا قاعدهٔ زنجیره‌ای y′ را پدید می‌آورد

شیب، خط مماس و نقطه‌های ویژه

میان‌بر با مشتق‌های جزئی

کاربرد بعدی روش: آهنگ‌های وابسته

اشتباه‌های رایج

نکته‌ها

پرسش‌های متداول

چه زمانی باید از مشتق‌گیری ضمنی استفاده کنم؟

چرا dy/dx هم x دارد و هم y؟

نقطهٔ محاسبهٔ شیب را چگونه وارد کنم؟

آیا می‌تواند از معادله‌های شامل sin y یا e^y مشتق بگیرد؟

صفر بودن مخرج dy/dx چه معنایی دارد؟

آیا مشتق‌گیری ضمنی همان استفاده از مشتق‌های جزئی است؟

آیا این ماشین‌حساب d²y/dx² را پیدا می‌کند؟

معادله باید با چه حرف‌هایی نوشته شود؟

آیا باید پیش از مشتق‌گیری y را به دست آورم؟

از معادلهٔ ضمنی خود مشتق بگیرید

ماشین‌حساب‌های ریاضی بیشتر