ماشین‌حساب ساده‌سازی: ساده کردن عبارت‌های جبری گام‌به‌گام

Q: جملههای متشابه چیستند؟

جملههایی که همان متغیرها را با همان توانها دارند، مانند 4xy و منفی 7xy. فقط ضریبشان فرق میکند، پس میتوان آنها را در یک جمله جمع کرد.

Q: آیا سادهسازی مقدار عبارت را تغییر میدهد؟

نه. عبارت سادهشده برای هر ورودی مجاز با عبارت اصلی همارز است. تنها تفاوت این است که عاملهای سادهشده مقدارهای مستثنایی ایجاد میکنند که باید ذکر شوند.

Q: آیا ماشینحساب عبارتهای چندمتغیره را ساده میکند؟

بله، عبارتهای چندجملهای با هر تعداد متغیر باز میشوند و جملههای متشابهشان جمع میشود. عبارتهای گویا بر حسب یک متغیر ساده میشوند.

Q: چرا کسر سادهشده محدودیت دارد؟

وقتی عاملی از صورت و مخرج ساده میشود، عبارت اصلی هر جا که آن عامل صفر باشد تعریفنشده است. شکل سادهشده باید این محدودیت را نگه دارد تا همارز بماند.

Q: آیا سادهسازی همان حل کردن است؟

نه. سادهسازی عبارت را بازنویسی میکند، اما حل کردن مقدارهایی را پیدا میکند که معادله را درست میکنند. اول هر دو طرف را ساده کنید، سپس اگر جوابها را لازم دارید از حلکنندهٔ معادله استفاده کنید.

Q: شکل استاندارد چندجملهای چیست؟

همهٔ پرانتزها باز شدهاند، برای هر ترکیب توانها یک جمله هست، جملهها از بالاترین درجه به پایینترین نوشته شدهاند و ثابت در آخر است.

Q: آیا میتوانم عبارتهای عددی را هم ساده کنم؟

بله. عبارتهایی مانند 3/4 + 5/6 ضرب در 2 طبق ترتیب عملیات بهطور دقیق حساب و به سادهترین شکل ساده میشوند.

دربارهٔ ماشین‌حساب ساده‌سازی

ساده‌سازی مرتب‌کاریِ روزمرهٔ جبر است. پیش از آنکه عبارت‌ها را حل کنید، رسم کنید یا با هم مقایسه کنید، معمولاً باید آن‌ها را به شکل استاندارد و مرتبی بنویسید: پرانتزهای باز‌شده، جمله‌های متشابهِ جمع‌شده و کسرهای ساده‌شده. این کار با دست بیشتر حساب دقیق است و یک علامت جاافتاده کل نتیجه را خراب می‌کند.

این ماشین‌حساب عبارت‌های چندجمله‌ای یک‌متغیره یا چندمتغیره مانند $3(x + 2) - 2(x - 1)$ یا $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ، عبارت‌های عددیِ دارای کسر، و عبارت‌های گویای یک‌متغیره مانند $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ را ساده می‌کند؛ آن‌ها را تجزیه می‌کند، عامل‌های مشترک را ساده می‌کند و مقدارهایی را که باید کنار گذاشته شوند ذکر می‌کند.

ساده کردن یک عبارت یعنی چه؟

دو عبارت وقتی هم‌ارزند که برای هر ورودی مجاز یک مقدار بدهند. ساده‌سازی عبارت را با عبارتی هم‌ارز جایگزین می‌کند که کوتاه‌تر یا به شکل استاندارد نزدیک‌تر است. در چندجمله‌ای‌ها شکل استاندارد پرانتز ندارد، برای هر ترکیب توان‌ها یک جمله دارد و جمله‌ها به ترتیب نزولی درجه مرتب‌اند.

در عبارت‌های گویا، ساده‌ترین شکل یعنی صورت و مخرج هیچ عامل چندجمله‌ای مشترکی نداشته باشند. ساده کردن عاملی مانند $x + 3$ فقط جایی درست است که $x + 3 \ne 0$ ، پس پاسخ کامل این محدودیت را ذکر می‌کند.

چگونه از ماشین‌حساب ساده‌سازی استفاده کنیم

عبارت را بنویسید، مثلاً 3(x + 2) - 2(x - 1) یا (x^2 - 9)/(x^2 + 3x).
برای توان از ^ و برای ضرب از * یا کنار هم نوشتن استفاده کنید: شکل‌های 2x، 2*x و 2(x + 1) همه پذیرفته می‌شوند.
دکمهٔ «ساده کن» را بزنید و گام‌ها را دنبال کنید: پخش، باز کردن توان‌ها، جمع جمله‌های متشابه و سپس تجزیه و ساده کردن در کسرها.
شکل سادهٔ نهایی و هر مقدار مستثنایی را که کنار آن ذکر شده بخوانید.

فرمول‌ها

قانون پخشی

a(b + c) = ab + ac

مربع دوجمله‌ای

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

جمع جمله‌های متشابه

px^k + qx^k = (p + q)x^k

ساده کردن عامل مشترک

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

مثال حل‌شده: 3(x + 2) − 2(x − 1)

مثال، عبارت $3(x + 2) - 2(x - 1)$ را ساده می‌کند. موتور هر ضریب را پخش می‌کند و دقت می‌کند که $-2$ در هر دو جملهٔ پرانتز دوم ضرب شود، پس $-1$ به $+2$ تبدیل می‌شود.

نتیجه $3x + 6 - 2x + 2$ است. با جمع جداگانهٔ جمله‌های $x$ و ثابت‌ها، $x + 8$ باقی می‌ماند.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

x + 8

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

عبارت چندجمله‌ای بر حسب x را ساده کنید.

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

راه‌حل گام‌به‌گام

عبارت را بخوانید
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
پخش کنید (هر حاصل‌ضرب را باز کنید)
هر جمله از یک عامل در هر جمله از عامل دیگر ضرب می‌شود: a(b + c) = ab + ac.
نتیجه پس از باز کردن پرانتزها
$3x + 6 - 2x + 2$
جمله‌های متشابه را جمع کنید
x: 3 − 2 = 1؛ ثابت‌ها: 6 + 2 = 8. جمله‌های متشابه متغیرها و توان‌های یکسانی دارند، پس فقط ضریب‌هایشان جمع می‌شود.
نتیجه را به شکل استاندارد بنویسید
جمله‌ها به ترتیب نزولیِ درجهٔ کل مرتب می‌شوند.
$x + 8$

فرمول‌های به‌کاررفته

خاصیت پخشی
$a(b + c) = ab + ac$
مربع مجموع دو جمله
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
جمله‌های متشابه
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

پس از باز کردن پرانتزها و جمع کردن جمله‌های متشابه، عبارت برابر x + 8 می‌شود که چندجمله‌ای‌ای از درجهٔ 1 با 2 جمله است.

بررسی‌ها

بررسی در x = 0.73: عبارت اصلی 8.73، عبارت ساده‌شده 8.73 ✓

توضیح کامل

جمله‌های متشابه

جمله‌های متشابه دقیقاً همان متغیرها را با همان توان‌ها دارند و فقط ضریب عددی‌شان فرق می‌کند. پس $5x^2y$ و $-2x^2y$ متشابه‌اند و جمعشان $3x^2y$ می‌شود، اما $x^2y$ و $xy^2$ متشابه نیستند و باید جدا بمانند.

ماشین‌حساب هر جمله را به صورت یک ضریب وابسته به فهرستی از توان‌ها نگه می‌دارد. آن‌وقت جمع دو عبارت یعنی جمع ضریب‌هایی که به یک فهرست تعلق دارند، و این دقیقاً همان جمع جمله‌های متشابه است. چون ضریب‌ها کسرهای دقیق‌اند، نتیجه‌هایی مانند $\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{6}x = \tfrac{1}{2}x$ دقیق به دست می‌آیند.

باز کردن پیش از جمع کردن

پرانتزها جمله‌های متشابه را پنهان می‌کنند. در $(a + b)^2 - (a - b)^2$ پیش از باز کردن دو مربع هیچ چیز را نمی‌توان جمع کرد: $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ . آن‌وقت جمله‌های $a^2$ و $b^2$ حذف می‌شوند و $4ab$ می‌ماند. به همین دلیل ماشین‌حساب همیشه اول هر حاصل‌ضرب و هر توان را باز می‌کند و بعد جمع می‌کند.

کم کردن یک پرانتز منشأ رایج خطاست. علامت منفی بر هر جملهٔ داخل آن اثر می‌کند، یعنی $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ .

عبارت‌های گویا

برای ساده کردن کسری از چندجمله‌ای‌ها، صورت و مخرج را کامل تجزیه کنید و عامل‌هایی را که در هر دو آمده‌اند ساده کنید. در $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ عامل مشترک $x + 3$ ساده می‌شود و $\frac{x - 3}{x}$ با $x \ne 0$ و $x \ne -3$ به دست می‌آید.

فقط عامل‌ها را می‌توان ساده کرد، نه جمله‌های تکی را. ساده کردن $x^2$ در $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ اشتباه است، چون $x^2$ جمله‌ای در یک مجموع است و عامل کل صورت نیست.

عبارت‌های عددی و ترتیب عملیات

وقتی عبارت فقط عدد دارد، ساده کردنش یعنی حساب دقیق مقدار آن. ماشین‌حساب ترتیب معمول را دنبال می‌کند: اول پرانتزها، بعد توان‌ها، بعد ضرب و تقسیم از چپ به راست، و بعد جمع و تفریق از چپ به راست. کسرها در تمام محاسبه کسر می‌مانند، پس $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ برابر $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ می‌شود، نه یک عدد اعشاری گردشده.

حساب دقیق مهم است، چون گرد کردن زودهنگام ممکن است نتیجهٔ بعدی را تغییر دهد. اگر برای پاسخی کاربردی به عدد اعشاری نیاز دارید، مقدار دقیق نهایی را یک بار در آخرین گام تبدیل کنید.

اشتباه‌های رایج

پخش کردن علامت منفی فقط روی جملهٔ اول داخل پرانتز.
نوشتن $(a + b)^2$ به صورت $a^2 + b^2$ و فراموش کردن جملهٔ میانی $2ab$ .
جمع کردن جمله‌های نامتشابه، مثلاً جمع $x^2$ و $x$ و رسیدن به $2x^3$ .
ساده کردن جمله‌ها به جای عامل‌ها در کسر.
جا انداختن مقدارهای مستثنا پس از ساده کردن یک عامل.

نکته‌ها

پیش از پخش، کم کردن پرانتز را به صورت جمع $-1$ ضرب در پرانتز بازنویسی کنید.
پیش از جمع کردن، زیر جمله‌های متشابه با یک رنگ خط بکشید.
ساده‌سازی را با جایگذاری مقداری ساده مانند $x = 2$ در هر دو شکل بررسی کنید.
پیش از ساده کردن هر چیزی در عبارت گویا، کامل تجزیه کنید.
نتیجه را با توان‌های نزولی بنویسید تا مقایسه‌اش با پاسخ‌های دیگر آسان باشد.

پرسش‌های متداول

جمله‌های متشابه چیستند؟

جمله‌هایی که همان متغیرها را با همان توان‌ها دارند، مانند 4xy و منفی 7xy. فقط ضریبشان فرق می‌کند، پس می‌توان آن‌ها را در یک جمله جمع کرد.

آیا ساده‌سازی مقدار عبارت را تغییر می‌دهد؟

نه. عبارت ساده‌شده برای هر ورودی مجاز با عبارت اصلی هم‌ارز است. تنها تفاوت این است که عامل‌های ساده‌شده مقدارهای مستثنایی ایجاد می‌کنند که باید ذکر شوند.

آیا ماشین‌حساب عبارت‌های چندمتغیره را ساده می‌کند؟

بله، عبارت‌های چندجمله‌ای با هر تعداد متغیر باز می‌شوند و جمله‌های متشابهشان جمع می‌شود. عبارت‌های گویا بر حسب یک متغیر ساده می‌شوند.

چرا کسر ساده‌شده محدودیت دارد؟

وقتی عاملی از صورت و مخرج ساده می‌شود، عبارت اصلی هر جا که آن عامل صفر باشد تعریف‌نشده است. شکل ساده‌شده باید این محدودیت را نگه دارد تا هم‌ارز بماند.

آیا ساده‌سازی همان حل کردن است؟

نه. ساده‌سازی عبارت را بازنویسی می‌کند، اما حل کردن مقدارهایی را پیدا می‌کند که معادله را درست می‌کنند. اول هر دو طرف را ساده کنید، سپس اگر جواب‌ها را لازم دارید از حل‌کنندهٔ معادله استفاده کنید.

شکل استاندارد چندجمله‌ای چیست؟

همهٔ پرانتزها باز شده‌اند، برای هر ترکیب توان‌ها یک جمله هست، جمله‌ها از بالاترین درجه به پایین‌ترین نوشته شده‌اند و ثابت در آخر است.

آیا می‌توانم عبارت‌های عددی را هم ساده کنم؟

بله. عبارت‌هایی مانند 3/4 + 5/6 ضرب در 2 طبق ترتیب عملیات به‌طور دقیق حساب و به ساده‌ترین شکل ساده می‌شوند.

عبارت خود را ساده کنید

هر عبارتی را در بالا بنویسید تا ساده‌ترین شکل دقیق آن را همراه با هر گام پخش، جمع و ساده کردن بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب ساده‌سازی