رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله

پیش‌حسابان

تابع وارون: یافتن، رسم و وارسی وارون یک تابع

نوشتهٔ MathSolver Pro Editorial Team · منتشرشده در

تابع وارون کاری را که تابع اصلی انجام می‌دهد خنثی می‌کند. اگر ff عدد 2 را به 7 ببرد، وارونش 7 را به 2 برمی‌گرداند. این راهنما توضیح می‌دهد وارون چه وقت وجود دارد، فرمولش را چگونه پیدا کنیم و چگونه آن را وارسی کنیم.

تابع وارون چه می‌کند

تابع یک ورودی می‌گیرد و یک خروجی تولید می‌کند. وارون آن، که با f−1f^{-1} نوشته می‌شود، این فرایند را وارونه اجرا می‌کند: خروجی‌ای از ff را می‌گیرد و ورودی‌ای را که آن را تولید کرده برمی‌گرداند. اگر f(a)=bf(a) = b، آنگاه f−1(b)=af^{-1}(b) = a. اجرای یکی و سپس دیگری شما را به نقطهٔ شروع بازمی‌گرداند.

f−1(f(x))=x، که x در دامنه f,f(f−1(x))=x، که x در دامنه f−1f^{-1}(f(x)) = x \text{، که } x \text{ در دامنه } f, \qquad f(f^{-1}(x)) = x \text{، که } x \text{ در دامنه } f^{-1}

یک مثال سادهٔ روزمره تبدیل دماست. تابع F=95C+32F = \frac{9}{5}C + 32 سلسیوس را به فارنهایت تبدیل می‌کند. وارون آن، C=59(F−32)C = \frac{5}{9}(F - 32)، دوباره برمی‌گرداند. دادن 37 درجهٔ سلسیوس به اولی 98.6 درجهٔ فارنهایت می‌دهد و دادن 98.6 به دومی 37 را برمی‌گرداند.

نمادگذاری دقت می‌خواهد. عدد −1-1 در f−1f^{-1} توان نیست. تابع وارون f−1(x)f^{-1}(x) با معکوس 1f(x)\frac{1}{f(x)} فرق دارد. برای f(x)=2xf(x) = 2x، وارون f−1(x)=x2f^{-1}(x) = \frac{x}{2} است، اما معکوس 12x\frac{1}{2x} است.

وارون چه وقت وجود دارد؟

وارونه کردن یک تابع فقط وقتی ممکن است که هر خروجی دقیقاً از یک ورودی آمده باشد. چنین تابعی یک‌به‌یک یا انژکتیو نامیده می‌شود. اگر دو ورودی متفاوت خروجی یکسانی بدهند، راهی برای دانستن اینکه کدام ورودی را باید برگرداند نیست، پس روی آن دامنه هیچ تابع وارونی وجود ندارد.

تابع f(x)=x2f(x) = x^2 روی همهٔ عددهای حقیقی در این آزمون رد می‌شود، چون f(3)=f(−3)=9f(3) = f(-3) = 9. اگر از وارون بخواهیم 9 را خنثی کند، نمی‌داند 3 را برگرداند یا −3-3 را. از دید نموداری، این همان آزمون خط افقی است: تابع دقیقاً وقتی یک‌به‌یک است که هیچ خط افقی‌ای نمودارش را بیش از یک بار قطع نکند. خط y=9y = 9 سهمی y=x2y = x^2 را دو بار قطع می‌کند، پس سهمی رد می‌شود.

تابع‌هایی که همیشه صعودی یا همیشه نزولی‌اند خودبه‌خود قبول می‌شوند. تابع‌های خطی با شیب ناصفر، x3x^3، exe^x و ln⁡x\ln x همگی روی دامنهٔ طبیعی‌شان یک‌به‌یک‌اند.

یافتن وارون به روش جبری

  1. f(x)f(x) را با yy جایگزین کنید.
  2. همه‌جا جای xx و yy را عوض کنید.
  3. معادلهٔ جدید را بر حسب yy حل کنید.
  4. yy را با f−1(x)f^{-1}(x) جایگزین کنید و دامنه‌اش را، که همان برد ff است، بیان کنید.

مثال 1: f(x)=3x−4f(x) = 3x - 4

  1. بنویسید y=3x−4y = 3x - 4 و جابه‌جا کنید: x=3y−4x = 3y - 4.
  2. حل کنید: 3y=x+43y = x + 4، پس f−1(x)=x+43f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}.
  3. وارسی: f(f−1(x))=3⋅x+43−4=xf(f^{-1}(x)) = 3 \cdot \frac{x + 4}{3} - 4 = x.

مثال 2: f(x)=x3+2f(x) = x^3 + 2

  1. جابه‌جا کنید: x=y3+2x = y^3 + 2، پس y3=x−2y^3 = x - 2.
  2. ریشهٔ سوم بگیرید: f−1(x)=x−23f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 2} که برای هر xx حقیقی تعریف شده است.
  3. وارسی در یک نقطه: f(1)=3f(1) = 3 و f−1(3)=13=1f^{-1}(3) = \sqrt[3]{1} = 1.

مثال 3: f(x)=2x+1x−3f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}

  1. جابه‌جا کنید: x=2y+1y−3x = \frac{2y + 1}{y - 3}.
  2. طرفین را در مخرج ضرب کنید: x(y−3)=2y+1x(y - 3) = 2y + 1، پس xy−2y=3x+1xy - 2y = 3x + 1.
  3. از yy فاکتور بگیرید: y(x−2)=3x+1y(x - 2) = 3x + 1، پس f−1(x)=3x+1x−2f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}.
  4. دامنه‌ها با بردها جابه‌جا می‌شوند: ff دامنهٔ x≠3x \neq 3 و برد y≠2y \neq 2 دارد، در حالی که f−1f^{-1} دامنهٔ x≠2x \neq 2 و برد y≠3y \neq 3 دارد.

وقتی پس از جابه‌جایی yy بیش از یک بار ظاهر می‌شود، همهٔ جمله‌های دارای yy را در یک طرف جمع کنید و از yy فاکتور بگیرید، دقیقاً مانند مثال 3.

محدود کردن دامنه

تابعی که یک‌به‌یک نیست، اگر دامنه‌اش را به بخشی محدود کنید که در آن یک‌به‌یک است، باز هم می‌تواند وارون داشته باشد. ریشهٔ دوم و تابع‌های مثلثاتی وارون این‌گونه تعریف می‌شوند.

محدود کردن f(x)=x2f(x) = x^2 به x≥0x \ge 0 فقط نیمهٔ راست سهمی را نگه می‌دارد که یک‌به‌یک است. وارون آن f−1(x)=xf^{-1}(x) = \sqrt{x} برای x≥0x \ge 0 است. انتخاب x≤0x \le 0 به جای آن −x-\sqrt{x} را می‌داد.

مثال 4: f(x)=(x−2)2+1f(x) = (x - 2)^2 + 1 با x≥2x \ge 2

  1. روی x≥2x \ge 2 تابع صعودی است و برد آن [1,∞)[1, \infty) است.
  2. جابه‌جا کنید: x=(y−2)2+1x = (y - 2)^2 + 1، پس (y−2)2=x−1(y - 2)^2 = x - 1.
  3. ریشهٔ دوم بگیرید. چون y≥2y \ge 2، ریشهٔ مثبت را انتخاب کنید: y−2=x−1y - 2 = \sqrt{x - 1}.
  4. پس f−1(x)=2+x−1f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 1} با دامنهٔ [1,∞)[1, \infty).

تابع‌های مثلثاتی وارون هم همین‌طورند. سینوس یک‌به‌یک نیست، پس arcsin⁡x\arcsin x به عنوان وارون سینوسِ محدودشده به [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] تعریف می‌شود. به همین دلیل arcsin⁡(sin⁡5π6)=π6\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} است، نه 5π6\frac{5\pi}{6}: پاسخ باید در بازهٔ محدودشده باشد.

تابع نمایی و لگاریتم

مهم‌ترین جفت وارون در پیش‌حسابان exe^x و ln⁡x\ln x است: ln⁡(ex)=x\ln(e^x) = x برای هر xx حقیقی و eln⁡x=xe^{\ln x} = x برای x>0x > 0. به‌طور کلی‌تر، log⁡bx\log_b x وارون bxb^x است. راهنمای لگاریتم‌ها همهٔ قاعده‌های آن‌ها را از همین واقعیت می‌سازد.

مثال 5: f(x)=ex−1+3f(x) = e^{x - 1} + 3

  1. جابه‌جا کنید: x=ey−1+3x = e^{y - 1} + 3، پس ey−1=x−3e^{y - 1} = x - 3.
  2. لگاریتم طبیعی بگیرید: y−1=ln⁡(x−3)y - 1 = \ln(x - 3).
  3. پس f−1(x)=1+ln⁡(x−3)f^{-1}(x) = 1 + \ln(x - 3) برای x>3x > 3، که با برد (3,∞)(3, \infty) تابع ff می‌خواند.

نمودار تابع‌های وارون

چون وارون جای ورودی‌ها و خروجی‌ها را عوض می‌کند، هر نقطهٔ (a,b)(a, b) روی نمودار ff به نقطهٔ (b,a)(b, a) روی نمودار f−1f^{-1} تبدیل می‌شود. از دید هندسی، جابه‌جا کردن مختصات بازتاب نسبت به خط y=xy = x است. پس نمودار وارون تصویر آینه‌ای نمودار اصلی نسبت به همین خط قطری است.

این راهی سریع برای رسم وارون و وارسی‌ای سودمند به دست می‌دهد: نمودارهای exe^x و ln⁡x\ln x بازتاب یکدیگرند و x3x^3 و x3\sqrt[3]{x} هم همین‌طور. ویژگی‌ها هم جابه‌جا می‌شوند. مجانب افقی ff به مجانب قائم f−1f^{-1} تبدیل می‌شود، که دقیقاً همان چیزی است که در مثال 3 رخ داد. رسم هر دو تابع همراه با خط y=xy = x در ماشین‌حساب نمودار این تقارن را روشن می‌کند.

وارسی یک وارون

برای اثبات اینکه دو تابع وارون یکدیگرند، آن‌ها را به هر دو ترتیب ترکیب و ساده کنید. اگر هر دو ترکیب روی دامنه‌های مربوط برابر xx شوند، توابع وارون یکدیگرند. برای مثال 3:

f ⁣(3x+1x−2)=2⋅3x+1x−2+13x+1x−2−3=6x+2+x−2x−23x+1−3x+6x−2=7x7=xf\!\left(\frac{3x + 1}{x - 2}\right) = \frac{2\cdot\frac{3x + 1}{x - 2} + 1}{\frac{3x + 1}{x - 2} - 3} = \frac{\frac{6x + 2 + x - 2}{x - 2}}{\frac{3x + 1 - 3x + 6}{x - 2}} = \frac{7x}{7} = x

یک وارسی غیررسمی سریع‌تر این است که یک ورودی انتخاب کنید، ff را اعمال کنید، سپس وارون خودتان را اعمال کنید و ببینید ورودی را پس می‌گیرید یا نه. این درستی فرمول را اثبات نمی‌کند، اما بیشتر خطاها را می‌گیرد. ترکیب در راهنمای ترکیب توابع با جزئیات بیشتری توضیح داده شده است.

وارون در حسابان

اگر ff مشتق‌پذیر و یک‌به‌یک باشد، شیب وارون در یک نقطه معکوس شیب ff در نقطهٔ متناظر است. اگر f(a)=bf(a) = b و f′(a)≠0f'(a) \neq 0، آنگاه:

(f−1)′(b)=1f′(a)(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}

برای f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x، داریم f(1)=2f(1) = 2 و f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1، پس f′(1)=4f'(1) = 4 و (f−1)′(2)=14(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}. این کار می‌کند حتی با اینکه یافتن فرمولی برای f−1f^{-1} بسیار دشوار است. به همین دلیل مشتق ln⁡x\ln x برابر 1x\frac{1}{x} است، چون ln⁡\ln وارون exe^x است.

اشتباه‌های رایج

  • یکی گرفتن f−1(x)f^{-1}(x) با 1f(x)\frac{1}{f(x)}.
  • فراموش کردن جابه‌جایی xx و yy، که فقط تابع اصلی را بازآرایی می‌کند.
  • یافتن فرمول برای تابعی که یک‌به‌یک نیست، بدون محدود کردن دامنه‌اش.
  • انتخاب علامت نادرست ریشهٔ دوم پس از محدود کردن دامنه.
  • بیان نکردن دامنهٔ وارون، که باید با برد تابع اصلی برابر باشد.

ماشین‌حساب تابع وارون گام‌های جابه‌جایی و حل را نشان می‌دهد و نتیجه را با ترکیب وارسی می‌کند.

وارون از روی جدول و در کاربردها

همیشه به فرمول نیاز ندارید. اگر جدولی یک تابع یک‌به‌یک را فهرست کند، وارونش با جابه‌جا کردن دو ستون به دست می‌آید. فرض کنید یک شرکت پست بر اساس وزن هزینه می‌گیرد و جدول قیمتش نشان می‌دهد 1 کیلوگرم 6 دلار، 2 کیلوگرم 9 دلار و 3 کیلوگرم 12 دلار هزینه دارد. جدول وارون به پرسش عکس پاسخ می‌دهد: با دانستن مبلغی که مشتری پرداخته، بسته چقدر سنگین بوده است؟ پرداخت 9 دلار یعنی 2 کیلوگرم. اگر دو وزن قیمت یکسانی داشتند، پرسش وارون پاسخ یکتایی نداشت؛ این همان شرط یک‌به‌یک بودن است که در موقعیتی عملی ظاهر شده است.

بسیاری از فرمول‌های واقعی در هر دو جهت به کار می‌روند. ماشین‌حساب وام قسط ماهانه را از مبلغ وام حساب می‌کند و وارونش به شما می‌گوید با قسطی که توان پرداختش را دارید چقدر می‌توانید وام بگیرید. دستور پختی که بر اساس تعداد پرس مقیاس‌بندی شده را می‌توان وارونه کرد تا معلوم شود مقدار معینی آرد چند پرس غذا می‌دهد. در علوم، منحنی کالیبراسیون یک غلظت معلوم را به عدد دستگاه تبدیل می‌کند و وارونش عدد اندازه‌گیری‌شده را دوباره به غلظت برمی‌گرداند. هر بار، وارون دقیقاً به این دلیل سودمند است که رابطهٔ اصلی در گسترهٔ مقدارهای مهم یک‌به‌یک است.

دیدن وارون از این زاویه گام‌های جبری را هم طبیعی‌تر می‌کند. جابه‌جا کردن xx و yy فقط راهی فشرده برای گفتن این است که نقش ورودی و خروجی عوض شده و حل بر حسب yy یعنی پاسخ دادن به پرسش عکس.

پرسش‌های متداول

آیا وارون همان معکوس است؟

نه. تابع وارون f−1f^{-1} کار ff را خنثی می‌کند، در حالی که معکوس 1f(x)\frac{1}{f(x)} عدد 1 را بر خروجی تقسیم می‌کند. برای f(x)=x+5f(x) = x + 5، وارون x−5x - 5 است اما معکوس 1x+5\frac{1}{x + 5} است.

از روی نمودار چگونه بفهمم وارون وجود دارد؟

از آزمون خط افقی استفاده کنید. اگر خط افقی‌ای نمودار را بیش از یک بار قطع کند، تابع یک‌به‌یک نیست و وارون ندارد، مگر اینکه دامنه‌اش را محدود کنید.

چرا دامنه و برد جابه‌جا می‌شوند؟

چون وارون خروجی‌های ff را به عنوان ورودی می‌گیرد و ورودی‌های ff را به عنوان خروجی برمی‌گرداند. هر مقداری که ff می‌تواند تولید کند دقیقاً همان مقدارهایی می‌شود که وارون می‌پذیرد.

آیا هر تابع خطی وارون دارد؟

هر تابع خطی mx+bmx + b با m≠0m \neq 0 وارون دارد و وارونش x−bm\frac{x - b}{m} است. تابع ثابت، که در آن m=0m = 0، هر ورودی را به خروجی یکسانی می‌برد، پس وارون ندارد.

MathSolver Pro Editorial Team

تولید و بازبینی محتوای ریاضی

گروه تحریریهٔ ما هر راهنما را طوری می‌نویسد که استدلال پشت هر روش را توضیح دهد، نه فقط جواب را. هر مثال حل‌شده پیش از انتشار با موتورهای حل سایت و آزمون‌های خودکار بررسی می‌شود و مقاله‌ها هر بار که روشی یا قالب امتحانی تغییر کند بازنگری می‌شوند.