ماشین‌حساب ترکیب توابع: f(g(x)) گام‌به‌گام

Q: آیا f∘g همان g∘f است؟

معمولاً نه. اگر f(x) = x² و g(x) = x + 1، آنگاه f(g(x)) = (x + 1)² اما g(f(x)) = x² + 1. ماشینحساب اجازه میدهد هر دو ترتیب را حساب کنید.

Q: دامنهٔ تابع مرکب را چطور پیدا کنم؟

ورودیهایی را بگیرید که تابع درونی میپذیرد، سپس فقط آنهایی را نگه دارید که تابع بیرونی خروجیشان را میپذیرد. محدودیتهای تابع درونی حتی اگر فرمول سادهشده پنهانشان کند باقی میمانند.

Q: آیا میتوانم تابعی را با خودش ترکیب کنم؟

بله. f∘f یا g∘g را انتخاب کنید. اگر f(x) = 2x + 1، آنگاه f(f(x)) = 4x + 3 و در نتیجه f(f(3)) = 15.

Q: ترکیب چه ربطی به قاعدهٔ زنجیرهای دارد؟

قاعدهٔ زنجیرهای از تابع مرکب مشتق میگیرد: مشتق f(g(x)) برابر f′(g(x)) ضرب در g′(x) است. تشخیص تابع درونی و بیرونی نخستین گام است.

Q: چطور بررسی کنم که دو تابع وارون یکدیگرند؟

آنها را به هر دو ترتیب ترکیب کنید. اگر f(g(x)) و g(f(x)) هر دو روی دامنههای مربوط به x ساده شوند، هر کدام وارون دیگری است.

دربارهٔ ماشین‌حساب ترکیب توابع

ترکیب، دو تابع را چنان به هم وصل می‌کند که خروجی یکی ورودی دیگری شود. فرمول‌های پیچیده همین‌طور از فرمول‌های ساده ساخته می‌شوند: $\sqrt{x - 4}$ ریشهٔ دومی است که پس از کم کردن 4 اعمال می‌شود، و $(2x - 3)^2 + 1$ به توان دو رساندن و افزودن یک است که پس از یک تبدیل خطی اعمال می‌شوند. شناختن این لایه‌ها برای قاعدهٔ زنجیره‌ای، تابع‌های وارون و مدل‌سازی فرایندهایی که مرحله‌به‌مرحله پیش می‌روند ضروری است.

این ماشین‌حساب یک تابع را در دیگری جایگذاری می‌کند، پرانتزها را باز و نتیجه را ساده می‌کند و دامنهٔ تابع مرکب را، از جمله محدودیت‌هایی که از تابع درونی به ارث می‌رسند، تعیین می‌کند. اگر مقداری وارد کنید، ترکیب را در آن مقدار هم از درون به بیرون حساب می‌کند تا ببینید عدد چگونه به نوبت از هر تابع می‌گذرد.

ترکیب توابع چیست؟

ترکیب $f$ با $g$ که به صورت $(f \circ g)(x)$ نوشته می‌شود، به صورت $f(g(x))$ تعریف می‌شود: اول $g$ را اعمال کنید، سپس $f$ را روی نتیجه. تابعی که در نماد سمت راست نوشته شده اول عمل می‌کند، که برخلاف ترتیب خواندن نماد از چپ به راست است.

ترکیب جابه‌جایی نیست. اگر $f(x) = x^2$ و $g(x) = x + 1$ ، آن‌گاه $f(g(x)) = (x + 1)^2$ در حالی که $g(f(x)) = x^2 + 1$ . یک تابع را می‌توان با خودش هم ترکیب کرد: $f \circ f$ تابع $f$ را دو بار اعمال می‌کند.

چگونه از ماشین‌حساب ترکیب توابع استفاده کنیم

تابع بیرونی f(x) و تابع دوم g(x) را، هر دو بر حسب $x$ ، وارد کنید.
ترکیب را انتخاب کنید: f∘g، g∘f، f∘f یا g∘g.
در صورت تمایل مقداری برای $x$ وارد کنید تا تابع مرکب در آن نقطه حساب شود.
دکمهٔ «ترکیب کن» را بزنید تا جایگذاری، نتیجهٔ ساده‌شده و دامنهٔ آن را ببینید.
با ترتیب برعکس مقایسه کنید تا ببینید نتیجه چگونه تغییر می‌کند.

فرمول‌ها

تعریف

(f \circ g)(x) = f(g(x))

دامنهٔ تابع مرکب

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

خاصیت شرکت‌پذیری

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

بررسی وارون

f(f^{-1}(x)) = x

مثال حل‌شده: f(g(x))، f = x² + 1، g = 2x − 3، در x = 2

مثال از $f(x) = x^2 + 1$ و $g(x) = 2x - 3$ استفاده می‌کند و $f \circ g$ را می‌سازد. هر $x$ در $f$ با کل عبارت $2x - 3$ جایگزین می‌شود و $(2x - 3)^2 + 1$ به دست می‌آید که پس از باز کردن پرانتزها $4x^2 - 12x + 10$ می‌شود.

مثال مقدار در $x = 2$ را هم حساب می‌کند. مرحله‌به‌مرحله: $g(2) = 1$ و $f(1) = 2$ ؛ فرمول ساده‌شده $16 - 24 + 10 = 2$ را می‌دهد که همان مقدار است. هر دو تابع چندجمله‌ای‌اند، پس دامنه همهٔ عددهای حقیقی است.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) را پیدا کنید و مقدارش را حساب کنید.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

راه‌حل گام‌به‌گام

تابع‌ها را بنویسید
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) یعنی f(g(x)): به جای هر x در f، g(x) را بگذارید
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
جایگذاری کنید
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
پرانتزها را باز کنید و جمله‌های متشابه را جمع کنید
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
دامنه: x باید در g مجاز باشد و g(x) باید در f مجاز باشد
$\text{دامنهٔ } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
از درون به بیرون در x = 2 حساب کنید: اول g(2) = 1
$g(2) = 1$
سپس f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

فرمول‌های به‌کاررفته

ترکیب
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

ترکیب، خروجی g را به f می‌دهد. ترتیب مهم است: f∘g اول g را اعمال می‌کند و معمولاً با g∘f فرق دارد. دامنه پیش از ساده‌سازی تعیین می‌شود، چون ساده کردن عامل‌ها می‌تواند مقدارهایی را پنهان کند که تابع مرکب نمی‌پذیرد.

بررسی‌ها

بررسی شد: f(g(x)) و فرمول نهایی در نقطه‌های نمونه یکسان‌اند.
بررسی شد: فرمول ساده‌شده نیز در x = 2 مقدار 2 را می‌دهد.

توضیح کامل

جایگذاری درست

مطمئن‌ترین راه ترکیب این است که تابع بیرونی را با پرانتزهای خالی به جای $x$ بازنویسی کنید، مانند $f(\;) = (\;)^2 + 1$ ، و سپس کل عبارت درونی را داخل هر پرانتز بگذارید. پرانتزها مهم‌اند: جایگزین کردن $x$ در $x^2$ با $2x - 3$ نتیجهٔ $(2x - 3)^2$ را می‌دهد، نه $2x - 3^2$ .

پس از جایگذاری، پرانتزها باز و جمله‌های متشابه جمع می‌شوند. ماشین‌حساب اول جایگذاریِ پیش از ساده‌سازی را نشان می‌دهد تا آن را با کار خود مقایسه کنید، و سپس شکل ساده‌شده را.

پیدا کردن دامنه

یک ورودی فقط وقتی در دامنهٔ $f \circ g$ است که $g$ آن را بپذیرد و $f$ خروجی $g$ را بپذیرد. اگر $f(x) = \sqrt{x}$ و $g(x) = x - 4$ ، آن‌گاه $g$ هر عددی را می‌پذیرد، اما $f$ ورودی نامنفی لازم دارد، پس $x - 4 \geq 0$ و دامنه $[4, \infty)$ است.

محدودیت‌های تابع درونی حتی اگر ساده‌سازی پنهانشان کند باقی می‌مانند. با $f(x) = x^2$ و $g(x) = \sqrt{x}$ تابع مرکب به $x$ ساده می‌شود، با این حال فقط $x \geq 0$ مجاز است، چون $g$ باید اول تعریف شده باشد. به همین دلیل دامنه از هر دو مرحله حساب می‌شود، نه فقط از فرمول نهایی.

ترکیب کجا به کار می‌رود

قاعدهٔ زنجیره‌ای در مشتق‌گیری، از تابع مرکب مشتق می‌گیرد: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . تشخیص تابع درونی و بیرونی نخستین گام به‌کارگیری آن است. ترکیب همچنین تبدیل یکاها، تغییرهای درصدی پیاپی و تبدیل نمودارها را توصیف می‌کند: $f(x - 2)$ همان $f$ است که با انتقالی به اندازهٔ دو واحد به راست ترکیب شده است.

تجزیه مهارت برعکس است: اگر $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ داده شده باشد، تابع درونی $g(x) = 3x + 7$ و تابع بیرونی $f(x) = \sqrt{x}$ را چنان انتخاب کنید که $h = f \circ g$ . معمولاً بیش از یک انتخاب درست وجود دارد و بهترینش تقسیمی است که گام بعدی، مانند مشتق‌گیری یا پیدا کردن وارون، را تا جای ممکن آسان کند. تمرین با ماشین‌حساب در هر دو جهت عادت لایه‌لایه دیدن تابع‌ها را می‌سازد.

اشتباه‌های رایج

اعمال دو تابع به ترتیب نادرست؛ در $f(g(x))$ تابع درونی $g$ اول عمل می‌کند.
ضرب دو تابع به جای ترکیبشان: $f(g(x))$ همان $f(x)\,g(x)$ نیست.
حذف پرانتزها هنگام جایگذاری، که توان‌ها و علامت‌ها را تغییر می‌دهد.
گرفتن دامنه فقط از فرمول ساده‌شده و از دست دادن محدودیت‌های تابع درونی.
فرض اینکه $f \circ g = g \circ f$ ؛ هر دو ترتیب را بررسی کنید.

نکته‌ها

برای بررسی تابع مرکب ساده‌شده، مقدار را در عددی ساده مرحله‌به‌مرحله حساب کنید.
پیش از جایگذاری، تابع بیرونی را با پرانتزهای خالی بنویسید.
اول شرط‌های دامنهٔ تابع درونی را بنویسید، سپس شرط‌های تابع بیرونی را.
از ماشین‌حساب تابع وارون استفاده کنید، سپس ترکیب کنید تا مطمئن شوید $f(f^{-1}(x)) = x$ .
پیش از مشتق‌گیری با قاعدهٔ زنجیره‌ای، تابع درونی و بیرونی را نام‌گذاری کنید.

پرسش‌های متداول

f(g(x)) یعنی چه؟

یعنی اول g را روی x اعمال کنید، سپس f را روی نتیجه. تابع مرکب به صورت f∘g نوشته می‌شود و تابع سمت راست همیشه اول عمل می‌کند.

آیا f∘g همان g∘f است؟

معمولاً نه. اگر f(x) = x² و g(x) = x + 1، آن‌گاه f(g(x)) = (x + 1)² اما g(f(x)) = x² + 1. ماشین‌حساب اجازه می‌دهد هر دو ترتیب را حساب کنید.

دامنهٔ تابع مرکب را چطور پیدا کنم؟

ورودی‌هایی را بگیرید که تابع درونی می‌پذیرد، سپس فقط آن‌هایی را نگه دارید که تابع بیرونی خروجی‌شان را می‌پذیرد. محدودیت‌های تابع درونی حتی اگر فرمول ساده‌شده پنهانشان کند باقی می‌مانند.

آیا می‌توانم تابعی را با خودش ترکیب کنم؟

بله. f∘f یا g∘g را انتخاب کنید. اگر f(x) = 2x + 1، آن‌گاه f(f(x)) = 4x + 3 و در نتیجه f(f(3)) = 15.

ترکیب چه ربطی به قاعدهٔ زنجیره‌ای دارد؟

قاعدهٔ زنجیره‌ای از تابع مرکب مشتق می‌گیرد: مشتق f(g(x)) برابر f′(g(x)) ضرب در g′(x) است. تشخیص تابع درونی و بیرونی نخستین گام است.

آیا ماشین‌حساب مقدار تابع مرکب را در یک نقطه حساب می‌کند؟

بله. مقداری برای x وارد کنید تا از درون به بیرون حساب کند: اول تابع درونی در آن مقدار، سپس تابع بیرونی در نتیجه. جایگذاری همان مقدار در فرمول ساده‌شده باید همان عدد را بدهد.

چطور بررسی کنم که دو تابع وارون یکدیگرند؟

آن‌ها را به هر دو ترتیب ترکیب کنید. اگر f(g(x)) و g(f(x)) هر دو روی دامنه‌های مربوط به x ساده شوند، هر کدام وارون دیگری است.

دو تابع خود را ترکیب کنید

f(x) و g(x) را در بالا وارد کنید تا تابع مرکب ساده‌شده، مقدار و دامنهٔ آن را ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب ترکیب توابع