حل معادلهٔ درجهٔ دوم: تجزیه، مربع کامل کردن و فرمول

چه چیزی معادله را درجهٔ دوم می‌کند

معادلهٔ درجهٔ دوم را می‌توان به صورت $ax^2 + bx + c = 0$ با $a \neq 0$ نوشت. بالاترین توان مجهول 2 است، پس حداکثر دو جواب وجود دارد که ریشه نامیده می‌شوند. پیش از به کار بردن هر روشی، همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببرید تا طرف دیگر صفر شود. این کار اختیاری نیست: ویژگی حاصل‌ضرب صفر و فرمول درجهٔ دوم هر دو به آن وابسته‌اند.

برای نمونه، $x^2 = 3x + 10$ به $x^2 - 3x - 10 = 0$ تبدیل می‌شود، پس $a = 1$، $b = -3$ و $c = -10$. نوشتن سه ضریب همراه با علامتشان پیش از شروع، ساده‌ترین راه پرهیز از خطاهای علامت در ادامه است.

از دید نموداری، ریشه‌ها نقطه‌های برخورد سهمی $y = ax^2 + bx + c$ با محور x هستند. سهمی می‌تواند محور x را دو بار قطع کند، یک بار در رأسش به آن مماس شود یا اصلاً به آن نرسد؛ به همین دلیل معادلهٔ درجهٔ دوم می‌تواند دو، یک یا هیچ ریشهٔ حقیقی داشته باشد.

حالت‌های سریع: بدون جملهٔ x یا بدون عدد ثابت

دو شکل خاص اصلاً به روش کلی نیاز ندارند.

• اگر $b = 0$، $x^2$ را تنها کنید و ریشهٔ دوم بگیرید و هر دو علامت را به یاد داشته باشید: $x^2 = 49$ می‌دهد $x = \pm 7$، و $4x^2 - 9 = 0$ می‌دهد $x^2 = \frac{9}{4}$، پس $x = \pm\frac{3}{2}$.
• اگر $c = 0$، از $x$ فاکتور بگیرید: $x^2 - 5x = 0$ به $x(x - 5) = 0$ تبدیل می‌شود، پس $x = 0$ یا $x = 5$.

هرگز دو طرف $x^2 - 5x = 0$ را بر $x$ تقسیم نکنید. این کار ریشهٔ $x = 0$ را دور می‌اندازد، چون وقتی $x = 0$ در واقع بر صفر تقسیم کرده‌اید.

روش 1: تجزیه

اگر عبارت درجهٔ دوم به دو عامل خطی بشکند، ویژگی حاصل‌ضرب صفر کار را تمام می‌کند: اگر $pq = 0$ آنگاه $p = 0$ یا $q = 0$. برای $a = 1$، دنبال دو عدد بگردید که حاصل‌ضربشان $c$ و مجموعشان $b$ باشد.

اینجا حاصل‌ضرب $-5$ و $2$ برابر $-10$ و مجموعشان $-3$ است. وقتی $a \neq 1$، روش AC همین جست‌وجو را گسترش می‌دهد.

تجزیه سریع است اما فقط وقتی عملی است که ریشه‌ها گویا باشند. یک آزمون سودمند: با ضریب‌های صحیح، عبارت دقیقاً وقتی روی عددهای صحیح تجزیه می‌شود که ممیز $b^2 - 4ac$ مربع کامل باشد. برای $6x^2 + x - 2$ این مقدار $1 + 48 = 49 = 7^2$ است. تمرین بیشتر در راهنمای تجزیهٔ چندجمله‌ای‌ها آمده است.

روش 2: مربع کامل کردن

مربع کامل کردن طرف چپ را به صورت یک مربع کامل به‌علاوهٔ یک عدد ثابت بازنویسی می‌کند. $x^2 + 6x - 7 = 0$ را در نظر بگیرید. عدد ثابت را به طرف دیگر ببرید، سپس $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ را به دو طرف بیفزایید:

پس $x = 1$ یا $x = -7$. همین گام‌ها شکل رأسی $y = (x + 3)^2 - 16$ را می‌دهند که رأس سهمی را در $(-3, -16)$ قرار می‌دهد. روش کامل، از جمله حالت $a \neq 1$، در راهنمای مربع کامل کردن آمده است.

روش 3: فرمول درجهٔ دوم

مربع کامل کردن معادلهٔ کلی $ax^2 + bx + c = 0$ فرمولی می‌دهد که برای هر معادلهٔ درجهٔ دومی کار می‌کند:

کل صورت را بر $2a$ تقسیم کنید. نوشتن $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ یکی از رایج‌ترین خطاها در این مبحث است.

خواندن ممیز

عبارت زیر رادیکال، $\Delta = b^2 - 4ac$، پیش از پایان کار نوع جواب را پیش‌بینی می‌کند:

• $\Delta > 0$: دو ریشهٔ حقیقی متفاوت؛ سهمی محور x را دو بار قطع می‌کند.
• $\Delta = 0$: یک ریشهٔ مضاعف؛ رأس به محور x مماس است. مثال: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ تنها ریشهٔ $x = 3$ را دارد.
• $\Delta < 0$: ریشهٔ حقیقی وجود ندارد، اما دو ریشهٔ مختلط مزدوج هست. مثال: برای $x^2 + 2x + 5 = 0$ داریم $\Delta = 4 - 20 = -16$، پس $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

یک مسئلهٔ کلامی: ارتفاع پرتابه

معادله‌های درجهٔ دوم هر چیزی را که با شتاب ثابت بالا می‌رود و پایین می‌آید مدل می‌کنند. فرض کنید ارتفاع یک توپ بر حسب متر پس از $t$ ثانیه $h = -5t^2 + 20t + 25$ باشد (با $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

کنار گذاشتن ریشه‌ای که در این موقعیت معنا ندارد بخشی از پاسخ است، نه کاری فرعی.

از کدام روش استفاده کنیم؟

1. اگر $b = 0$ یا $c = 0$، از حالت‌های سریع بالا استفاده کنید.
2. اگر ضریب‌ها عددهای صحیح کوچک‌اند و ممیز مربع کامل است، تجزیه را امتحان کنید.
3. وقتی به رأس یا شکل رأسی هم نیاز دارید، مربع را کامل کنید.
4. در همهٔ حالت‌های دیگر از فرمول درجهٔ دوم استفاده کنید؛ هرگز شکست نمی‌خورد.

هر روشی را که انتخاب کنید، ریشه‌ها را با رابطه‌های ویت وارسی کنید: مجموعشان باید $-\frac{b}{a}$ و حاصل‌ضربشان $\frac{c}{a}$ باشد. برای $6x^2 + x - 2 = 0$، مجموع ریشه‌های $\frac{1}{2}$ و $-\frac{2}{3}$ برابر $-\frac{1}{6}$ و حاصل‌ضربشان $-\frac{1}{3}$ است، دقیقاً $-\frac{b}{a}$ و $\frac{c}{a}$.

اشتباه‌های رایج

• حل $x^2 = 3x + 10$ بدون اینکه اول همهٔ جمله‌ها به یک طرف برده شوند.
• گرفتن فقط ریشهٔ دوم مثبت، که باعث می‌شود $x^2 = 49$ جواب $x = -7$ را از دست بدهد.
• به توان دو رساندن نادرست $b$ منفی: اگر $b = -3$ آنگاه $b^2 = 9$، نه $-9$. هنگام جای‌گذاری از پرانتز استفاده کنید.
• تقسیم فقط بخشی از صورت بر $2a$.
• برابر قرار دادن هر عامل با علامت نادرست: در $(x - 5)(x + 2) = 0$ ریشه‌ها $5$ و $-2$ هستند، یعنی قرینهٔ علامت عددهای درون پرانتزها.

کار خود را با ماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دوم مقایسه کنید و سهمی را در ماشین‌حساب نمودار رسم کنید تا ریشه‌ها را به صورت نقطه‌های برخورد با محور x ببینید.

انتخاب روش در عمل

دانش‌آموزان اغلب می‌پرسند کدام روش درست است. هر روش درستی همان ریشه‌ها را می‌دهد، پس پرسش واقعی این است که کدام روش برای معادلهٔ پیش رو سریع‌تر است و خطای کمتری دارد. یک روال تصمیم‌گیری سریع خوب کار می‌کند. اول، دنبال جملهٔ غایب بگردید: اگر عدد ثابت نیست، از $x$ فاکتور بگیرید؛ اگر جملهٔ $x$ نیست، $x^2$ را تنها کنید و ریشهٔ دوم بگیرید. دوم، حدود پانزده ثانیه دنبال عامل‌های صحیح بگردید. سوم، اگر چیزی پیدا نشد، به جای امتحان جفت‌های بیشتر مستقیم سراغ فرمول درجهٔ دوم بروید.

مربع کامل کردن انتخاب بهتری است وقتی سؤال رأس را هم می‌خواهد، وقتی ضریب $x$ زوج و ضریب پیشرو 1 است، یا وقتی از شما خواسته شده از آن استفاده کنید. رسم نمودار برای تخمین ریشه‌ها و وارسی تعداد جواب‌های حقیقی عالی است، اما خواندن از روی نمودار تقریبی است؛ پس آن را وارسی بدانید، نه پاسخ نهایی، مگر اینکه ریشه‌ها آشکارا عدد صحیح باشند.

در آزمون زمان‌دار، اول ممیز را حساب کنید. اگر مربع کامل باشد، معادله روی عددهای صحیح یا گویا تجزیه می‌شود؛ اگر منفی باشد، بی‌درنگ می‌دانید ریشهٔ حقیقی وجود ندارد.

وارسی ریشه‌ها

جای‌گذاری مطمئن‌ترین وارسی است: هر ریشه را در معادلهٔ اصلی بگذارید و تأیید کنید که طرف چپ برابر صفر می‌شود. برای ریشه‌های گنگ این کار با دست خسته‌کننده است، پس به جای آن از مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها استفاده کنید. برای $2x^2 + 4x - 3 = 0$، مجموع ریشه‌های $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ برابر $-2$ است که با $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$ برابر است، و حاصل‌ضربشان $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$ است که با $\frac{c}{a}$ برابر است. هر دو می‌خوانند، پس ریشه‌ها درست‌اند.

این را هم بررسی کنید که پاسخ در آن موقعیت معنا داشته باشد. در مثال پرتابه، یکی از ریشه‌های معادله منفی بود و زمان منفی پیش از پرتاب معنای فیزیکی ندارد، پس فقط ریشهٔ مثبت به پرسش پاسخ می‌دهد. مسئله‌های کلامی دربارهٔ طول، قیمت و تعداد اغلب به همین دلیل یک ریشه را کنار می‌گذارند و ارزش دارد جمله‌ای بنویسید که دلیلش را بگوید.

می‌توانید هر گام را با ماشین‌حساب معادلهٔ درجهٔ دوم مقایسه کنید که ممیز، ریشه‌های دقیق و رأس را نشان می‌دهد.

پرسش‌های متداول