ماشین‌حساب همگرایی سری: آزمون نسبت، ریشه و مقایسه

Q: ماشینحساب از کدام آزمون استفاده میکند؟

به ترتیب امتحان میکند: سری هندسی، آزمون جملهٔ nام، آزمون سری متناوب، و برای سریهای با جملهٔ مثبت آزمون نسبت، آزمون ریشه، مقایسهٔ حدی با سری p، آزمون فشردهسازی کوشی و آزمون انتگرال. نخستین آزمونی که حکم میدهد گزارش میشود.

Q: آیا مجموع سری را پیدا میکند؟

برای سریهای هندسی مجموع دقیق را میدهد؛ مثلاً مجموع Σ 3(−2/3)ⁿ از n = 1 برابر −6/5 است. برای سریهای دیگر فقط همگرایی را تعیین میکند، چون مجموع بیشتر سریهای همگرا شکل بستهٔ سادهای ندارد.

Q: جملههای سری همساز به صفر میل میکنند؛ پس چرا واگراست؟

چون جملهها خیلی آهسته کوچک میشوند. با دستهبندی 1/2، سپس 1/3 + 1/4 > 1/2، سپس 1/5 + … + 1/8 > 1/2 میبینید که مجموعهای جزئی هر بار دستکم 1/2 افزایش مییابند و بیکران رشد میکنند.

Q: همگرایی مطلق با همگرایی مشروط چه تفاوتی دارد؟

اگر مجموع |aₙ| همگرا باشد، سری بهطور مطلق همگراست. اگر سری فقط به دلیل خنثی شدن علامتها همگرا باشد، مانند سری همساز متناوب، همگراییاش مشروط است.

Q: آیا اندیس شروع بر همگرایی اثر دارد؟

نه. تغییر نقطهٔ شروع مجموع فقط تعدادی متناهی جمله را میافزاید یا حذف میکند؛ این کار مجموع را تغییر میدهد، اما همگرا بودن یا نبودن را هرگز تغییر نمیدهد. با این حال اندیس شروع برای مجموع سریهای هندسی و برای جملههایی مانند 1/(n ln n) که برای nهای کوچک تعریف نشدهاند اهمیت دارد.

Q: اگر هیچ آزمونی کار نکند چه میشود؟

ماشینحساب آزمونهایی را که امتحان کرده فهرست میکند و میگوید هیچکدام به نتیجه نرسیدند. هرگز حدس نمیزند. جملههای نوسانی مانند sin(n) که حدشان قابل تعیین نیست هم صریحاً گزارش میشوند.

Q: سری p چیست؟

سریای به شکل Σ 1/nᵖ. وقتی p > 1 همگرا و وقتی p ≤ 1 واگراست. این سری مرجع استاندارد آزمونهای مقایسه است و Σ 1/n با p = 1 همان سری همساز است.

Q: چرا آزمون نسبت برای 1/n² شکست میخورد؟

نسبت n²/(n + 1)² به 1 میل میکند که همان حالت بینتیجه است. این برای هر سری p رخ میدهد، پس ماشینحساب برای چنین جملههایی به آزمون مقایسه روی میآورد.

دربارهٔ ماشین‌حساب همگرایی سری

برای اینکه بفهمید یک سری بی‌پایان همگراست یا نه، باید آزمون درست را انتخاب کنید. درس‌های حسابان دست‌کم هفت آزمون را آموزش می‌دهند: آزمون جملهٔ nام، سری‌های هندسی، سری‌های p، آزمون‌های مقایسه و مقایسهٔ حدی، آزمون نسبت، آزمون ریشه، آزمون انتگرال و آزمون سری متناوب. هر کدام برای برخی سری‌ها بسیار کارآمد است و برای برخی دیگر کاملاً بی‌اثر؛ دشواری در دانستن این است که کدام را به کار ببرید.

این ماشین‌حساب آزمون‌ها را به ترتیبی ثابت و معقول به کار می‌برد و نخستین آزمونی را که حکم قطعی می‌دهد گزارش می‌کند. سری‌های هندسی را تشخیص می‌دهد و مجموع دقیقشان را می‌دهد، بررسی می‌کند که جمله‌ها به صفر میل می‌کنند یا نه، علامت‌های متناوب را مدیریت می‌کند و برای سری‌های با جملهٔ مثبت به ترتیب آزمون نسبت، آزمون ریشه، مقایسه با سری p، آزمون فشرده‌سازی کوشی و آزمون انتگرال را امتحان می‌کند. هر حدی که لازم باشد با موتور حد محاسبه می‌شود که خودش را به‌صورت عددی می‌سنجد.

وقتی آزمونی به ویژگی‌ای وابسته است که نمی‌توان آن را به‌صورت نمادین اثبات کرد، مانند نزولی بودن جمله‌ها از جایی به بعد، ماشین‌حساب آن ویژگی را در شمار زیادی از اندیس‌های نمونه بررسی می‌کند و این را صریحاً می‌گوید. اگر هیچ آزمونی به نتیجه نرسد، به جای حدس زدن می‌گوید کدام آزمون‌ها را امتحان کرده است. برای سری‌های متناوب، همگرایی مطلق را هم از همگرایی مشروط جدا می‌کند.

همگرایی یک سری یعنی چه؟

سری بی‌پایان $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ مجموع بی‌شمار جمله است. برای معنا دادن به آن، مجموع‌های جزئی $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ را بررسی می‌کنیم. اگر با بزرگ شدن $N$ این مجموع‌ها به حدی متناهی مانند $S$ میل کنند، سری همگراست و مجموعش $S$ است. اگر بی‌کران رشد کنند یا پیوسته نوسان کنند، سری واگراست.

همگرایی نکته‌ای ظریف است، چون به سرعت کوچک شدن جمله‌ها بستگی دارد و نه فقط به کوچک شدن آن‌ها. جمله‌های $\sum \frac1n$ به صفر میل می‌کنند، اما مجموع‌های جزئی از هر عددی فراتر می‌روند، پس سری همساز واگراست. جمله‌های $\sum \frac{1}{n^2}$ فقط کمی سریع‌تر کوچک می‌شوند و این سری به $\frac{\pi^2}{6}$ همگراست.

برای بیشتر سری‌ها می‌توان همگرایی را بدون یافتن مجموع تعیین کرد و مجموع آن‌ها اغلب اصلاً شکل بستهٔ ساده‌ای ندارد. سری‌های هندسی استثنای اصلی‌اند: هرگاه قدرنسبت در $|r| < 1$ صدق کند، مجموع برابر $\frac{a}{1-r}$ است که در آن $a$ جملهٔ نخست است.

روش استفاده از ماشین‌حساب همگرایی سری

در کادر «جملهٔ عمومی aₙ» جمله را با n به‌عنوان اندیس بنویسید، مثلاً 1/n^2، (-1)^(n+1)/n یا 2^n/n!.
فاکتوریل (n!)، توان‌ها، رادیکال‌ها، لگاریتم با log برای ln و (−1)^n پشتیبانی می‌شوند.
«اندیس شروع» را وارد کنید، یعنی نخستین مقدار n در مجموع. مقدار پیش‌فرض 1 است.
روی «همگرایی را بررسی کن» بزنید تا آزمون‌های به‌کاررفته، حدهای محاسبه‌شده و حکم را ببینید.
برای سری هندسی، مجموع دقیق را از سطر پایانی بخوانید.

فرمول‌ها

سری هندسی

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

آزمون جملهٔ nام

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ واگراست}

سری p

\sum \frac{1}{n^p} \text{ همگراست} \iff p > 1

آزمون نسبت

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ همگراست},\ L > 1 \text{ واگراست}

آزمون ریشه

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ همگراست},\ L > 1 \text{ واگراست}

آزمون سری متناوب

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ همگراست}

مثال حل‌شده: سری p‏ Σ 1/n²

مثال زیر که به‌صورت زنده محاسبه می‌شود، سری p یعنی $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ را بررسی می‌کند. جمله‌ها به 0 میل می‌کنند، پس آزمون جملهٔ nام نتیجه‌ای نمی‌دهد. ماشین‌حساب سپس سرعت کوچک شدن جمله‌ها را برآورد می‌کند و آن‌ها را با $\frac{1}{n^2}$ مقایسه می‌کند؛ حد نسبت برابر 1 است که عددی مثبت و متناهی است.

بنا بر آزمون مقایسهٔ حدی، سری دقیقاً همان رفتار سری p با $p = 2$ را دارد که چون $p > 1$ همگراست. حکم این است که سری همگراست. مجموع آن، $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ ، را اویلر در سال 1734 به دست آورد، اما برای اثبات همگرایی نیازی به دانستن آن نیست.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{همگراست} \approx 1.644934067

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

مشخص کنید که Σ 1 / n² (n از 1 تا ∞) همگراست یا واگرا.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

راه‌حل گام‌به‌گام

سری را بنویسید
Σ a(n) برای n = 1, 2, 3، … با a(n) = 1 / n^2. جمله‌های اول: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625، …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
آزمون جملهٔ nام
lim a(n) = 0، پس آزمون واگرایی نتیجه‌ای نمی‌دهد؛ جمله‌ها واقعاً کوچک می‌شوند، پس آزمون دقیق‌تری لازم است.
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
مقایسهٔ حدی با سری p
جمله‌های مثبت: جمله‌ها تقریباً مانند 1/n^2 کوچک می‌شوند (برآوردشده از a(2N)/a(N))، پس با Σ 1/n^2 مقایسه کنید: lim a(n)·n^2 = 1. حد عددی مثبت و متناهی است، پس سری دقیقاً مانند سری p یعنی Σ 1/n^2 رفتار می‌کند که همگراست چون p > 1.
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
تخمین عددی مجموع
مجموع‌های جزئی S_N برای چند N محاسبه و به N → ∞ برون‌یابی شدند (برون‌یابی ریچاردسون؛ برای جمله‌های متناوب ابتدا میانگین گرفته می‌شود). دو برون‌یابی مستقل با دقتی بهتر از 10⁻¹⁰ توافق دارند و S ≈ 1.644934067 را می‌دهند. هر شکل بسته‌ی نمایش‌داده‌شده یک تطبیق عددی است، نه اثبات.

فرمول‌های به‌کاررفته

آزمون جملهٔ nام (آزمون واگرایی)
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ واگراست}$
سری p
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ همگراست} \iff p > 1$

سری وقتی همگراست که مجموع‌های جزئی‌اش به عددی متناهی میل کنند. برای این کار جمله‌ها باید به 0 میل کنند، اما این به‌تنهایی کافی نیست (سری همساز واگراست)، پس برای تصمیم‌گیری از آزمون مقایسه، نسبت، ریشه، سری متناوب یا انتگرال استفاده می‌شود.

بررسی‌ها

مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ = 1.5497677، S₁₀₀ = 1.6349839، S₁₀₀₀ = 1.6439346، S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

توضیح کامل

ابتدا آزمون‌های سریع

دو بررسی همیشه باید نخست انجام شوند، چون سریع‌اند. اگر سری هندسی باشد، قدرنسبت $r$ همه‌چیز را تعیین می‌کند: وقتی $|r| < 1$ سری همگراست و مجموع بی‌درنگ به دست می‌آید. برای $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ ، جملهٔ نخست $a = -2$ و $r = -\frac23$ است، پس مجموع $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ است.

پس از آن آزمون جملهٔ nام می‌آید. اگر جمله‌ها به صفر میل نکنند، سری حتماً واگراست، چون پیوسته مقدارهایی را می‌افزایید که اندازه‌شان از حدی کمتر نمی‌شود. $\sum \frac{n}{n+1}$ به همین دلیل واگراست، چون جمله‌هایش به 1 میل می‌کنند. دقت کنید که عکس این گزاره درست نیست: میل کردن جمله‌ها به صفر همگرایی را تضمین نمی‌کند و سری همساز نمونهٔ آن است.

آزمون نسبت و آزمون ریشه

آزمون نسبت هر جمله را با جملهٔ پیشین مقایسه می‌کند. اگر نسبت $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ به حدی مانند $L < 1$ میل کند، جمله‌ها سرانجام دست‌کم به سرعت یک سری هندسی همگرا کوچک می‌شوند، پس سری همگراست. اگر $L > 1$ ، جمله‌ها بزرگ می‌شوند و سری واگراست. اگر $L = 1$ ، آزمون نتیجه‌ای نمی‌دهد.

این آزمون برای سری‌های دارای فاکتوریل و نما انتخاب طبیعی است. برای $\sum \frac{2^n}{n!}$ ، نسبت به $\frac{2}{n+1}$ ساده می‌شود که به 0 میل می‌کند، پس سری همگراست. آزمون ریشه که بر پایهٔ $\sqrt[n]{|a_n|}$ است مشابه آن است و برای وقتی که کل جمله به توان n رسیده مناسب‌تر است. برای سری‌های p و تابع‌های گویای $n$ ، هر دو آزمون همیشه $L = 1$ می‌دهند، پس در آنجا ابزار دیگری لازم است.

مقایسه با سری‌های p

برای جمله‌هایی که مانند توانی از $n$ رفتار می‌کنند، با $\sum \frac{1}{n^p}$ مقایسه کنید که دقیقاً وقتی $p > 1$ همگراست. آزمون مقایسهٔ حدی می‌گوید اگر $\frac{a_n}{b_n}$ به عددی مثبت و متناهی میل کند، دو سری رفتار یکسانی دارند. ماشین‌حساب از تغییر جمله‌ها هنگام دو برابر شدن $n$ مقدار مناسب $p$ را برآورد می‌کند و سپس این حد را دقیق حساب می‌کند.

به این ترتیب $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ با مقایسه با $\sum \frac1n$ واگراست، و $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ به‌طور مطلق همگراست، چون $|\sin n| \le 1$ یعنی جمله‌هایش از $\frac{1}{n^2}$ بیشتر نیستند.

سری‌های لگاریتمی: آزمون فشرده‌سازی و آزمون انتگرال

سری‌های دارای لگاریتم، مانند $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ ، درست روی مرزی قرار دارند که آزمون نسبت، آزمون ریشه و مقایسهٔ ساده در آن شکست می‌خورند. آزمون فشرده‌سازی کوشی از پس آن‌ها برمی‌آید: برای جمله‌های مثبت و نزولی، $\sum a_n$ همگراست اگر و تنها اگر $\sum 2^n a_{2^n}$ همگرا باشد. در اینجا جمله‌های سری فشرده‌شده حدود $\frac{1.4427}{n}$ هستند که مضربی از سری همساز است، پس سری اصلی واگراست.

آزمون انتگرال با مقایسهٔ مجموع با $\int f(x)\,dx$ ، که در آن $f(n) = a_n$ مثبت و نزولی است، به همین نوع نتیجه می‌رسد. هر دو روش نشان می‌دهند یک سری چقدر می‌تواند آهسته واگرا شود: مجموع‌های جزئی $\sum \frac{1}{n \ln n}$ مانند $\ln(\ln N)$ رشد می‌کنند و حتی پس از یک میلیارد جمله هنوز کمتر از 4 هستند.

سری‌های متناوب و همگرایی مشروط

وقتی علامت‌ها یکی در میان عوض می‌شوند، خنثی شدن جمله‌ها اثر دارد. آزمون سری متناوب می‌گوید اگر قدرمطلق‌ها یعنی $b_n$ نزولی باشند و به صفر میل کنند، سری همگراست. سری همساز متناوب $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ بنا بر این آزمون به $\ln 2$ همگراست، هرچند $\sum \frac1n$ واگراست.

این وضعیت همگرایی مشروط نامیده می‌شود. اگر سری قدرمطلق‌ها هم همگرا باشد، مانند $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ ، همگرایی مطلق است که ویژگی قوی‌تری است: سری‌های همگرای مطلق با بازچینی جمله‌ها مجموعشان تغییر نمی‌کند، اما سری‌های همگرای مشروط چنین نیستند. ماشین‌حساب گزارش می‌دهد با کدام حالت روبه‌رو هستید.

اشتباه‌های رایج

نتیجه گرفتن همگرایی سری فقط چون جمله‌ها به صفر میل می‌کنند.
حکم دانستن $L = 1$ در آزمون نسبت یا ریشه؛ این یعنی آزمون نتیجه‌ای نمی‌دهد.
استفادهٔ نادرست از جملهٔ نخست سری هندسی وقتی اندیس به جای 0 از 1 شروع می‌شود.
به کار بردن آزمون سری متناوب بدون بررسی نزولی بودن قدرمطلق‌ها.
یکی دانستن همگرایی دنبالهٔ $a_n$ با همگرایی سری $\sum a_n$ .
مقایسه در جهت نادرست، مثلاً کران‌دار کردن با یک سری واگرا از بالا.

نکته‌ها

ابتدا آزمون جملهٔ nام را انجام دهید؛ بسیاری از سری‌های واگرا را بی‌درنگ مشخص می‌کند.
هر جا فاکتوریل یا $c^n$ دیدید، سراغ آزمون نسبت بروید.
برای تابع‌های گویای $n$ درجه‌ها را مقایسه کنید: سری مانند $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ رفتار می‌کند.
وقتی لگاریتم ظاهر می‌شود، از آزمون فشرده‌سازی یا آزمون انتگرال استفاده کنید.
برای سری‌های متناوب، همگرایی مطلق را هم بررسی کنید تا نوع همگرایی را بگویید.
چند مجموع جزئی نخست را به‌صورت عددی بنویسید تا حس کنید به مقداری پایدار نزدیک می‌شوند یا نه.

پرسش‌های متداول

ماشین‌حساب از کدام آزمون استفاده می‌کند؟

به ترتیب امتحان می‌کند: سری هندسی، آزمون جملهٔ nام، آزمون سری متناوب، و برای سری‌های با جملهٔ مثبت آزمون نسبت، آزمون ریشه، مقایسهٔ حدی با سری p، آزمون فشرده‌سازی کوشی و آزمون انتگرال. نخستین آزمونی که حکم می‌دهد گزارش می‌شود.

آیا مجموع سری را پیدا می‌کند؟

برای سری‌های هندسی مجموع دقیق را می‌دهد؛ مثلاً مجموع Σ 3(−2/3)ⁿ از n = 1 برابر −6/5 است. برای سری‌های دیگر فقط همگرایی را تعیین می‌کند، چون مجموع بیشتر سری‌های همگرا شکل بستهٔ ساده‌ای ندارد.

جمله‌های سری همساز به صفر میل می‌کنند؛ پس چرا واگراست؟

چون جمله‌ها خیلی آهسته کوچک می‌شوند. با دسته‌بندی 1/2، سپس 1/3 + 1/4 > 1/2، سپس 1/5 + … + 1/8 > 1/2 می‌بینید که مجموع‌های جزئی هر بار دست‌کم 1/2 افزایش می‌یابند و بی‌کران رشد می‌کنند.

همگرایی مطلق با همگرایی مشروط چه تفاوتی دارد؟

اگر مجموع |aₙ| همگرا باشد، سری به‌طور مطلق همگراست. اگر سری فقط به دلیل خنثی شدن علامت‌ها همگرا باشد، مانند سری همساز متناوب، همگرایی‌اش مشروط است.

فاکتوریل و علامت‌های متناوب را چگونه وارد کنم؟

فاکتوریل را n! و علامت متناوب را (-1)^n یا (-1)^(n+1) بنویسید، مثلاً (-1)^(n+1)/n یا 2^n/n!. لگاریتم طبیعی با log(n) نوشته می‌شود.

آیا اندیس شروع بر همگرایی اثر دارد؟

نه. تغییر نقطهٔ شروع مجموع فقط تعدادی متناهی جمله را می‌افزاید یا حذف می‌کند؛ این کار مجموع را تغییر می‌دهد، اما همگرا بودن یا نبودن را هرگز تغییر نمی‌دهد. با این حال اندیس شروع برای مجموع سری‌های هندسی و برای جمله‌هایی مانند 1/(n ln n) که برای n‌های کوچک تعریف نشده‌اند اهمیت دارد.

اگر هیچ آزمونی کار نکند چه می‌شود؟

ماشین‌حساب آزمون‌هایی را که امتحان کرده فهرست می‌کند و می‌گوید هیچ‌کدام به نتیجه نرسیدند. هرگز حدس نمی‌زند. جمله‌های نوسانی مانند sin(n) که حدشان قابل تعیین نیست هم صریحاً گزارش می‌شوند.

سری p چیست؟

سری‌ای به شکل Σ 1/nᵖ. وقتی p > 1 همگرا و وقتی p ≤ 1 واگراست. این سری مرجع استاندارد آزمون‌های مقایسه است و Σ 1/n با p = 1 همان سری همساز است.

چرا آزمون نسبت برای 1/n² شکست می‌خورد؟

نسبت n²/(n + 1)² به 1 میل می‌کند که همان حالت بی‌نتیجه است. این برای هر سری p رخ می‌دهد، پس ماشین‌حساب برای چنین جمله‌هایی به آزمون مقایسه روی می‌آورد.

همگرایی سری خود را بیازمایید

جملهٔ عمومی را در بالا وارد کنید تا ببینید کدام آزمون حکم می‌دهد، هر حد مربوط را ببینید و برای سری‌های هندسی مجموع دقیق را بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب همگرایی سری