ماشین‌حساب تابع وارون: پیدا کردن f⁻¹(x) گام‌به‌گام

Q: آیا هر تابعی وارون دارد؟

نه. فقط تابعهای یکبهیک وارون دارند. تابعهایی که در آزمون خط افقی رد میشوند، مانند x² یا sin x، پیش از داشتن وارون باید دامنهشان محدود شود.

Q: ماشینحساب برای x² کدام شاخه را انتخاب میکند؟

از x ≥ 0 استفاده میکند، پس وارون ریشهٔ دوم است. محدودیت در پاسخ نوشته میشود تا بدانید کدام شاخه به کار رفته است.

Q: ماشینحساب وارون را چطور بررسی میکند؟

f(f⁻¹(y)) را در چند نقطهٔ نمونه حساب میکند و فقط وقتی وارون را نمایش میدهد که هر مقدار بدون تغییر برگردد. دو تابع را به ترتیب دیگر هم ترکیب میکند تا بفهمد کجا محدودیت شاخه لازم بوده است.

دربارهٔ ماشین‌حساب تابع وارون

تابع وارون، قاعده را برعکس اجرا می‌کند. اگر $f$ درجهٔ سلسیوس را به فارنهایت تبدیل کند، وارونش فارنهایت را به سلسیوس برمی‌گرداند؛ اگر $f$ عدد را دو برابر کند و سه واحد به آن اضافه کند، وارونش سه واحد کم می‌کند و بر دو تقسیم می‌کند. پیدا کردن وارون با دست یعنی جابه‌جا کردن نقش ورودی و خروجی و حل یک معادله؛ کاری که برای خط‌ها روزمره است، اما با کسرها، رادیکال‌ها و تابع‌های نمایی زود دردسرساز می‌شود.

این ماشین‌حساب $f^{-1}(x)$ را برای تابع‌های خطی، کسری، توانی، رادیکالی، نمایی، لگاریتمی و مثلثاتی پایه پیدا می‌کند. گام‌های جابه‌جایی و حل را نشان می‌دهد، دامنهٔ وارون را می‌دهد و اگر $f$ یک‌به‌یک نباشد، شاخه‌ای استاندارد را انتخاب و آن را صریحاً بیان می‌کند. هر پاسخ با ترکیب $f$ و $f^{-1}$ در نقطه‌های نمونه به‌صورت عددی بررسی می‌شود.

تابع وارون چیست؟

وارون تابع $f$ ، تابع $f^{-1}$ است که برای هر $x$ در دامنهٔ $f$ داریم $f^{-1}(f(x)) = x$ و برای هر $y$ در برد $f$ داریم $f(f^{-1}(y)) = y$ . نماد $f^{-1}$ به معنای تابع وارون است، نه معکوس عددی $\frac{1}{f}$ .

فقط تابع‌های یک‌به‌یک وارون دارند، چون هر خروجی باید دقیقاً از یک ورودی بیاید. روی نمودار این همان آزمون خط افقی است: هیچ خط افقی نباید منحنی را دو بار قطع کند. نمودار $f^{-1}$ قرینهٔ نمودار $f$ نسبت به خط $y = x$ است و دامنه و برد جای خود را عوض می‌کنند.

چگونه از ماشین‌حساب تابع وارون استفاده کنیم

تابع را بر حسب $x$ بنویسید، مثلاً (2x + 3)/(x - 1) یا x^3 + 1 یا e^x.
دکمهٔ «تابع وارون را پیدا کن» را بزنید.
گام‌ها را بخوانید: به جای f(x) بنویسید y، جای x و y را عوض کنید، سپس بر حسب y حل کنید.
به دامنهٔ f⁻¹ و هر محدودیت شاخه‌ای که ماشین‌حساب اعمال کرده توجه کنید.
با سطرهای بررسی مطمئن شوید که f و f⁻¹ کار یکدیگر را خنثی می‌کنند.

فرمول‌ها

ویژگی تعریف‌کننده

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

جابه‌جا کن، سپس حل کن

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

جابه‌جایی دامنه و برد

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

وارون تابع موبیوس

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

مثال حل‌شده: (2x + 3)/(x − 1)

مثال، تابع $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ را وارون می‌کند. پس از جابه‌جایی، کسرها از معادلهٔ $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ حذف می‌شوند، همهٔ جمله‌های دارای $y$ در یک طرف جمع می‌شوند و سپس $y$ فاکتور گرفته می‌شود.

نتیجه $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ است. دامنهٔ آن 2 را کنار می‌گذارد، چون $f$ هرگز 2 را خروجی نمی‌دهد: با بزرگ شدن $x$ ، مقدار $f(x)$ به مجانب افقی $y = 2$ نزدیک می‌شود اما هرگز به آن نمی‌رسد.

راه‌حل زیر را همان موتوری تولید می‌کند که ماشین‌حساب بالا با آن کار می‌کند.

پاسخ نهایی

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

مسئلهٔ شما را چگونه فهمیدیم

f⁻¹ را پیدا کنید، تابعی که کار f(x) = (2 x + 3) / (x - 1) را خنثی می‌کند.

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

راه‌حل گام‌به‌گام

به جای f(x)، y را بنویسید
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
دو طرف را در مخرج ضرب کنید
$y(1x+-1) = 2x+3$
جمله‌های x را در یک طرف جمع کنید و x را فاکتور بگیرید
$x(1y-2) = 3--1y$
برای تنها کردن x تقسیم کنید
$x = \frac{y+3}{y-2}$
بر حسب x حل شد
$x = \frac{y+3}{y-2}$
برای نام‌گذاری وارون، x و y را جابه‌جا کنید
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
دامنهٔ f⁻¹ همان برد f است
$\text{دامنهٔ } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

فرمول‌های به‌کاررفته

وارون
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

برای وارون کردن یک تابع، y = f(x) را بنویسید، عمل‌های آن را به ترتیب معکوس خنثی کنید تا x تنها بماند، سپس دو حرف را جابه‌جا کنید.

بررسی‌ها

بررسی شد: f(f⁻¹(y)) = y در 12 نقطهٔ نمونه.
بررسی شد: f⁻¹(f(x)) = x در 12 نقطهٔ نمونه.

توضیح کامل

چرا روش «جابه‌جا کن، سپس حل کن» جواب می‌دهد

نوشتن $y = f(x)$ همهٔ زوج‌های $(x, y)$ روی نمودار را توصیف می‌کند. جابه‌جا کردن دو حرف مجموعهٔ زوج‌های قرینه را توصیف می‌کند، که دقیقاً نمودار وارون است. حل معادلهٔ جابه‌جاشده بر حسب $y$ این مجموعهٔ زوج‌ها را دوباره به یک فرمول تبدیل می‌کند. روش فقط وقتی شکست می‌خورد که گام حل بیش از یک جواب داشته باشد، و این نشانهٔ آن است که $f$ یک‌به‌یک نیست.

هر نوع تابع عملی دارد که آن را خنثی می‌کند: تفریق جمع را، تقسیم ضرب را، ریشهٔ سوم توان سه را، $\ln$ تابع $e^x$ را و $\log_2$ تابع $2^x$ را. وارون کردن $x^3 + 1$ یعنی خنثی کردن این عمل‌ها به ترتیب معکوس: 1 را کم کنید، سپس ریشهٔ سوم بگیرید تا $\sqrt[3]{x - 1}$ به دست آید.

محدود کردن دامنه

تابعی مانند $x^2$ در آزمون خط افقی رد می‌شود، چون هم $2$ و هم $-2$ به 4 می‌روند. برای اینکه وارون داشته باشد، فقط بخشی از دامنه‌اش را نگه می‌داریم. ماشین‌حساب از شاخهٔ معمول $x \geq 0$ استفاده می‌کند که $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ را می‌دهد و محدودیت را در پاسخ ذکر می‌کند. برای $x^2 + 1$ همین شاخه $\sqrt{x - 1}$ را با دامنهٔ $[1, \infty)$ می‌دهد.

تابع‌های مثلثاتی هم به شیوهٔ استاندارد محدود می‌شوند. برای $\sin x$ ماشین‌حساب $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ را نگه می‌دارد که $\arcsin x$ روی $[-1, 1]$ را نتیجه می‌دهد.

پاسخ چگونه بررسی می‌شود

پس از پیدا کردن وارونی نامزد، موتور $f(f^{-1}(y))$ را برای مقدارهای نمونهٔ $y$ در برد $f$ حساب می‌کند و لازم می‌داند که $y$ را برگرداند؛ اگر نشود، هیچ وارونی نمایش داده نمی‌شود. همچنین $f^{-1}(f(x))$ را حساب می‌کند: اگر فقط برای برخی ورودی‌ها $x$ را برگرداند، $f$ یک‌به‌یک نیست و پاسخ شاخهٔ به‌کاررفته را ذکر می‌کند. این کار خطاهای علامت و شاخه‌های نادرست را که در جبرِ تنها به‌آسانی از چشم می‌افتند آشکار می‌کند.

اشتباه‌های رایج

خواندن $f^{-1}(x)$ به صورت $\frac{1}{f(x)}$ ؛ نماد توان در اینجا به معنای تابع وارون است، نه معکوس عددی.
فراموش کردن جابه‌جایی $x$ و $y$ و فقط حل $y = f(x)$ بر حسب $x$ ، و سپس رها کردن پاسخ بر حسب $y$ .
ادعای اینکه وارون $x^2$ برابر $\pm\sqrt x$ است؛ تابع باید یک خروجی بدهد، پس باید شاخه‌ای انتخاب شود.
نادیده گرفتن دامنهٔ وارون، که برابر برد تابع اصلی است.
خنثی کردن عمل‌ها به ترتیب اصلی به جای ترتیب معکوس.

نکته‌ها

یک مقدار را بیازمایید: اگر $f(2) = 7$ باشد، $f^{-1}(7)$ باید 2 باشد.
پیش از پیدا کردن وارون، $f$ را با ماشین‌حساب نمودار رسم کنید و آزمون خط افقی را اجرا کنید.
در کسرهای خطی، پرانتزها را باز کنید، جمله‌های $y$ را جمع کنید و سپس $y$ را فاکتور بگیرید.
برای گرفتن دامنهٔ وارون، برد $f$ را با ماشین‌حساب دامنه و برد پیدا کنید.
با ماشین‌حساب ترکیب توابع بررسی کنید که $f(f^{-1}(x))$ به $x$ ساده می‌شود.

پرسش‌های متداول

تابع وارون را چطور پیدا کنم؟

به جای f(x) بنویسید y، جای x و y را عوض کنید، معادلهٔ جدید را بر حسب y حل کنید و نتیجه را به صورت f⁻¹(x) بنویسید. سپس دامنهٔ آن را بیان کنید که همان برد تابع اصلی است.

آیا هر تابعی وارون دارد؟

نه. فقط تابع‌های یک‌به‌یک وارون دارند. تابع‌هایی که در آزمون خط افقی رد می‌شوند، مانند x² یا sin x، پیش از داشتن وارون باید دامنه‌شان محدود شود.

ماشین‌حساب برای x² کدام شاخه را انتخاب می‌کند؟

از x ≥ 0 استفاده می‌کند، پس وارون ریشهٔ دوم است. محدودیت در پاسخ نوشته می‌شود تا بدانید کدام شاخه به کار رفته است.

آیا f⁻¹(x) همان 1/f(x) است؟

نه. بالانویس −1 به معنای تابع وارون است. معکوس عددی 1/f(x) تابع دیگری است و معمولاً به صورت کسر یا (f(x))⁻¹ نوشته می‌شود.

وارون e^x چیست؟

لگاریتم طبیعی ln x با دامنهٔ x > 0. به همین ترتیب، وارون 2^x لگاریتم x در پایهٔ 2 است.

نمودارهای f و f⁻¹ چه رابطه‌ای با هم دارند؟

هر یک قرینهٔ دیگری نسبت به خط y = x است، پس نقطهٔ (a, b) روی یک نمودار با نقطهٔ (b, a) روی دیگری متناظر است.

ماشین‌حساب وارون را چطور بررسی می‌کند؟

f(f⁻¹(y)) را در چند نقطهٔ نمونه حساب می‌کند و فقط وقتی وارون را نمایش می‌دهد که هر مقدار بدون تغییر برگردد. دو تابع را به ترتیب دیگر هم ترکیب می‌کند تا بفهمد کجا محدودیت شاخه لازم بوده است.

وارون تابع خود را پیدا کنید

تابعی در بالا وارد کنید تا f⁻¹(x)، دامنهٔ آن و بررسی عددی اینکه واقعاً کار f را خنثی می‌کند ببینید.

از ماشین‌حساب استفاده کنید از حل‌کنندهٔ ریاضی هوش مصنوعی بپرسید

ماشین‌حساب تابع وارون