ماشین‌حساب چندجمله‌ای: تقسیم، ضرب و یافتن ریشه‌ها

Q: ماشینحساب چندجملهای چه عملهایی را پشتیبانی میکند؟

بسط، جمع، تفریق، ضرب، تقسیم طولانی با خارجقسمت و باقیمانده، مقداریابی در یک مقدار x با روش هورنر و یافتن ریشههای حقیقی.

Q: چندجملهایها را چگونه تقسیم کنم؟

تقسیم را انتخاب کنید، مقسوم را در P و مقسومعلیه را در Q وارد کنید. ماشینحساب تقسیم طولانی را انجام میدهد و خارجقسمت، باقیمانده و پاسخ را به صورت خارجقسمت بهعلاوهٔ باقیمانده تقسیم بر مقسومعلیه نشان میدهد.

Q: قضیهٔ باقیمانده چیست؟

وقتی چندجملهای P بر x منهای c تقسیم شود، باقیمانده برابر P(c) است. پس جایگذاری c در چندجملهای راهی سریع برای یافتن باقیمانده یا آزمودن ریشه بودن c است.

Q: آیا ماشینحساب چندجملهای ریشههای مختلط را نشان میدهد؟

خیر. حالت ریشهها فقط ریشههای حقیقی را نشان میدهد و اعلام میکند چه وقت چندجملهای هیچ ریشهٔ حقیقیای ندارد. ریشههای گویا دقیقاند و ریشههای گنگ به صورت تقریب اعشاری نمایش داده میشوند.

Q: روش هورنر چیست؟

روشی برای محاسبهٔ مقدار چندجملهای با تودرتو کردن ضربها، مثلاً نوشتن ax به توان سه بهعلاوهٔ bx به توان دو بهعلاوهٔ cx بهعلاوهٔ d به صورت ((ax + b)x + c)x + d. این روش به عملهای کمتری نیاز دارد و خطایش از محاسبهٔ جداگانهٔ هر توان کمتر است.

Q: درجهٔ چندجملهای چیست؟

بزرگترین توان متغیر که ضریبش ناصفر است. درجه حد بالای تعداد ریشههای حقیقی و نقطههای بازگشتی است که چندجملهای میتواند داشته باشد.

Q: آیا میتوانم از کسر بهعنوان ضریب استفاده کنم؟

بله. کسرها و عددهای اعشاری به کسرهای دقیق تبدیل میشوند و همهٔ نتیجهها دقیق میمانند.

دربارهٔ ماشین‌حساب چندجمله‌ای

چندجمله‌ای‌ها رایج‌ترین تابع‌های جبرند: خط‌ها، سهمی‌ها، تابع‌های درجهٔ سوم و هر چیزی که از توان‌های صحیح یک متغیر ساخته شود. کار با آنها یعنی مجموعهٔ کوچکی از عمل‌های تکراری، مانند ضرب دو پرانتز، تقسیم بر یک عامل خطی، جای‌گذاری یک مقدار و یافتن صفرها. هر کدام از این عمل‌ها مکانیکی است، اما وقتی چندجمله‌ای جمله‌های زیادی دارد خطا در آنها آسان است.

این ماشین‌حساب هفت عمل روی چندجمله‌ای‌های یک‌متغیره انجام می‌دهد: بسط، جمع، تفریق، ضرب، تقسیم طولانی، مقداریابی در یک نقطه و ریشه‌های حقیقی. ضریب‌ها به صورت کسر دقیق نگه داشته می‌شوند، پس تقسیم طولانی خارج‌قسمت و باقی‌ماندهٔ دقیق می‌دهد و ریشه‌های گویا دقیق نمایش داده می‌شوند، نه به صورت اعشاری تقریبی.

چندجمله‌ای چیست؟

چندجمله‌ای بر حسب $x$ مجموعی از جمله‌هایی به شکل $a x^n$ است که در آن هر ضریب $a$ یک عدد و هر توان $n$ عددی صحیح و نامنفی است. عبارت $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ چندجمله‌ای است، اما $\frac1x$ و $\sqrt x$ نیستند، چون توانشان منفی یا کسری است.

درجه بزرگ‌ترین توانی است که ضریبش ناصفر باشد و ضریب پیشرو ضریب همان جمله است. چندجمله‌ای از درجهٔ $n$ حداکثر $n$ ریشهٔ حقیقی دارد و نمودارش حداکثر $n - 1$ نقطهٔ بازگشت؛ این واقعیت‌ها کمک می‌کنند شکل پاسخ را پیش از محاسبه حدس بزنید.

روش استفاده از ماشین‌حساب چندجمله‌ای

از «عمل» آنچه را می‌خواهید انتخاب کنید: بسط، جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، مقداریابی یا ریشه‌ها.
«چندجمله‌ای P» را وارد کنید، مثلاً 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم، «چندجمله‌ای Q» را وارد کنید، مثلاً x - 2.
برای مقداریابی، مقدار $x$ را در خانهٔ «مقدار a» بنویسید.
روی «محاسبه کن» بزنید و گام‌ها را دنبال کنید؛ تقسیم طولانی هر تقسیم جملهٔ پیشرو و هر تفریق را نشان می‌دهد.

فرمول‌ها

الگوریتم تقسیم

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

قضیهٔ باقی‌مانده

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

قضیهٔ عامل

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ عاملی است از } P(x)

روش هورنر

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

مثال حل‌شده: تقسیم 2x³ − 3x² + 4x − 5 بر x − 2

مثال، $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ را با تقسیم طولانی بر $x - 2$ تقسیم می‌کند. در هر مرحله ماشین‌حساب جملهٔ پیشروِ باقی‌مانده را بر $x$ تقسیم می‌کند، سپس مقسوم‌علیه را در آن جمله ضرب و از باقی‌مانده کم می‌کند.

پس از سه دور، خارج‌قسمت $2x^2 + x + 6$ و باقی‌مانده 7 به دست می‌آید، پس پاسخ به صورت $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ نوشته می‌شود. همان‌طور که قضیهٔ باقی‌مانده پیش‌بینی می‌کند، مقدار چندجمله‌ای اصلی در $x = 2$ نیز 7 است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

P را با تقسیم طولانی چندجمله‌ای‌ها بر Q تقسیم کنید.

راه‌حل گام‌به‌گام

P را به شکل استاندارد بنویسید
پرانتزها را باز و جمله‌های متشابه را جمع کنید: درجه 3، ضریب پیشرو 2، جملهٔ ثابت -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Q را به شکل استاندارد بنویسید
درجه 1، ضریب پیشرو 1، جملهٔ ثابت -2
$Q(x) = x - 2$
جمله‌های پیشرو را تقسیم کنید: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Q را در 2x^2 ضرب و کم کنید. باقی‌ماندهٔ جدید: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
جمله‌های پیشرو را تقسیم کنید: (x^2) ÷ (x) = x
Q را در x ضرب و کم کنید. باقی‌ماندهٔ جدید: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
جمله‌های پیشرو را تقسیم کنید: (6x) ÷ (x) = 6
Q را در 6 ضرب و کم کنید. باقی‌ماندهٔ جدید: 7.
$6\cdot(x - 2)$
وقتی درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر شد متوقف شوید
$\text{خارج‌قسمت } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{باقی‌مانده } 7$

فرمول‌های به‌کاررفته

الگوریتم تقسیم
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q بر P بخش‌پذیر نیست: باقی‌مانده 7 است.

بررسی‌ها

بررسی: Q·خارج‌قسمت + باقی‌مانده برابر P است.

توضیح کامل

ضرب و بسط

برای ضرب دو چندجمله‌ای، هر جملهٔ اولی در هر جملهٔ دومی ضرب می‌شود و سپس توان‌های هم‌نوع جمع می‌شوند. در $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ شش حاصل‌ضرب به $x^3 + 1$ ، یعنی مجموع دو مکعب، ساده می‌شوند. ماشین‌حساب پخش کامل را پیش از جمع نشان می‌دهد تا هیچ حاصل‌ضربی جا نیفتد، که در پرانتزهای طولانی منشأ معمول خطاهاست.

جمع و تفریق فقط ضریب‌های توان‌های برابر را با هم ترکیب می‌کنند. در تفریق، علامت هر جملهٔ چندجمله‌ای دوم عوض می‌شود و به همین دلیل ماشین‌حساب پیش از جمع، چندجمله‌ای با علامت‌های تغییریافته را صریحاً می‌نویسد.

تقسیم طولانی و کاربردهای آن

تقسیم طولانی چندجمله‌ای‌ها درست مانند تقسیم طولانی عددها انجام می‌شود و وقتی درجهٔ باقی‌مانده از درجهٔ مقسوم‌علیه کمتر شود متوقف می‌شود. از تقسیم برای تجزیهٔ چندجمله‌ای پس از یافتن یکی از ریشه‌هایش، ساده‌سازی تابع‌های گویا و یافتن مجانب‌های مایل استفاده می‌شود: خارج‌قسمت $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ برابر $x + 1$ است، پس نمودار به خط $y = x + 1$ نزدیک می‌شود.

تقسیم بر عامل خطی $x - c$ را می‌توان به تقسیم ترکیبی خلاصه کرد که فقط ضریب‌ها را نگه می‌دارد. سپس قضیهٔ باقی‌مانده می‌گوید باقی‌مانده برابر $P(c)$ است، که راهی سریع برای بررسی کارتان است.

یافتن ریشه‌ها

در حالت ریشه‌ها، ماشین‌حساب ابتدا نامزدهای گویای $\frac pq$ را می‌آزماید که در آن $p$ جملهٔ ثابت و $q$ ضریب پیشرو را می‌شمارد. چندجمله‌ای بر هر ریشهٔ یافته‌شده تقسیم می‌شود و درجه کاهش می‌یابد. هر عبارت درجهٔ دوم باقی‌مانده با فرمول درجهٔ دوم حل می‌شود و هر باقی‌ماندهٔ تجزیه‌ناپذیر با درجهٔ بالاتر به‌طور عددی حل می‌شود و نتیجه تقریبی علامت می‌خورد. در $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ریشه‌های 1، 2 و 3 همه دقیق‌اند؛ اما در $x^3 - 2$ تنها ریشهٔ حقیقی $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ به صورت اعشاری نمایش داده می‌شود.

فقط ریشه‌های حقیقی فهرست می‌شوند. چندجمله‌ای‌ای مانند $x^2 + 2x + 5$ مبیّن منفی دارد، پس ماشین‌حساب اعلام می‌کند که ریشهٔ حقیقی ندارد.

اشتباه‌های رایج

جا انداختن توان غایب در تقسیم طولانی؛ $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ بنویسید تا ستون‌ها هم‌تراز شوند.
کم کردن فقط جملهٔ اول در تقسیم طولانی به جای کل حاصل‌ضرب.
فراموش کردن تغییر همهٔ علامت‌ها هنگام تفریق یک چندجمله‌ای.
ضرب توان‌ها به جای جمع آنها هنگام ضرب جمله‌ها: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
نوشتن باقی‌مانده بدون مقسوم‌علیه؛ $+7$ به‌تنهایی با $+\frac{7}{x - 2}$ برابر نیست.

نکته‌ها

پیش از هر عمل، هر دو چندجمله‌ای را به ترتیب نزولی توان‌ها مرتب کنید.
تقسیم را با ضرب خارج‌قسمت در مقسوم‌علیه و افزودن باقی‌مانده بررسی کنید.
برای آزمودن سریع یک ریشهٔ احتمالی از قضیهٔ باقی‌مانده استفاده کنید: اگر $P(c) = 0$ آنگاه $x - c$ یک عامل است.
نمودار را با ماشین‌حساب رسم نمودار بکشید تا تعداد ریشه‌های حقیقی مورد انتظار را ببینید.
وقتی می‌خواهید چندجمله‌ای را به صورت حاصل‌ضرب بنویسید، از ماشین‌حساب تجزیه استفاده کنید.

پرسش‌های متداول

ماشین‌حساب چندجمله‌ای چه عمل‌هایی را پشتیبانی می‌کند؟

بسط، جمع، تفریق، ضرب، تقسیم طولانی با خارج‌قسمت و باقی‌مانده، مقداریابی در یک مقدار x با روش هورنر و یافتن ریشه‌های حقیقی.

چندجمله‌ای‌ها را چگونه تقسیم کنم؟

تقسیم را انتخاب کنید، مقسوم را در P و مقسوم‌علیه را در Q وارد کنید. ماشین‌حساب تقسیم طولانی را انجام می‌دهد و خارج‌قسمت، باقی‌مانده و پاسخ را به صورت خارج‌قسمت به‌علاوهٔ باقی‌مانده تقسیم بر مقسوم‌علیه نشان می‌دهد.

قضیهٔ باقی‌مانده چیست؟

وقتی چندجمله‌ای P بر x منهای c تقسیم شود، باقی‌مانده برابر P(c) است. پس جای‌گذاری c در چندجمله‌ای راهی سریع برای یافتن باقی‌مانده یا آزمودن ریشه بودن c است.

آیا ماشین‌حساب چندجمله‌ای ریشه‌های مختلط را نشان می‌دهد؟

خیر. حالت ریشه‌ها فقط ریشه‌های حقیقی را نشان می‌دهد و اعلام می‌کند چه وقت چندجمله‌ای هیچ ریشهٔ حقیقی‌ای ندارد. ریشه‌های گویا دقیق‌اند و ریشه‌های گنگ به صورت تقریب اعشاری نمایش داده می‌شوند.

روش هورنر چیست؟

روشی برای محاسبهٔ مقدار چندجمله‌ای با تودرتو کردن ضرب‌ها، مثلاً نوشتن ax به توان سه به‌علاوهٔ bx به توان دو به‌علاوهٔ cx به‌علاوهٔ d به صورت ((ax + b)x + c)x + d. این روش به عمل‌های کمتری نیاز دارد و خطایش از محاسبهٔ جداگانهٔ هر توان کمتر است.

درجهٔ چندجمله‌ای چیست؟

بزرگ‌ترین توان متغیر که ضریبش ناصفر است. درجه حد بالای تعداد ریشه‌های حقیقی و نقطه‌های بازگشتی است که چندجمله‌ای می‌تواند داشته باشد.

آیا می‌توانم از کسر به‌عنوان ضریب استفاده کنم؟

بله. کسرها و عددهای اعشاری به کسرهای دقیق تبدیل می‌شوند و همهٔ نتیجه‌ها دقیق می‌مانند.

مسئلهٔ چندجمله‌ای خود را حل کنید

یک چندجمله‌ای در بالا وارد کنید و عملی را برگزینید تا نتیجهٔ دقیق و همهٔ گام‌ها را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب چندجمله‌ای