ماشین‌حساب مربع کامل کردن: شکل رأسی گام‌به‌گام

Q: شکل رأسی چیست؟

نوشتن عبارت درجه دوم به صورت a ضرب در مربع (x منهای h) بهعلاوهٔ k. نقطهٔ (h, k) رأس سهمی است و a جهت و پهنای آن را تعیین میکند.

Q: وقتی a برابر 1 نیست چطور مربع کامل کنم؟

از جملههای x به توان دو و x ضریب a را فاکتور بگیرید، داخل پرانتز مربع کامل کنید و هنگام بیرون آوردن ثابتِ کمشده آن را در a ضرب کنید.

Q: آیا مربع کامل کردن از فرمول کلی بهتر است؟

هر دو همان ریشهها را میدهند. اما مربع کامل کردن شکل رأسی را هم میدهد که برای رسم مفید است، و خود فرمول کلی از همین روش به دست میآید.

Q: اگر ضریب x فرد باشد چه؟

با کسر کار کنید. در x به توان دو بهعلاوهٔ 5x، عدد 25/4 را اضافه و کم کنید تا مربع (x بهعلاوهٔ 5/2) منهای 25/4 به دست آید.

Q: مربع کامل کردن چطور برای دایره به کار میرود؟

مربع کامل کردن جداگانه برای x و برای y معادلهای مانند x به توان دو بهعلاوهٔ y به توان دو منهای 4x بهعلاوهٔ 6y برابر 3 را به شکل استاندارد دایره درمیآورد و مرکز و شعاع آن را آشکار میکند.

دربارهٔ ماشین‌حساب مربع کامل کردن

مربع کامل کردن عبارت درجه دومی مانند $2x^2 - 8x + 3$ را به شکل $2(x - 2)^2 - 5$ درمی‌آورد. شکل دوم بسیار پرمعناتر است: با یک نگاه نشان می‌دهد که پایین‌ترین نقطهٔ سهمی $(2, -5)$ است، دهانهٔ آن رو به بالاست و چقدر کشیده شده است. به همین روش فرمول کلی به دست می‌آید و معادلهٔ دایره‌ها و بیضی‌ها به شکل استاندارد نوشته می‌شود.

این ماشین‌حساب با هر ضریب پیشرو کار می‌کند، از جمله کسرها و عددهای اعشاری مانند $0.5x^2 + 3x - 1$ . به آن یک عبارت بدهید تا شکل رأسی و رأس را برگرداند؛ معادله‌ای بدهید که به $= 0$ یا مقدار دیگری ختم می‌شود تا تا جواب‌های دقیق پیش برود، یا وقتی سهمی محور را قطع نمی‌کند توضیح دهد چرا جواب حقیقی وجود ندارد.

مربع کامل کردن چیست؟

سه‌جملهٔ مربع کامل سه‌جمله‌ای است که برابر مربع یک دوجمله‌ای باشد، مانند $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . جملهٔ ثابت آن همیشه مربع نصف ضریب $x$ است. مربع کامل کردن یعنی دقیقاً همین عدد را اضافه و کم کنیم تا بخشی از عبارت مربع کامل شود.

نتیجه شکل رأسی $a(x - h)^2 + k$ است. چون مربع هرگز منفی نیست، کمترین مقدار عبارت (وقتی $a > 0$ ) یا بیشترین مقدار آن (وقتی $a < 0$ ) برابر $k$ است و در $x = h$ رخ می‌دهد.

چگونه از ماشین‌حساب مربع کامل کردن استفاده کنیم

عبارت درجه دومی مانند 2x^2 - 8x + 3 یا معادله‌ای مانند x^2 - 4x - 1 = 0 بنویسید.
ضریب‌ها می‌توانند عدد صحیح، کسر یا عدد اعشاری باشند.
دکمهٔ «مربع کامل کن» را بزنید. ماشین‌حساب a، b و c را تعیین می‌کند، از جمله‌های x فاکتور a می‌گیرد و سپس مربع نصف ضریب جملهٔ خطی را اضافه و کم می‌کند.
شکل رأسی و رأس را بخوانید. در مورد معادله، از گام ریشهٔ دوم تا جواب‌های دقیق دنبال کنید.

فرمول‌ها

مربع کامل

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

شکل رأسی کلی

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

رأس

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

مثال حل‌شده: 2x² − 8x + 3

مثال، برای عبارت $2x^2 - 8x + 3$ مربع کامل می‌سازد. چون $a = 2$ ، موتور اول از جمله‌های $x$ عدد 2 را فاکتور می‌گیرد: $2(x^2 - 4x) + 3$ . نصف $-4$ برابر $-2$ و مربع آن 4 است.

اضافه و کم کردن 4 داخل پرانتز $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ را می‌دهد، پس شکل رأسی $2(x - 2)^2 - 5$ و رأس $(2, -5)$ است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

2(x - 2)^{2} - 5

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

عبارت درجهٔ دوم را با مربع کامل کردن به شکل رأسی بازنویسی کنید.

راه‌حل گام‌به‌گام

a، b و c را مشخص کنید
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
a = 2 را از جمله‌های x فاکتور بگیرید
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
نصف ضریب جملهٔ خطی را بگیرید و مربع کنید
نصف -4 برابر -2 است و مربع آن 4.
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
این مربع را داخل پرانتز اضافه و کم کنید
افزودن 4 یک سه‌جمله‌ای مربع کامل می‌سازد و کم کردن آن مقدار را ثابت نگه می‌دارد (بخش کم‌شده هنگام بیرون آمدن از پرانتز در a = 2 ضرب می‌شود).
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
مربع کامل را بنویسید و ثابت‌ها را جمع کنید
$2(x - 2)^{2} - 5$
رأس را بخوانید
در a(x − h)² + k رأس (h, k) = (2, -5) است و محور تقارن x = 2. چون a > 0، دهانهٔ سهمی رو به بالاست و k مقدار کمینه است.

فرمول‌های به‌کاررفته

مربع کامل کردن
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
رأس
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

شکل رأسی: 2(x - 2)^2 - 5. رأس (2, -5).

بررسی‌ها

باز کردن 2(x - 2)^2 - 5 دوباره 2x^2 - 8x + 3 را می‌دهد.

توضیح کامل

چرا مربعِ نصف ضریب؟

بسط $(x + p)^2$ برابر $x^2 + 2px + p^2$ است. با مقایسه با $x^2 + bx$ ، جمله‌های میانی وقتی یکسان‌اند که $2p = b$ ، یعنی $p = b/2$ ، و ثابتِ کم‌شده $p^2 = (b/2)^2$ است. از دید هندسی، $x^2 + bx$ مربعی به ضلع $x$ همراه با دو مستطیل به ابعاد $x \times b/2$ است؛ مربع کوچک گوشه با مساحت $(b/2)^2$ همان چیزی است که مربع بزرگ را کامل می‌کند.

وقتی ضریب پیشرو 1 نیست

فقط از جمله‌های $x^2$ و $x$ ضریب $a$ را فاکتور بگیرید و ثابت را بیرون بگذارید. داخل پرانتز مربع کامل کنید، سپس هنگام بیرون آوردن مربعِ کم‌شده آن را در $a$ ضرب کنید. فراموش کردن این ضرب پرتکرارترین خطاست: در مثال، $-4$ داخل پرانتز بیرون از آن $-8$ می‌شود.

اگر $a$ منفی باشد، دهانهٔ سهمی رو به پایین است و رأس بیشینه است. ماشین‌حساب ضریب منفی را به همان شیوه فاکتور می‌گیرد و علامت‌های داخل پرانتز عوض می‌شوند.

حل معادله با مربع کامل کردن

در $x^2 - 4x - 1 = 0$ مربع کامل کردن $(x - 2)^2 = 5$ را می‌دهد. با گرفتن ریشهٔ دوم دو طرف، با هر دو علامت، $x - 2 = \pm\sqrt5$ به دست می‌آید، پس $x = 2 \pm \sqrt5$ . انجام همین گام‌ها با حروف به جای عددها فرمول کلی را می‌سازد.

وقتی طرف راست منفی باشد، مانند $(x + 3)^2 = -4$ که از $x^2 + 6x + 13 = 0$ به دست می‌آید، جواب حقیقی وجود ندارد. ماشین‌حساب این را ذکر می‌کند و زوج مختلط $-3 \pm 2i$ را هم می‌آورد که اگر $\sqrt{-4} = 2i$ را بپذیرید به دست می‌آید.

خواندن نمودار از روی شکل رأسی

شکل رأسی، سهمی را به صورت تبدیلی از منحنی $y = x^2$ توصیف می‌کند. مقدار $h$ نمودار را به راست جابه‌جا می‌کند (یا وقتی $h$ منفی است به چپ)، $k$ آن را بالا یا پایین می‌برد، و $a$ آن را به‌طور عمودی می‌کشد و وقتی منفی باشد وارونه‌اش می‌کند. محور تقارن خط عمودی $x = h$ است، پس نقطه‌هایی که در دو طرف $h$ به یک فاصله‌اند ارتفاع یکسانی دارند.

این کار رسم را سریع می‌کند. در $2(x - 2)^2 - 5$ رأس $(2, -5)$ را مشخص کنید، سپس یک واحد به هر طرف بروید: منحنی به اندازهٔ $a \cdot 1^2 = 2$ بالا می‌رود و $(1, -3)$ و $(3, -3)$ به دست می‌آیند. برد هم مستقیم خوانده می‌شود: $y \ge -5$ ، و به همین دلیل شکل رأسی نقطهٔ شروع طبیعی برای پرسش‌های دامنه و برد است.

اشتباه‌های رایج

اضافه کردن $(b/2)^2$ بدون کم کردن دوبارهٔ آن، که عبارت را تغییر می‌دهد.
به توان دو رساندن $b$ به جای $b/2$ .
فراموش کردن ضرب مربعِ کم‌شده در $a$ وقتی $a \ne 1$ .
گرفتن فقط ریشهٔ دوم مثبت هنگام حل معادله.
خواندن رأس $a(x + 3)^2 + k$ در $x = 3$ ؛ رأس درست در $x = -3$ است.

نکته‌ها

$x - h$ را صریح بنویسید: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ ، پس $h = -3$ .
شکل رأسی را با بسط دادن و برگشتن به شکل استاندارد بررسی کنید.
وقتی $b$ فرد است به جای اعشار از کسر استفاده کنید؛ نصف 5 برابر $\tfrac52$ است.
برای بررسی سریع، رأس به‌دست‌آمده را با $h = -b/(2a)$ مقایسه کنید.

پرسش‌های متداول

شکل رأسی چیست؟

نوشتن عبارت درجه دوم به صورت a ضرب در مربع (x منهای h) به‌علاوهٔ k. نقطهٔ (h, k) رأس سهمی است و a جهت و پهنای آن را تعیین می‌کند.

وقتی a برابر 1 نیست چطور مربع کامل کنم؟

از جمله‌های x به توان دو و x ضریب a را فاکتور بگیرید، داخل پرانتز مربع کامل کنید و هنگام بیرون آوردن ثابتِ کم‌شده آن را در a ضرب کنید.

آیا مربع کامل کردن از فرمول کلی بهتر است؟

هر دو همان ریشه‌ها را می‌دهند. اما مربع کامل کردن شکل رأسی را هم می‌دهد که برای رسم مفید است، و خود فرمول کلی از همین روش به دست می‌آید.

اگر ضریب x فرد باشد چه؟

با کسر کار کنید. در x به توان دو به‌علاوهٔ 5x، عدد 25/4 را اضافه و کم کنید تا مربع (x به‌علاوهٔ 5/2) منهای 25/4 به دست آید.

آیا مربع کامل کردن می‌تواند جواب مختلط بدهد؟

بله. اگر مربع در پایان با عددی منفی برابر شود، جواب حقیقی وجود ندارد. ماشین‌حساب این را ذکر می‌کند و زوج مزدوج مختلط را هم به شکل a به‌علاوه یا منهای bi نشان می‌دهد.

مربع کامل کردن چطور برای دایره به کار می‌رود؟

مربع کامل کردن جداگانه برای x و برای y معادله‌ای مانند x به توان دو به‌علاوهٔ y به توان دو منهای 4x به‌علاوهٔ 6y برابر 3 را به شکل استاندارد دایره درمی‌آورد و مرکز و شعاع آن را آشکار می‌کند.

برای عبارت خود مربع کامل کنید

یک عبارت یا معادلهٔ درجه دوم در بالا بنویسید تا شکل رأسی، رأس و جواب‌های دقیق را گام‌به‌گام بگیرید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب مربع کامل کردن