ماشین‌حساب سری تیلور

ضریب‌ها از کجا می‌آیند

فرض کنید چندجمله‌ای $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ باید در $a$ با $f$ هم‌خوان باشد. با گذاشتن $x = a$ همهٔ جمله‌ها جز $c_0$ صفر می‌شوند، پس $c_0 = f(a)$. یک بار مشتق بگیرید و $x = a$ بگذارید تا $c_1 = f'(a)$ باقی بماند. دو بار مشتق بگیرید تا $2c_2 = f''(a)$ بماند؛ و در حالت کلی $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$.

این همهٔ استدلال است و دلیل حضور فاکتوریل‌ها را هم روشن می‌کند: آن‌ها ثابت‌هایی را که هنگام $k$ بار مشتق گرفتن از $(x - a)^k$ انباشته می‌شوند خنثی می‌کنند. ماشین‌حساب این را به صورت جدولی نشان می‌دهد که برای هر $k$ مقدارهای $f^{(k)}(a)$ و $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ را فهرست می‌کند، درست مانند جدولی که با دست می‌سازید.

الگوها در سری‌های استاندارد

برای $\sin x$ حول 0، مشتق‌ها به ترتیب $\sin, \cos, -\sin, -\cos$ تکرار می‌شوند و مقدارشان در 0 برابر $0, 1, 0, -1$ است. همهٔ ضریب‌های توان‌های زوج صفرند و چندجمله‌ای مرتبهٔ 7 برابر $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$ است. کسینوس فقط توان‌های زوج را می‌دهد: تا مرتبهٔ 4 برابر $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ است.

برای $\ln x$ حول 1، مشتق $k$ام برابر $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$ است، پس ضریب‌ها $\pm\frac1k$ هستند و سری $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$ است. با شناختن این الگوها می‌توان بسیاری از سری‌ها را بی‌هیچ مشتق‌گیری مستقیم نوشت و در آن‌ها جای‌گذاری کرد، مثلاً در سری $e^x$ به جای $x$ عبارت $-x^2$ را گذاشت.

تقریب چقدر دقیق است؟

قضیهٔ تیلور برای خطا کرانی می‌دهد. باقی‌ماندهٔ $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ برای عددی مانند $c$ میان $a$ و $x$ برابر $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ است. دو عامل آن را کوچک می‌کنند: نزدیک بودن به مرکز، که $(x - a)^{n+1}$ را کوچک می‌کند، و فاکتوریل مخرج، که سرانجام از هر توانی پیشی می‌گیرد.

مثال ریشهٔ دوم عامل نخست را نشان می‌دهد. چندجمله‌ای مرتبهٔ 3 تابع $\sqrt{x}$ حول 4 برابر $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$ است. در $x = 4.1$ حدود 2.024845703 می‌دهد، در حالی که مقدار واقعی 2.024845673 است؛ خطا حدود $3\times10^{-8}$ است، چون $0.1^4$ از پیش بسیار کوچک است.

دور از مرکز وضع فرق می‌کند. برای $\frac{1}{1-x}$، چندجمله‌ای در $x = 0.1$ به‌خوبی هم‌خوان است، اما در $x = 2$ بی‌فایده است، چون سری فقط برای $|x| < 1$ همگراست. در $x = 2$ چندجمله‌ای مرتبهٔ 5 عدد 63 را می‌دهد، در حالی که تابع برابر $-1$ است؛ خطا 64 است و با هر جملهٔ بیشتر بزرگ‌تر می‌شود. گزارش خطای ماشین‌حساب این را آشکار می‌کند: یک تابع را با یک مرتبه، یک بار در نقطه‌ای نزدیک و یک بار در نقطه‌ای دور امتحان کنید و نتیجه‌ها را مقایسه کنید.

انتخاب مرکز

مرکزی برگزینید که تابع و مشتق‌هایش در آن به‌آسانی محاسبه شوند و به جایی که تقریب لازم دارید نزدیک باشد. بسط $\sqrt{x}$ حول 4 طبیعی است، چون $\sqrt4 = 2$ دقیق است. $\ln x$ را نمی‌توان حول 0 بسط داد، چون تابع در آنجا تعریف نشده است، و $|x|$ حول 0 شکست می‌خورد، چون در آن نقطه مشتق‌پذیر نیست. ماشین‌حساب در چنین مواردی به جای دادن چندجمله‌ای بی‌معنا، موضوع را توضیح می‌دهد.

چندجمله‌ای‌های تیلور در عمل

تقریب زاویهٔ کوچک $\sin\theta \approx \theta$ همان چندجمله‌ای مک‌لورن مرتبهٔ 1 سینوس است؛ برای زاویه‌های کوچک‌تر از حدود 14 درجه خطای آن کمتر از 1% است. فرمول دورهٔ آونگ، تقریب پیرامحوری در اپتیک و قانون خطی فنر همگی از نگه داشتن تنها یک یا دو جملهٔ نخست بسط تیلور به دست می‌آیند.

چندجمله‌ای‌های تیلور مسئله‌های دشوار را هم آسان می‌کنند. حدی مانند $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ با گذاشتن $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$ به جای $\cos x$ بی‌درنگ روشن می‌شود، و انتگرالی مانند $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ که پادمشتق مقدماتی ندارد، با انتگرال‌گیری جمله به جملهٔ چندجمله‌ای تقریب زده می‌شود.