ماشین‌حساب توان

چرا قاعده‌ها درست‌اند

قاعدهٔ ضرب یک شمارش ساده است. $a^3 \cdot a^2$ یعنی سه نسخه از $a$ ضرب در دو نسخهٔ دیگر، یعنی در مجموع پنج نسخه، پس $a^5$ است. قاعدهٔ تقسیم هم ساده کردن است: در $\frac{a^5}{a^2}$ دو نسخه ساده می‌شوند و سه نسخه می‌ماند.

تعریف توان صفر و توان منفی را قاعدهٔ تقسیم تحمیل می‌کند. چون $\frac{a^3}{a^3} = 1$ و قاعده $a^0$ را می‌دهد، باید $a^0 = 1$ باشد. به همین ترتیب $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ که برابر $\frac{1}{a^3}$ هم هست، پس $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.

توان‌های کسری و ریشه‌ها

چون $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$، عدد $a^{1/n}$ باید ریشهٔ $n$امِ $a$ باشد. ماشین‌حساب وقتی ریشه گویا باشد نتیجهٔ دقیق برمی‌گرداند، مانند $32^{3/5} = 8$، و در غیر این صورت به جای عدد اعشاری گردشده، شکل رادیکالی دقیق را نگه می‌دارد.

اگر پایه منفی باشد، ریشه‌های فرد حقیقی‌اند، یعنی $(-8)^{1/3} = -2$، اما ریشه‌های زوج عدد حقیقی نیستند: $(-4)^{1/2}$ مقدار حقیقی ندارد. ماشین‌حساب به جای دادن نتیجه‌ای گمراه‌کننده همین را اعلام می‌کند.

ساده کردن عبارت‌های یک‌جمله‌ای

برای ساده کردن عبارتی مانند $\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$، اول توان حاصل‌ضرب را به کار ببرید: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$. سپس ضریب‌ها را تقسیم کنید و توان‌ها را متغیر به متغیر از هم کم کنید: $4/4 = 1$، و $x^{6-(-1)} = x^7$، و $y^{2-5} = y^{-3}$. در پایان توان‌های منفی را به صورت معکوس بنویسید تا $\frac{x^7}{y^3}$ به دست آید.

توان‌ها بیرون از کلاس جبر کجا ظاهر می‌شوند

توان‌ها هر چیزی را توصیف می‌کنند که با ضریبی ثابت رشد یا کاهش پیدا کند. پولی که سالانه 5% سود می‌گیرد پس از $t$ سال در $1.05^t$ ضرب می‌شود، جمعیتی که در هر دوره دو برابر می‌شود مانند $2^t$ رشد می‌کند، و نمونهٔ پرتوزایی با نیمه‌عمر مشخص مانند $\left(\tfrac12\right)^t$ کاهش می‌یابد. نماد علمی، مانند $6.02 \times 10^{23}$، از توان‌های ده استفاده می‌کند تا عددهای بسیار بزرگ و بسیار کوچک را کوتاه بنویسد.

در همهٔ این حالت‌ها همان قانون‌ها برقرارند. رشد دو سال و پس از آن سه سال دیگر برابر $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ است، و زمان لازم برای رسیدن به مبلغی هدف با وارون کردن توان به کمک لگاریتم پیدا می‌شود، که ماشین‌حساب لگاریتم آن را گام‌به‌گام انجام می‌دهد.