جبر

حل معادله‌های خطی گام‌به‌گام

Q: از کجا بفهمم معادلهای خطی است؟

پس از ساده کردن، متغیر فقط با توان یک ظاهر میشود و هرگز درون رادیکال، قدر مطلق یا مخرج نیست. اگر بتوانید آن را به ax + b = 0 با a ≠ 0 درآورید، خطی است.

Q: آیا مهم است متغیر را در کدام طرف گرد آورم؟

نه. هر دو انتخاب پاسخ یکسانی میدهند. گرد آوردن در طرفی که ضریب بزرگتری دارد ضریب را مثبت نگه میدارد و از تقسیم بر عدد منفی جلوگیری میکند.

Q: چرا باید پاسخ را در معادلهٔ اصلی وارسی کنم؟

وارسی در سطری بعدی فقط گامهای پس از آن سطر را تأیید میکند. معادلهٔ اصلی تنها معادلهای است که میدانید درست است، پس جایگذاری در آن خطای هر جای راهحل را میگیرد.

Q: آیا جواب معادلهٔ خطی میتواند کسر باشد؟

بله. برای نمونه 3x = 2 میدهد x = 2/3. پاسخ را به صورت کسر دقیق بگذارید، مگر اینکه سؤال عدد اعشاری بخواهد، چون عدد اعشاری گردشدهای مانند 0.67 هنگام جایگذاری دوباره دقیقاً درست درنمیآید.

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در 3 آبان 1405

معادلهٔ خطی با خنثی کردن کارهایی که روی مجهول انجام شده، به ترتیب معکوس، و با برابر نگه داشتن دو طرف حل می‌شود. این راهنما این ایده را به روالی پنج‌گامی تبدیل می‌کند و همهٔ حالت‌های رایج را حل می‌کند.

معادلهٔ خطی چیست

معادلهٔ خطی یک‌مجهولی معادله‌ای است که می‌توان آن را به شکل $ax + b = 0$ درآورد، که در آن $a$ و $b$ عدد هستند و $a \neq 0$ . مجهول فقط با توان یک ظاهر می‌شود: نه $x^2$ هست، نه $\sqrt{x}$ و نه $x$ در مخرج. چون نمودار $y = ax + b$ یک خط راست است، معادله دقیقاً یک جواب دارد، $x = -\frac{b}{a}$ ، که همان جایی است که خط محور x را قطع می‌کند.

معادله‌هایی مانند $3x + 7 = 22$ ، $5(x - 2) = 3x + 4$ و $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ همگی خطی‌اند، هرچند هنوز شبیه $ax + b = 0$ نیستند. کار ما بازنویسی آن‌هاست، هر بار با یک گام مجاز، تا مجهول تنها بماند.

قاعدهٔ ترازو در پس هر گام

معادله را یک ترازوی متعادل تصور کنید. هر کاری بخواهید می‌توانید با یک طرف بکنید، به شرط آنکه دقیقاً همان کار را با طرف دیگر هم بکنید، چون مقدارهای برابر که به یک شکل تغییر کنند برابر می‌مانند. چهار عملی که به کار می‌برید این‌هاست:

افزودن عدد یا عبارتی یکسان به دو طرف؛
کم کردن عدد یا عبارتی یکسان از دو طرف؛
ضرب دو طرف در عددی ناصفر و یکسان؛
تقسیم دو طرف بر عددی ناصفر و یکسان.

ضرب یا تقسیم بر صفر تنها حرکت ممنوع است: ضرب در صفر هر معادله‌ای را به $0 = 0$ تبدیل می‌کند و اطلاعات را از بین می‌برد و تقسیم بر صفر تعریف‌نشده است.

a = b \;\Rightarrow\; a + c = b + c, \quad a - c = b - c, \quad ac = bc, \quad \frac{a}{c} = \frac{b}{c}\ (c \neq 0)

روالی پنج‌گامی

نمادهای گروه‌بندی را با پخش کردن بردارید: $5(x - 2)$ به $5x - 10$ تبدیل می‌شود.
کسرها یا اعشارها را با ضرب دو طرف در کوچک‌ترین مخرج مشترک یا در توانی از 10 حذف کنید.
جمله‌های متشابه هر طرف را جداگانه با هم جمع کنید.
با جمع یا تفریق، جمله‌های متغیردار را در یک طرف و عددهای ثابت را در طرف دیگر گرد آورید.
بر ضریب متغیر تقسیم کنید، سپس پاسخ را در معادلهٔ اصلی جای‌گذاری کنید تا وارسی شود.

هر معادله‌ای به همهٔ گام‌ها نیاز ندارد. این روال فقط ترتیبی به شما می‌دهد که از رایج‌ترین گرفتاری‌ها جلوگیری می‌کند، مانند تلاش برای تقسیم پیش از جمع کردن جمله‌های متشابه.

مثال‌های حل‌شده از ساده تا دشوارتر

مثال 1: دو گام، $3x + 7 = 22$

از دو طرف 7 را کم کنید: $3x = 15$ .
دو طرف را بر 3 تقسیم کنید: $x = 5$ .
وارسی: $3(5) + 7 = 15 + 7 = 22$ . درست است.

به ترتیب دقت کنید. هنگام ساختن عبارت $3x + 7$ ، هفت آخر از همه افزوده شد، پس اول از همه برداشته می‌شود. حل کردن ترتیب عملیات را وارونه می‌کند.

مثال 2: پرانتز و متغیر در دو طرف، $5(x - 2) = 3x + 4$

پخش کنید: $5x - 10 = 3x + 4$ .
از دو طرف $3x$ را کم کنید: $2x - 10 = 4$ .
به دو طرف 10 بیفزایید: $2x = 14$ .
بر 2 تقسیم کنید: $x = 7$ .
وارسی: طرف چپ $5(7 - 2) = 25$ ؛ طرف راست $3(7) + 4 = 25$ . دو طرف برابرند.

مثال 3: ضریب منفی، $-4x + 9 = 2x - 15$

از دو طرف $2x$ را کم کنید: $-6x + 9 = -15$ .
از دو طرف 9 را کم کنید: $-6x = -24$ .
بر $-6$ تقسیم کنید: $x = 4$ . منفی تقسیم بر منفی مثبت است.
وارسی: $-4(4) + 9 = -7$ و $2(4) - 15 = -7$ .

اگر ضریب مثبت را ترجیح می‌دهید، جمله‌های متغیردار را در طرفی گرد آورید که از قبل ضریب بزرگ‌تری دارد. در مثال 3، افزودن $4x$ به دو طرف $9 = 6x - 15$ را می‌دهد، سپس $24 = 6x$ و $x = 4$ ، بی‌آنکه اصلاً بر عدد منفی تقسیم کنید.

معادله‌های دارای کسر و اعشار

بیشتر خطاها در کسرها رخ می‌دهند، پس آن‌ها را از همان آغاز حذف کنید. همهٔ جمله‌های دو طرف را در کوچک‌ترین مخرج مشترک ضرب کنید. همهٔ جمله‌ها یعنی واقعاً همهٔ جمله‌ها، از جمله عددهای صحیحی که مخرج پیدایی ندارند.

مثال 4: $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$

کوچک‌ترین مخرج مشترک 3 و 4 برابر 12 است. هر جمله را در 12 ضرب کنید: $12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{x}{4} = 12 \cdot 7$ .
ساده کنید: $4x + 3x = 84$ .
جمله‌های متشابه را جمع کنید: $7x = 84$ ، پس $x = 12$ .
وارسی: $\frac{12}{3} + \frac{12}{4} = 4 + 3 = 7$ .

اعشارها هم به همین شکل با توانی از ده حذف می‌شوند. توانی را انتخاب کنید که اعشاری را که بیشترین رقم اعشار را دارد حذف کند.

مثال 5: $0.2x + 1.5 = 0.5x - 0.3$

هر عدد اعشاری یک رقم اعشار دارد، پس در 10 ضرب کنید: $2x + 15 = 5x - 3$ .
$2x$ را کم کنید و 3 را بیفزایید: $18 = 3x$ .
بر 3 تقسیم کنید: $x = 6$ .
وارسی: $0.2(6) + 1.5 = 2.7$ و $0.5(6) - 0.3 = 2.7$ .

می‌توانید معادله‌های پرکسر را با ماشین‌حساب کسر تأیید کنید یا هر گام را با حل‌کنندهٔ معادله مقایسه کنید.

بدون جواب و بی‌نهایت جواب

گاهی متغیر در حین حل کاملاً ناپدید می‌شود. آنچه باقی می‌ماند نشان می‌دهد با کدام حالت خاص روبه‌رو هستید.

2(x + 3) = 2x + 6 \;\Rightarrow\; 2x + 6 = 2x + 6 \;\Rightarrow\; 6 = 6

گزاره‌ای درست مانند $6 = 6$ یعنی دو طرف یک عبارت‌اند، پس هر عدد حقیقی جواب است. چنین معادله‌ای اتحاد نامیده می‌شود.

2(x + 3) = 2x + 5 \;\Rightarrow\; 6 = 5

گزاره‌ای نادرست مانند $6 = 5$ یعنی هیچ مقداری از $x$ نمی‌تواند دو طرف را برابر کند: معادله جواب ندارد. از دید نموداری، دو طرف خط‌هایی موازی با شیب یکسان و عرض از مبدأ متفاوت‌اند، پس هرگز به هم نمی‌رسند.

حل فرمول بر حسب یک متغیر

همین قاعدهٔ ترازو فرمول‌ها را بازآرایی می‌کند، که اغلب حل معادلهٔ حرفی نامیده می‌شود. با هر حرفی جز حرفی که می‌خواهید مانند یک عدد رفتار کنید.

مثال 6: $2x + 3y = 12$ را بر حسب $y$ حل کنید

از دو طرف $2x$ را کم کنید: $3y = 12 - 2x$ .
همهٔ جمله‌ها را بر 3 تقسیم کنید: $y = 4 - \frac{2}{3}x$ .
این شکل شیب‌عرض از مبدأ است: خط شیب $-\frac{2}{3}$ و عرض از مبدأ 4 دارد.

بازنویسی معادله به این شکل نخستین گام رسم نمودار آن است که می‌توانید آن را با ماشین‌حساب شیب بررسی کنید.

تبدیل مسئلهٔ کلامی به معادله

مسئله‌های کلامی وقتی کمیتی با آهنگ ثابت تغییر کند به معادلهٔ خطی تبدیل می‌شوند. مجهول را نام‌گذاری کنید، هر عبارت را به صورت یک عبارت جبری بنویسید و دو توصیف از یک مقدار را برابر قرار دهید.

مثال 7: یک طرح تلفن ماهانه 15 دلار به‌علاوهٔ 10 سنت برای هر پیامک هزینه دارد. یک صورت‌حساب 27 دلار بود. چند پیامک فرستاده شده است؟

فرض کنید $t$ تعداد پیامک‌ها باشد. صورت‌حساب $15 + 0.10t$ است.
آن را با مبلغ پرداختی برابر قرار دهید: $15 + 0.10t = 27$ .
15 را کم کنید: $0.10t = 12$ . بر 0.10 تقسیم کنید: $t = 120$ .
وارسی: $15 + 0.10(120) = 15 + 12 = 27$ . پاسخ 120 پیامک است.

تمرین بیشتر برای ترجمهٔ جمله‌ها به معادله در حل‌کنندهٔ مسئلهٔ کلامی هست.

اشتباه‌های رایج و راه پرهیز از آن‌ها

پخش کردن فقط روی جملهٔ نخست: $3(x + 4)$ برابر $3x + 12$ است، نه $3x + 4$ .
از دست دادن علامت منفی: $-(x - 5)$ برابر $-x + 5$ است. منفی را روی همهٔ جمله‌های درون پرانتز پخش کنید.
ضرب فقط کسرها در کوچک‌ترین مخرج مشترک و فراموش کردن جمله‌های عدد صحیح.
بردن جمله‌ای به آن سوی علامت مساوی بدون تغییر علامتش. گفتن اینکه جمله‌ای «منتقل می‌شود» کوتاه‌شدهٔ کم کردن آن از دو طرف است.
توقف در $-x = 3$ . بر $-1$ تقسیم کنید تا $x = -3$ به دست آید.
جا انداختن وارسی. جای‌گذاری در معادلهٔ اصلی، نه در سطری بعدی، خطاهای هر گامی را می‌گیرد.

قدم بعدی

وقتی حل معادله‌های خطی برایتان خودکار شد، همین مهارت‌ها مستقیم به نامعادله‌های خطی، که یک قاعدهٔ اضافه در آن‌ها هست، و به دستگاه معادله‌ها، که در آن دو معادلهٔ خطی دو مجهول مشترک دارند، منتقل می‌شوند. اگر معادله‌ای $x^2$ دارد، راهنمای حل معادلهٔ درجهٔ دوم را بخوانید. برای تمرین، هر یک از مثال‌های بالا را در ماشین‌حساب حل بر حسب x وارد کنید و گام‌هایش را با گام‌های خودتان مقایسه کنید.

پرسش‌های متداول

از کجا بفهمم معادله‌ای خطی است؟

پس از ساده کردن، متغیر فقط با توان یک ظاهر می‌شود و هرگز درون رادیکال، قدر مطلق یا مخرج نیست. اگر بتوانید آن را به $ax + b = 0$ با $a \neq 0$ درآورید، خطی است.

آیا مهم است متغیر را در کدام طرف گرد آورم؟

نه. هر دو انتخاب پاسخ یکسانی می‌دهند. گرد آوردن در طرفی که ضریب بزرگ‌تری دارد ضریب را مثبت نگه می‌دارد و از تقسیم بر عدد منفی جلوگیری می‌کند.

چرا باید پاسخ را در معادلهٔ اصلی وارسی کنم؟

وارسی در سطری بعدی فقط گام‌های پس از آن سطر را تأیید می‌کند. معادلهٔ اصلی تنها معادله‌ای است که می‌دانید درست است، پس جای‌گذاری در آن خطای هر جای راه‌حل را می‌گیرد.

وقتی به 0 = 0 می‌رسم یعنی چه؟

هر گزارهٔ درستی بدون متغیر یعنی معادله اتحاد است: هر عدد حقیقی جواب است. گزاره‌ای نادرست مانند $0 = 4$ یعنی جوابی وجود ندارد.

آیا جواب معادلهٔ خطی می‌تواند کسر باشد؟

بله. برای نمونه $3x = 2$ می‌دهد $x = \frac{2}{3}$ . پاسخ را به صورت کسر دقیق بگذارید، مگر اینکه سؤال عدد اعشاری بخواهد، چون عدد اعشاری گردشده‌ای مانند $0.67$ هنگام جای‌گذاری دوباره دقیقاً درست درنمی‌آید.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.